Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  equivcfil Structured version   Unicode version

Theorem equivcfil 19252
 Description: If the metric is "strongly finer" than (meaning that there is a positive real constant such that ), all the -Cauchy filters are also -Cauchy. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they have the same Cauchy sequences.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivcau.1
equivcau.2
equivcau.3
equivcau.4
Assertion
Ref Expression
equivcfil CauFil CauFil
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem equivcfil
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . . . 8
2 equivcau.3 . . . . . . . . 9
32ad2antrr 707 . . . . . . . 8
41, 3rpdivcld 10665 . . . . . . 7
5 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10
65eleq1d 2502 . . . . . . . . 9
76rexbidv 2726 . . . . . . . 8
87rspcv 3048 . . . . . . 7
94, 8syl 16 . . . . . 6
10 simpllr 736 . . . . . . . 8
11 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12
12 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12
13 equivcau.1 . . . . . . . . . . . 12
14 equivcau.2 . . . . . . . . . . . 12
15 equivcau.4 . . . . . . . . . . . 12
1611, 12, 13, 14, 2, 15metss2lem 18541 . . . . . . . . . . 11
1716ancom2s 778 . . . . . . . . . 10
1817adantlr 696 . . . . . . . . 9
1918anassrs 630 . . . . . . . 8
2013ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10
21 metxmet 18364 . . . . . . . . . 10
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9
23 simpr 448 . . . . . . . . 9
24 rpxr 10619 . . . . . . . . . 10
2524ad2antlr 708 . . . . . . . . 9
26 blssm 18448 . . . . . . . . 9
2722, 23, 25, 26syl3anc 1184 . . . . . . . 8
28 filss 17885 . . . . . . . . . 10
29283exp2 1171 . . . . . . . . 9
3029com24 83 . . . . . . . 8
3110, 19, 27, 30syl3c 59 . . . . . . 7
3231reximdva 2818 . . . . . 6
339, 32syld 42 . . . . 5
3433ralrimdva 2796 . . . 4
3534imdistanda 675 . . 3
36 metxmet 18364 . . . 4
37 iscfil3 19226 . . . 4 CauFil
3814, 36, 373syl 19 . . 3 CauFil
39 iscfil3 19226 . . . 4 CauFil
4013, 21, 393syl 19 . . 3 CauFil
4135, 38, 403imtr4d 260 . 2 CauFil CauFil
4241ssrdv 3354 1 CauFil CauFil
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706   wss 3320   class class class wbr 4212  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmul 8995  cxr 9119   cle 9121   cdiv 9677  crp 10612  cxmt 16686  cme 16687  cbl 16688  cmopn 16691  cfil 17877  CauFilccfil 19205 This theorem is referenced by:  equivcmet  19268 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-2 10058  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-fbas 16699  df-fil 17878  df-cfil 19208
 Copyright terms: Public domain W3C validator