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Theorem erdsze2lem2 24890
Description: Lemma for erdsze2 24891. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
erdsze2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  NN )
erdsze2.f  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-> RR )
erdsze2.a  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
erdsze2lem.n  |-  N  =  ( ( R  - 
1 )  x.  ( S  -  1 ) )
erdsze2lem.l  |-  ( ph  ->  N  <  ( # `  A ) )
erdsze2lem.g  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> A
)
erdsze2lem.i  |-  ( ph  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ,  ran  G
) )
Assertion
Ref Expression
erdsze2lem2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  ~P  A ( ( R  <_  ( # `  s
)  /\  ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, s    F, s    G, s    R, s    S, s    N, s    ph, s

Proof of Theorem erdsze2lem2
Dummy variables  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze2lem.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( R  - 
1 )  x.  ( S  -  1 ) )
2 erdsze2.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
3 nnm1nn0 10261 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  NN  ->  ( R  -  1 )  e.  NN0 )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  -  1 )  e.  NN0 )
5 erdsze2.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  NN )
6 nnm1nn0 10261 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  NN  ->  ( S  -  1 )  e.  NN0 )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  -  1 )  e.  NN0 )
84, 7nn0mulcld 10279 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( R  - 
1 )  x.  ( S  -  1 ) )  e.  NN0 )
91, 8syl5eqel 2520 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
10 nn0p1nn 10259 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
12 erdsze2.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-> RR )
13 erdsze2lem.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> A
)
14 f1co 5648 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-> RR  /\  G : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> A
)  ->  ( F  o.  G ) : ( 1 ... ( N  +  1 ) )
-1-1-> RR )
1512, 13, 14syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
) : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> RR )
169nn0red 10275 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
1716ltp1d 9941 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
181, 17syl5eqbrr 4246 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( R  - 
1 )  x.  ( S  -  1 ) )  <  ( N  +  1 ) )
1911, 15, 2, 5, 18erdsze 24888 . 2  |-  ( ph  ->  E. t  e.  ~P  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( R  <_  ( # `  t
)  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) ) )
20 vex 2959 . . . . 5  |-  t  e. 
_V
2120elpw 3805 . . . 4  |-  ( t  e.  ~P ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  <->  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
22 imassrn 5216 . . . . . . . 8  |-  ( G
" t )  C_  ran  G
23 f1f 5639 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-> A  ->  G : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) --> A )
2413, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) --> A )
25 frn 5597 . . . . . . . . 9  |-  ( G : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) --> A  ->  ran  G  C_  A )
2624, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  G  C_  A
)
2722, 26syl5ss 3359 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G " t
)  C_  A )
28 erdsze2.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
29 reex 9081 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
30 ssexg 4349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
3128, 29, 30sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
32 elpw2g 4363 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( G " t
)  e.  ~P A  <->  ( G " t ) 
C_  A ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G "
t )  e.  ~P A 
<->  ( G " t
)  C_  A )
)
3427, 33mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G " t
)  e.  ~P A
)
3534adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( G " t )  e. 
~P A )
3620f1imaen 7169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> A  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( G "
t )  ~~  t
)
3713, 36sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( G " t )  ~~  t )
38 fzfid 11312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
1 ... ( N  + 
1 ) )  e. 
Fin )
39 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
40 ssfi 7329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... ( N  +  1 ) )  e.  Fin  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  -> 
t  e.  Fin )
4138, 39, 40syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  t  e.  Fin )
42 enfii 7326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  ( G " t ) 
~~  t )  -> 
( G " t
)  e.  Fin )
4341, 37, 42syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( G " t )  e. 
