Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  equivcmet Structured version   Unicode version

Theorem equivcmet 19260
 Description: If two metrics are strongly equivalent, one is complete iff the other is. Unlike equivcau 19245, metss2 18534, this theorem does not have a one-directional form - it is possible for a metric that is strongly finer than the complete metric to be incomplete and vice versa. Consider the metric on induced by the usual homeomorphism from against the usual metric on and against the discrete metric on . Then both and are complete but is not, and is strongly finer than , which is strongly finer than . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivcmet.1
equivcmet.2
equivcmet.3
equivcmet.4
equivcmet.5
equivcmet.6
Assertion
Ref Expression
equivcmet
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem equivcmet
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 equivcmet.1 . . . 4
2 equivcmet.2 . . . 4
31, 22thd 232 . . 3
4 equivcmet.4 . . . . . 6
5 equivcmet.6 . . . . . 6
62, 1, 4, 5equivcfil 19244 . . . . 5 CauFil CauFil
7 equivcmet.3 . . . . . 6
8 equivcmet.5 . . . . . 6
91, 2, 7, 8equivcfil 19244 . . . . 5 CauFil CauFil
106, 9eqssd 3357 . . . 4 CauFil CauFil
11 eqid 2435 . . . . . . . 8
12 eqid 2435 . . . . . . . 8
1311, 12, 1, 2, 7, 8metss2 18534 . . . . . . 7
1412, 11, 2, 1, 4, 5metss2 18534 . . . . . . 7
1513, 14eqssd 3357 . . . . . 6
1615oveq1d 6088 . . . . 5
1716neeq1d 2611 . . . 4
1810, 17raleqbidv 2908 . . 3 CauFil CauFil
193, 18anbi12d 692 . 2 CauFil CauFil
2011iscmet 19229 . 2 CauFil
2112iscmet 19229 . 2 CauFil
2219, 20, 213bitr4g 280 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  c0 3620   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmul 8987   cle 9113  crp 10604  cme 16679  cmopn 16683   cflim 17958  CauFilccfil 19197  cms 19199 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ico 10914  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-bases 16957  df-fil 17870  df-cfil 19200  df-cmet 19202
 Copyright terms: Public domain W3C validator