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Theorem equivcau 19255
Description: If the metric  D is "strongly finer" than  C (meaning that there is a positive real constant 
R such that  C ( x ,  y )  <_  R  x.  D (
x ,  y )), all the  D-Cauchy sequences are also  C-Cauchy. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they have the same Cauchy sequences.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivcau.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( Met `  X ) )
equivcau.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
equivcau.3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
equivcau.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  <_  ( R  x.  ( x D y ) ) )
Assertion
Ref Expression
equivcau  |-  ( ph  ->  ( Cau `  D
)  C_  ( Cau `  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, D, y    ph, x, y    x, R, y    x, X, y

Proof of Theorem equivcau
Dummy variables  f 
k  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR+ )
2 equivcau.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
32ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  R  e.  RR+ )
41, 3rpdivcld 10667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
r  /  R )  e.  RR+ )
5 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( r  /  R )  ->  (
( f `  k
) ( ball `  D
) s )  =  ( ( f `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) )
6 feq3 5580 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f `  k
) ( ball `  D
) s )  =  ( ( f `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  R ) )  ->  ( ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) s )  <->  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) ( r  /  R ) ) ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( r  /  R )  ->  (
( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
s )  <->  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) ( r  /  R ) ) ) )
87rexbidv 2728 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( r  /  R )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
s )  <->  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) ( r  /  R ) ) ) )
98rspcv 3050 . . . . . 6  |-  ( ( r  /  R )  e.  RR+  ->  ( A. s  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) s )  ->  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )
104, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. s  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) s )  ->  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )
11 simprr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) ( r  /  R ) ) )
12 elpmi 7037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  ->  ( f : dom  f --> X  /\  dom  f  C_  CC ) )
1312simpld 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  ->  f : dom  f --> X )
1413ad3antlr 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  f : dom  f
--> X )
15 resss 5172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
)  C_  f
16 dmss 5071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  |`  ( ZZ>= `  k ) )  C_  f  ->  dom  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
)  C_  dom  f )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
f  |`  ( ZZ>= `  k
) )  C_  dom  f
18 uzid 10502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  ( ZZ>= `  k )
)
1918ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  k ) )
20 fdm 5597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  |`  ( ZZ>= `  k ) ) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  R ) )  ->  dom  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( ZZ>= `  k ) )
2120ad2antll 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  dom  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( ZZ>= `  k ) )
2219, 21eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  k  e.  dom  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) )
2317, 22sseldi 3348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  k  e.  dom  f )
2414, 23ffvelrnd 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  ( f `  k )  e.  X
)
25 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( MetOpen `  C )  =  (
MetOpen `  C )
26 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
27 equivcau.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  ( Met `  X ) )
28 equivcau.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
29 equivcau.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  <_  ( R  x.  ( x D y ) ) )
3025, 26, 27, 28, 2, 29metss2lem 18543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( x ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) )
3130expr 600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
r  e.  RR+  ->  ( x ( ball `  D
) ( r  /  R ) )  C_  ( x ( ball `  C ) r ) ) )
3231ralrimiva 2791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( r  e.  RR+  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
3332ad3antrrr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( r  e.  RR+  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
34 simplr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
35 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
x ( ball `  D
) ( r  /  R ) )  =  ( ( f `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) )
36 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
x ( ball `  C
) r )  =  ( ( f `  k ) ( ball `  C ) r ) )
3735, 36sseq12d 3379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
( x ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  <->  ( (
f `  k )
( ball `  D )
( r  /  R
) )  C_  (
( f `  k
) ( ball `  C
) r ) ) )
3837imbi2d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
( r  e.  RR+  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) )  <->  ( r  e.  RR+  ->  ( (
f `  k )
( ball `  D )
( r  /  R
) )  C_  (
( f `  k
) ( ball `  C
) r ) ) ) )
3938rspcv 3050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  k )  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( r  e.  RR+  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) )  -> 
( r  e.  RR+  ->  ( ( f `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) 
C_  ( ( f `
 k ) (
ball `  C )
r ) ) ) )
4024, 33, 34, 39syl3c 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) )  C_  (
( f `  k
) ( ball `  C
) r ) )
41 fss 5601 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) )  /\  (
( f `  k
) ( ball `  D
) ( r  /  R ) )  C_  ( ( f `  k ) ( ball `  C ) r ) )  ->  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  C
) r ) )
4211, 40, 41syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  C
) r ) )
4342expr 600 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) ( r  /  R ) )  -> 
( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  C )
r ) ) )
4443reximdva 2820 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  C
) r ) ) )
4510, 44syld 43 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. s  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) s )  ->  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  C )
r ) ) )
4645ralrimdva 2798 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( A. s  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) s )  ->  A. r  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  C
) r ) ) )
4746ss2rabdv 3426 . 2  |-  ( ph  ->  { f  e.  ( X  ^pm  CC )  |  A. s  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  (
f  |`  ( ZZ>= `  k
) ) : (
ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k
) ( ball `  D
) s ) } 
C_  { f  e.  ( X  ^pm  CC )  |  A. r  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  C
) r ) } )
48 metxmet 18366 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
49 caufval 19230 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( Cau `  D )  =  { f  e.  ( X  ^pm  CC )  |  A. s  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  (
f  |`  ( ZZ>= `  k
) ) : (
ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k
) ( ball `  D
) s ) } )
5028, 48, 493syl 19 . 2  |-  ( ph  ->  ( Cau `  D
)  =  { f  e.  ( X  ^pm  CC )  |  A. s  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) s ) } )
51 metxmet 18366 . . 3  |-  ( C  e.  ( Met `  X
)  ->  C  e.  ( * Met `  X
) )
52 caufval 19230 . . 3  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  ( Cau `  C )  =  { f  e.  ( X  ^pm  CC )  |  A. r  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  (
f  |`  ( ZZ>= `  k
) ) : (
ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k
) ( ball `  C
) r ) } )
5327, 51, 523syl 19 . 2  |-  ( ph  ->  ( Cau `  C
)  =  { f  e.  ( X  ^pm  CC )  |  A. r  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  C
) r ) } )
5447, 50, 533sstr4d 3393 1  |-  ( ph  ->  ( Cau `  D
)  C_  ( Cau `  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    C_ wss 3322   class class class wbr 4214   dom cdm 4880    |` cres 4882   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ^pm cpm 7021   CCcc 8990    x. cmul 8997    <_ cle 9123    / cdiv 9679   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614   * Metcxmt 16688   Metcme 16689   ballcbl 16690   MetOpencmopn 16693   Caucca 19208
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-xadd 10713  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-cau 19211
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