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Theorem equivbnd 25662
Description: If the metric  M is "strongly finer" than  N (meaning that there is a positive real constant 
R such that  N ( x ,  y )  <_  R  x.  M (
x ,  y )), then boundedness of  M implies boundedness of  N. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then one is bounded iff the other is.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivbnd.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) )
equivbnd.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Met `  X ) )
equivbnd.3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
equivbnd.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) ) )
Assertion
Ref Expression
equivbnd  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Bnd `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, M    x, N, y    ph, x, y    x, X, y    x, R, y

Proof of Theorem equivbnd
Dummy variables  r 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 equivbnd.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Met `  X ) )
2 equivbnd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) )
3 isbnd3b 25657 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  <_  r
) )
43simprbi 450 . . . 4  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  <_  r
)
52, 4syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  <_  r )
6 bndmet 25653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
72, 6syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
87adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  M  e.  ( Met `  X
) )
9 metcl 17949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x M y )  e.  RR )
1093expb 1152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x M y )  e.  RR )
118, 10sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x M y )  e.  RR )
12 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  r  e.  RR )
13 equivbnd.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
1413ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  R  e.  RR+ )
15 rpregt0 10414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R  e.  RR  /\  0  <  R ) )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( R  e.  RR  /\  0  < 
R ) )
17 lemul2 9654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x M y )  e.  RR  /\  r  e.  RR  /\  ( R  e.  RR  /\  0  <  R ) )  -> 
( ( x M y )  <_  r  <->  ( R  x.  ( x M y ) )  <_  ( R  x.  r ) ) )
1811, 12, 16, 17syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x M y )  <_  r  <->  ( R  x.  ( x M y ) )  <_  ( R  x.  r )
) )
19 equivbnd.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) ) )
2019adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x N y )  <_ 
( R  x.  (
x M y ) ) )
211adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  N  e.  ( Met `  X
) )
22 metcl 17949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x N y )  e.  RR )
23223expb 1152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( Met `  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x N y )  e.  RR )
2421, 23sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x N y )  e.  RR )
25 rpre 10407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  RR )
2613, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
2726ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  R  e.  RR )
28 remulcl 8867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR  /\  ( x M y )  e.  RR )  ->  ( R  x.  ( x M y ) )  e.  RR )
2927, 11, 28syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( R  x.  ( x M y ) )  e.  RR )
30 remulcl 8867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( R  x.  r
)  e.  RR )
3126, 30sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( R  x.  r )  e.  RR )
3231adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( R  x.  r )  e.  RR )
33 letr 8959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x N y )  e.  RR  /\  ( R  x.  (
x M y ) )  e.  RR  /\  ( R  x.  r
)  e.  RR )  ->  ( ( ( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) )  /\  ( R  x.  ( x M y ) )  <_  ( R  x.  r ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
3424, 29, 32, 33syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) )  /\  ( R  x.  ( x M y ) )  <_  ( R  x.  r ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
3520, 34mpand 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( R  x.  ( x M y ) )  <_  ( R  x.  r )  ->  (
x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
3618, 35sylbid 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x M y )  <_  r  ->  (
x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
3736anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  (
( x M y )  <_  r  ->  ( x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
3837ralimdva 2655 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  X  ( x M y )  <_  r  ->  A. y  e.  X  ( x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
3938ralimdva 2655 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  <_  r  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x N y )  <_ 
( R  x.  r
) ) )
4039, 31jctild 527 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  <_  r  ->  (
( R  x.  r
)  e.  RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) ) )
41 breq2 4064 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( R  x.  r )  ->  (
( x N y )  <_  s  <->  ( x N y )  <_ 
( R  x.  r
) ) )
42412ralbidv 2619 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( R  x.  r )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x N y )  <_  s  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x N y )  <_ 
( R  x.  r
) ) )
4342rspcev 2918 . . . . 5  |-  ( ( ( R  x.  r
)  e.  RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x N y )  <_  ( R  x.  r ) )  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x N y )  <_  s )
4440, 43syl6 29 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  <_  r  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x N y )  <_  s
) )
4544rexlimdva 2701 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  <_  r  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x N y )  <_  s ) )
465, 45mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x N y )  <_  s )
47 isbnd3b 25657 . 2  |-  ( N  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( N  e.  ( Met `  X
)  /\  E. s  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x N y )  <_  s
) )
481, 46, 47sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Bnd `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   E.wrex 2578   class class class wbr 4060   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   RRcr 8781   0cc0 8782    x. cmul 8787    < clt 8912    <_ cle 8913   RR+crp 10401   Metcme 16419   Bndcbnd 25639
This theorem is referenced by:  equivbnd2  25664
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-er 6702  df-ec 6704  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-2 9849  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-icc 10710  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-bnd 25651
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