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Theorem equivbnd2 25664
Description: If balls are totally bounded in the metric  M, then balls are totally bounded in the equivalent metric  N. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivbnd2.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
equivbnd2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Met `  X ) )
equivbnd2.3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
equivbnd2.4  |-  ( ph  ->  S  e.  RR+ )
equivbnd2.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) ) )
equivbnd2.6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x M y )  <_  ( S  x.  ( x N y ) ) )
equivbnd2.7  |-  C  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
equivbnd2.8  |-  D  =  ( N  |`  ( Y  X.  Y ) )
equivbnd2.9  |-  ( ph  ->  ( C  e.  (
TotBnd `  Y )  <->  C  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
equivbnd2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  (
TotBnd `  Y )  <->  D  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, D, y    ph, x, y    x, R, y    x, S, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    M( x, y)    N( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem equivbnd2
StepHypRef Expression
1 totbndbnd 25661 . 2  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  Y
)  ->  D  e.  ( Bnd `  Y ) )
2 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  D  e.  ( Bnd `  Y ) )
3 equivbnd2.7 . . . . . . 7  |-  C  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
4 equivbnd2.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
54adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
6 equivbnd2.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Met `  X ) )
7 equivbnd2.8 . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( N  |`  ( Y  X.  Y ) )
87bnd2lem 25663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( Met `  X )  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  ->  Y  C_  X )
96, 8sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  Y  C_  X
)
10 metres2 17979 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
) )
115, 9, 10syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  ( M  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( Met `  Y ) )
123, 11syl5eqel 2400 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  C  e.  ( Met `  Y ) )
13 equivbnd2.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  RR+ )
1413adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  S  e.  RR+ )
159sselda 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
169sselda 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
1715, 16anim12dan 810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )
18 equivbnd2.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x M y )  <_  ( S  x.  ( x N y ) ) )
1918adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x M y )  <_ 
( S  x.  (
x N y ) ) )
2017, 19syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x M y )  <_ 
( S  x.  (
x N y ) ) )
213oveqi 5913 . . . . . . . . 9  |-  ( x C y )  =  ( x ( M  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )
22 ovres 6029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x ( M  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )  =  ( x M y ) )
2321, 22syl5eq 2360 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x C y )  =  ( x M y ) )
2423adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x C y )  =  ( x M y ) )
257oveqi 5913 . . . . . . . . . 10  |-  ( x D y )  =  ( x ( N  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )
26 ovres 6029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x ( N  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )  =  ( x N y ) )
2725, 26syl5eq 2360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x D y )  =  ( x N y ) )
2827adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x D y )  =  ( x N y ) )
2928oveq2d 5916 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( S  x.  ( x D y ) )  =  ( S  x.  ( x N y ) ) )
3020, 24, 293brtr4d 4090 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x C y )  <_ 
( S  x.  (
x D y ) ) )
312, 12, 14, 30equivbnd 25662 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  C  e.  ( Bnd `  Y ) )
32 equivbnd2.9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  (
TotBnd `  Y )  <->  C  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
3332biimpar 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  C  e.  ( TotBnd `  Y )
)
3431, 33syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  C  e.  ( TotBnd `  Y )
)
35 bndmet 25653 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( Bnd `  Y
)  ->  D  e.  ( Met `  Y ) )
3635adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  D  e.  ( Met `  Y ) )
37 equivbnd2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
3837adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  R  e.  RR+ )
39 equivbnd2.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) ) )
4039adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x N y )  <_ 
( R  x.  (
x M y ) ) )
4117, 40syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x N y )  <_ 
( R  x.  (
x M y ) ) )
4224oveq2d 5916 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( R  x.  ( x C y ) )  =  ( R  x.  ( x M y ) ) )
4341, 28, 423brtr4d 4090 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x D y )  <_ 
( R  x.  (
x C y ) ) )
4434, 36, 38, 43equivtotbnd 25650 . . 3  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  D  e.  ( TotBnd `  Y )
)
4544ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( Bnd `  Y )  ->  D  e.  (
TotBnd `  Y ) ) )
461, 45impbid2 195 1  |-  ( ph  ->  ( D  e.  (
TotBnd `  Y )  <->  D  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    C_ wss 3186   class class class wbr 4060    X. cxp 4724    |` cres 4728   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    x. cmul 8787    <_ cle 8913   RR+crp 10401   Metcme 16419   TotBndctotbnd 25638   Bndcbnd 25639
This theorem is referenced by:  rrntotbnd  25708
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-ec 6704  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-2 9849  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-icc 10710  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-totbnd 25640  df-bnd 25651
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