Fin )
44 hashen 11631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G " t
)  e.  Fin  /\  t  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( G " t ) )  =  ( # `  t
)  <->  ( G "
t )  ~~  t
) )
4543, 41, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( # `  ( G
" t ) )  =  ( # `  t
)  <->  ( G "
t )  ~~  t
) )
4637, 45mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( # `
 ( G "
t ) )  =  ( # `  t
) )
4746breq2d 4224 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( R  <_  ( # `  ( G " t ) )  <-> 
R  <_  ( # `  t
) ) )
4847biimprd 215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( R  <_  ( # `  t
)  ->  R  <_  (
# `  ( G " t ) ) ) )
49 erdsze2lem.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ,  ran  G
) )
5049ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ,  ran  G ) )
5139adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
52 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  x  e.  t )
5351, 52sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
54 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  y  e.  t )
5551, 54sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  y  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
56 isorel 6046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ,  ran  G
)  /\  ( x  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  <  y  <->  ( G `  x )  <  ( G `  y ) ) )
5750, 53, 55, 56syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  ( x  <  y  <->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) )
5857biimpd 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  ( x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) )
5958ralrimivva 2798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) )
60 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  t  e.  NN )
6160nnred 10015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  t  e.  RR )
6261ssriv 3352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  C_  RR
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
1 ... ( N  + 
1 ) )  C_  RR )
64 ltso 9156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  RR
65 soss 4521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... ( N  +  1 ) ) 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
6663, 64, 65ee10 1385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  <  Or  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
6728adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  A  C_  RR )
68 soss 4521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  A ) )
6967, 64, 68ee10 1385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  <  Or  A )
7024adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  G : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) --> A )
71 soisores 6047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  <  Or  (
1 ... ( N  + 
1 ) )  /\  <  Or  A )  /\  ( G : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) --> A  /\  t  C_  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( ( G  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( G " t
) )  <->  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) ) )
7266, 69, 70, 39, 71syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( G  |`  t
)  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( G
" t ) )  <->  A. x  e.  t  A. y  e.  t 
( x  <  y  ->  ( G `  x
)  <  ( G `  y ) ) ) )
7359, 72mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( G  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( G " t
) ) )
74 isocnv 6050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  |`  t )  Isom  <  ,  <  (
t ,  ( G
" t ) )  ->  `' ( G  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( ( G
" t ) ,  t ) )
7573, 74syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  `' ( G  |`  t ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  t ) )
76 isotr 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' ( G  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( ( G
" t ) ,  t )  /\  (
( F  o.  G
)  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) ) )  -> 
( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) ) )
7776ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( G  |`  t
)  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  t )  ->  ( ( ( F  o.  G )  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) )  ->  (
( ( F  o.  G )  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
)  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) ) ) )
7875, 77syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G )
" t ) )  ->  ( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) ) ) )
79 resco 5374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  o.  G )  |`  t )  =  ( F  o.  ( G  |`  t ) )
8079coeq1i 5032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  o.  G
)  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  =  ( ( F  o.  ( G  |`  t ) )  o.  `' ( G  |`  t )
)
81 coass 5388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  o.  ( G  |`  t ) )  o.  `' ( G  |`  t ) )  =  ( F  o.  (
( G  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
) )
8280, 81eqtri 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  o.  G
)  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  =  ( F  o.  (
( G  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
) )
83 f1ores 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> A  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( G  |`  t ) : t -1-1-onto-> ( G " t ) )
8413, 83sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( G  |`  t ) : t -1-1-onto-> ( G " t
) )
85 f1ococnv2 5702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  |`  t ) : t -1-1-onto-> ( G " t
)  ->  ( ( G  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  =  (  _I  |`  ( G " t ) ) )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( G  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
)  =  (  _I  |`  ( G " t
) ) )
8786coeq2d 5035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( F  o.  ( ( G  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) ) )  =  ( F  o.  (  _I  |`  ( G
