Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  equivbnd2 Unicode version

Theorem equivbnd2 26516
Description: If balls are totally bounded in the metric  M, then balls are totally bounded in the equivalent metric  N. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivbnd2.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
equivbnd2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Met `  X ) )
equivbnd2.3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
equivbnd2.4  |-  ( ph  ->  S  e.  RR+ )
equivbnd2.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) ) )
equivbnd2.6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x M y )  <_  ( S  x.  ( x N y ) ) )
equivbnd2.7  |-  C  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
equivbnd2.8  |-  D  =  ( N  |`  ( Y  X.  Y ) )
equivbnd2.9  |-  ( ph  ->  ( C  e.  (
TotBnd `  Y )  <->  C  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
equivbnd2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  (
TotBnd `  Y )  <->  D  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, D, y    ph, x, y    x, R, y    x, S, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    M( x, y)    N( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem equivbnd2
StepHypRef Expression
1 totbndbnd 26513 . 2  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  Y
)  ->  D  e.  ( Bnd `  Y ) )
2 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  D  e.  ( Bnd `  Y ) )
3 equivbnd2.7 . . . . . . 7  |-  C  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
4 equivbnd2.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
54adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
6 equivbnd2.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Met `  X ) )
7 equivbnd2.8 . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( N  |`  ( Y  X.  Y ) )
87bnd2lem 26515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( Met `  X )  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  ->  Y  C_  X )
96, 8sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  Y  C_  X
)
10 metres2 17927 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
) )
115, 9, 10syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  ( M  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( Met `  Y ) )
123, 11syl5eqel 2367 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  C  e.  ( Met `  Y ) )
13 equivbnd2.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  RR+ )
1413adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  S  e.  RR+ )
159sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
169sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
1715, 16anim12dan 810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )
18 equivbnd2.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x M y )  <_  ( S  x.  ( x N y ) ) )
1918adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x M y )  <_ 
( S  x.  (
x N y ) ) )
2017, 19syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x M y )  <_ 
( S  x.  (
x N y ) ) )
213oveqi 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( x C y )  =  ( x ( M  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )
22 ovres 5987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x ( M  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )  =  ( x M y ) )
2321, 22syl5eq 2327 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x C y )  =  ( x M y ) )
2423adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x C y )  =  ( x M y ) )
257oveqi 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( x D y )  =  ( x ( N  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )
26 ovres 5987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x ( N  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )  =  ( x N y ) )
2725, 26syl5eq 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x D y )  =  ( x N y ) )
2827adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x D y )  =  ( x N y ) )
2928oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( S  x.  ( x D y ) )  =  ( S  x.  ( x N y ) ) )
3020, 24, 293brtr4d 4053 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x C y )  <_ 
( S  x.  (
x D y ) ) )
312, 12, 14, 30equivbnd 26514 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  C  e.  ( Bnd `  Y ) )
32 equivbnd2.9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  (
TotBnd `  Y )  <->  C  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
3332biimpar 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  C  e.  ( TotBnd `  Y )
)
3431, 33syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  C  e.  ( TotBnd `  Y )
)
35 bndmet 26505 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( Bnd `  Y
)  ->  D  e.  ( Met `  Y ) )
3635adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  D  e.  ( Met `  Y ) )
37 equivbnd2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
3837adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  R  e.  RR+ )
39 equivbnd2.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) ) )
4039adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x N y )  <_ 
( R  x.  (
x M y ) ) )
4117, 40syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x N y )  <_ 
( R  x.  (
x M y ) ) )
4224oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( R  x.  ( x C y ) )  =  ( R  x.  ( x M y ) ) )
4341, 28, 423brtr4d 4053 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x D y )  <_ 
( R  x.  (
x C y ) ) )
4434, 36, 38, 43equivtotbnd 26502 . . 3  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  D  e.  ( TotBnd `  Y )
)
4544ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( Bnd `  Y )  ->  D  e.  (
TotBnd `  Y ) ) )
461, 45impbid2 195 1  |-  ( ph  ->  ( D  e.  (
TotBnd `  Y )  <->  D  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    X. cxp 4687    |` cres 4691   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    x. cmul 8742    <_ cle 8868   RR+crp 10354   Metcme 16370   TotBndctotbnd 26490   Bndcbnd 26491
This theorem is referenced by:  rrntotbnd  26560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-totbnd 26492  df-bnd 26503
  Copyright terms: Public domain W3C validator