Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  equivcau Structured version   Unicode version

Theorem equivcau 19255
 Description: If the metric is "strongly finer" than (meaning that there is a positive real constant such that ), all the -Cauchy sequences are also -Cauchy. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they have the same Cauchy sequences.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivcau.1
equivcau.2
equivcau.3
equivcau.4
Assertion
Ref Expression
equivcau
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem equivcau
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . . . . 7
2 equivcau.3 . . . . . . . 8
32ad2antrr 708 . . . . . . 7
41, 3rpdivcld 10667 . . . . . 6
5 oveq2 6091 . . . . . . . . 9
6 feq3 5580 . . . . . . . . 9
75, 6syl 16 . . . . . . . 8
87rexbidv 2728 . . . . . . 7
98rspcv 3050 . . . . . 6
104, 9syl 16 . . . . 5
11 simprr 735 . . . . . . . 8
12 elpmi 7037 . . . . . . . . . . . 12
1312simpld 447 . . . . . . . . . . 11
1413ad3antlr 713 . . . . . . . . . 10
15 resss 5172 . . . . . . . . . . . 12
16 dmss 5071 . . . . . . . . . . . 12
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
18 uzid 10502 . . . . . . . . . . . . 13
1918ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . 12
20 fdm 5597 . . . . . . . . . . . . 13
2120ad2antll 711 . . . . . . . . . . . 12
2219, 21eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . 11
2317, 22sseldi 3348 . . . . . . . . . 10
2414, 23ffvelrnd 5873 . . . . . . . . 9
25 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13
26 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13
27 equivcau.1 . . . . . . . . . . . . 13
28 equivcau.2 . . . . . . . . . . . . 13
29 equivcau.4 . . . . . . . . . . . . 13
3025, 26, 27, 28, 2, 29metss2lem 18543 . . . . . . . . . . . 12
3130expr 600 . . . . . . . . . . 11
3231ralrimiva 2791 . . . . . . . . . 10
3332ad3antrrr 712 . . . . . . . . 9
34 simplr 733 . . . . . . . . 9
35 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . 12
36 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36sseq12d 3379 . . . . . . . . . . 11
3837imbi2d 309 . . . . . . . . . 10
3938rspcv 3050 . . . . . . . . 9
4024, 33, 34, 39syl3c 60 . . . . . . . 8
41 fss 5601 . . . . . . . 8
4211, 40, 41syl2anc 644 . . . . . . 7
4342expr 600 . . . . . 6
4443reximdva 2820 . . . . 5
4510, 44syld 43 . . . 4
4645ralrimdva 2798 . . 3
4746ss2rabdv 3426 . 2
48 metxmet 18366 . . 3
49 caufval 19230 . . 3
5028, 48, 493syl 19 . 2
51 metxmet 18366 . . 3
52 caufval 19230 . . 3
5327, 51, 523syl 19 . 2
5447, 50, 533sstr4d 3393 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  crab 2711   wss 3322   class class class wbr 4214   cdm 4880   cres 4882  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cpm 7021  cc 8990   cmul 8997   cle 9123   cdiv 9679  cz 10284  cuz 10490  crp 10614  cxmt 16688  cme 16689  cbl 16690  cmopn 16693  cca 19208 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-xadd 10713  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-cau 19211
 Copyright terms: Public domain W3C validator