Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  equivcau Unicode version

Theorem equivcau 18742
 Description: If the metric is "strongly finer" than (meaning that there is a positive real constant such that ), all the -Cauchy sequences are also -Cauchy. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they have the same Cauchy sequences.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivcau.1
equivcau.2
equivcau.3
equivcau.4
Assertion
Ref Expression
equivcau
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem equivcau
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . 7
2 equivcau.3 . . . . . . . 8
32ad2antrr 706 . . . . . . 7
41, 3rpdivcld 10423 . . . . . 6
5 oveq2 5882 . . . . . . . . 9
6 feq3 5393 . . . . . . . . 9
75, 6syl 15 . . . . . . . 8
87rexbidv 2577 . . . . . . 7
98rspcv 2893 . . . . . 6
104, 9syl 15 . . . . 5
11 simprr 733 . . . . . . . 8
12 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11
13 elpmi 6805 . . . . . . . . . . . 12
1413simpld 445 . . . . . . . . . . 11
1512, 14syl 15 . . . . . . . . . 10
16 resss 4995 . . . . . . . . . . . 12
17 dmss 4894 . . . . . . . . . . . 12
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
19 uzid 10258 . . . . . . . . . . . . 13
2019ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12
21 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . 13
2221ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12
2320, 22eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . 11
2418, 23sseldi 3191 . . . . . . . . . 10
25 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10
2615, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . . 9
27 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13
28 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13
29 equivcau.1 . . . . . . . . . . . . 13
30 equivcau.2 . . . . . . . . . . . . 13
31 equivcau.4 . . . . . . . . . . . . 13
3227, 28, 29, 30, 2, 31metss2lem 18073 . . . . . . . . . . . 12
3332expr 598 . . . . . . . . . . 11
3433ralrimiva 2639 . . . . . . . . . 10
3534ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9
36 simplr 731 . . . . . . . . 9
37 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12
38 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12
3937, 38sseq12d 3220 . . . . . . . . . . 11
4039imbi2d 307 . . . . . . . . . 10
4140rspcv 2893 . . . . . . . . 9
4226, 35, 36, 41syl3c 57 . . . . . . . 8
43 fss 5413 . . . . . . . 8
4411, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . 7
4544expr 598 . . . . . 6
4645reximdva 2668 . . . . 5
4710, 46syld 40 . . . 4
4847ralrimdva 2646 . . 3
4948ss2rabdv 3267 . 2
50 metxmet 17915 . . 3
51 caufval 18717 . . 3
5230, 50, 513syl 18 . 2
53 metxmet 17915 . . 3
54 caufval 18717 . . 3
5529, 53, 543syl 18 . 2
5649, 52, 553sstr4d 3234 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557  crab 2560   wss 3165   class class class wbr 4039   cdm 4705   cres 4707  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cpm 6789  cc 8751   cmul 8758   cle 8884   cdiv 9439  cz 10040  cuz 10246  crp 10370  cxmt 16385  cme 16386  cbl 16387  cmopn 16388  cca 18695 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-cau 18698
 Copyright terms: Public domain W3C validator