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Theorem equivbnd 26499
Description: If the metric  M is "strongly finer" than  N (meaning that there is a positive real constant 
R such that  N ( x ,  y )  <_  R  x.  M (
x ,  y )), then boundedness of  M implies boundedness of  N. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then one is bounded iff the other is.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivbnd.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) )
equivbnd.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Met `  X ) )
equivbnd.3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
equivbnd.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) ) )
Assertion
Ref Expression
equivbnd  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Bnd `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, M    x, N, y    ph, x, y    x, X, y    x, R, y

Proof of Theorem equivbnd
Dummy variables  r 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 equivbnd.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Met `  X ) )
2 equivbnd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) )
3 isbnd3b 26494 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  <_  r
) )
43simprbi 451 . . . 4  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  <_  r
)
52, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  <_  r )
6 equivbnd.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
76rpred 10648 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
8 remulcl 9075 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( R  x.  r
)  e.  RR )
97, 8sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( R  x.  r )  e.  RR )
10 bndmet 26490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
112, 10syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
1211adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  M  e.  ( Met `  X
) )
13 metcl 18362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x M y )  e.  RR )
14133expb 1154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x M y )  e.  RR )
1512, 14sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x M y )  e.  RR )
16 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  r  e.  RR )
176ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  R  e.  RR+ )
1815, 16, 17lemul2d 10688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x M y )  <_  r  <->  ( R  x.  ( x M y ) )  <_  ( R  x.  r )
) )
19 equivbnd.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) ) )
2019adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x N y )  <_ 
( R  x.  (
x M y ) ) )
211adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  N  e.  ( Met `  X
) )
22 metcl 18362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x N y )  e.  RR )
23223expb 1154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( Met `  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x N y )  e.  RR )
2421, 23sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x N y )  e.  RR )
257ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  R  e.  RR )
2625, 15remulcld 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( R  x.  ( x M y ) )  e.  RR )
279adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( R  x.  r )  e.  RR )
28 letr 9167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x N y )  e.  RR  /\  ( R  x.  (
x M y ) )  e.  RR  /\  ( R  x.  r
)  e.  RR )  ->  ( ( ( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) )  /\  ( R  x.  ( x M y ) )  <_  ( R  x.  r ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
2924, 26, 27, 28syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) )  /\  ( R  x.  ( x M y ) )  <_  ( R  x.  r ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
3020, 29mpand 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( R  x.  ( x M y ) )  <_  ( R  x.  r )  ->  (
x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
3118, 30sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x M y )  <_  r  ->  (
x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
3231anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  (
( x M y )  <_  r  ->  ( x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
3332ralimdva 2784 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  X  ( x M y )  <_  r  ->  A. y  e.  X  ( x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
3433ralimdva 2784 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  <_  r  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x N y )  <_ 
( R  x.  r
) ) )
35 breq2 4216 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( R  x.  r )  ->  (
( x N y )  <_  s  <->  ( x N y )  <_ 
( R  x.  r
) ) )
36352ralbidv 2747 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( R  x.  r )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x N y )  <_  s  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x N y )  <_ 
( R  x.  r
) ) )
3736rspcev 3052 . . . . 5  |-  ( ( ( R  x.  r
)  e.  RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x N y )  <_  ( R  x.  r ) )  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x N y )  <_  s )
389, 34, 37ee12an 1372 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  <_  r  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x N y )  <_  s
) )
3938rexlimdva 2830 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  <_  r  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x N y )  <_  s ) )
405, 39mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x N y )  <_  s )
41 isbnd3b 26494 . 2  |-  ( N  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( N  e.  ( Met `  X
)  /\  E. s  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x N y )  <_  s
) )
421, 40, 41sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Bnd `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989    x. cmul 8995    <_ cle 9121   RR+crp 10612   Metcme 16687   Bndcbnd 26476
This theorem is referenced by:  equivbnd2  26501
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-er 6905  df-ec 6907  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-2 10058  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-icc 10923  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-bnd 26488
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