" t ) ) ) )
88 coires1 5387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  o.  (  _I  |`  ( G " t ) ) )  =  ( F  |`  ( G " t
) )
8987, 88syl6eq 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( F  o.  ( ( G  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) ) )  =  ( F  |`  ( G " t ) ) )
9082, 89syl5eq 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( F  o.  G )  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
)  =  ( F  |`  ( G " t
) ) )
91 isoeq1 6039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  o.  G )  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
)  =  ( F  |`  ( G " t
) )  ->  (
( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) ) ) )
9290, 91syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) ) ) )
93 imaco 5375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  o.  G )
" t )  =  ( F " ( G " t ) )
94 isoeq5 6043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  o.  G
) " t )  =  ( F "
( G " t
) )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
9593, 94ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G
" t ) ,  ( ( F  o.  G ) " t
) )  <->  ( F  |`  ( G " t
) )  Isom  <  ,  <  ( ( G
" t ) ,  ( F " ( G " t ) ) ) )
9692, 95syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
9778, 96sylibd 206 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G )
" t ) )  ->  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
9848, 97anim12d 547 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( R  <_  ( # `
 t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G )
" t ) ) )  ->  ( R  <_  ( # `  ( G " t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) ) )
9946breq2d 4224 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( S  <_  ( # `  ( G " t ) )  <-> 
S  <_  ( # `  t
) ) )
10099biimprd 215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( S  <_  ( # `  t
)  ->  S  <_  (
# `  ( G " t ) ) ) )
101 isotr 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' ( G  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( ( G
" t ) ,  t )  /\  (
( F  o.  G
)  |`  t )  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) "
t ) ) )  ->  ( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) )
102101ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( G  |`  t
)  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  t )  ->  ( ( ( F  o.  G )  |`  t )  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) )  ->  (
( ( F  o.  G )  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
)  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) )
10375, 102syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) )  ->  ( (
( F  o.  G
)  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t ) ,  ( ( F  o.  G ) "
t ) ) ) )
104 isoeq1 6039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  o.  G )  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
)  =  ( F  |`  ( G " t
) )  ->  (
( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( ( F  o.  G
) " t ) )  <->  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) )
10590, 104syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( ( F  o.  G
) " t ) )  <->  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) )
106 isoeq5 6043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  o.  G
) " t )  =  ( F "
( G " t
) )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
10793, 106ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t ) ,  ( ( F  o.  G ) "
t ) )  <->  ( F  |`  ( G " t
) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G
" t ) ,  ( F " ( G " t ) ) ) )
108105, 107syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( ( F  o.  G
) " t ) )  <->  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( F " ( G
" t ) ) ) ) )
109103, 108sylibd 206 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) )  ->  ( F  |`  ( G " t
) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G
" t ) ,  ( F " ( G " t ) ) ) ) )
110100, 109anim12d 547 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( S  <_  ( # `
 t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) )  ->  ( S  <_  ( # `  ( G " t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( F " ( G
" t ) ) ) ) ) )
11198, 110orim12d 812 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( R  <_ 
( # `  t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) )  -> 
( ( R  <_ 
( # `  ( G
" t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) )  \/  ( S  <_  ( # `  ( G " t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( F " ( G
" t ) ) ) ) ) ) )
112 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  ( # `
 s )  =  ( # `  ( G " t ) ) )
113112breq2d 4224 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  ( R  <_  ( # `  s
)  <->  R  <_  ( # `  ( G " t
) ) ) )
114 reseq2 5141 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  ( F  |`  s )  =  ( F  |`  ( G " t ) ) )
115 isoeq1 6039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  s )  =  ( F  |`  ( G " t ) )  ->  ( ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) )  <->  ( F  |`  ( G " t
) )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) ) )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  s
)  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
s ,  ( F
" s ) ) ) )
117 isoeq4 6042 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
s ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" s ) ) ) )
118 imaeq2 5199 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  ( F " s )  =  ( F " ( G " t ) ) )
119 isoeq5 6043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " s )  =  ( F "
( G " t
) )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
121116, 117, 1203bitrd 271 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  s
)  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
122113, 121anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( R  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  <  (
s ,  ( F
" s ) ) )  <->  ( R  <_ 
( # `  ( G
" t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) ) )
123112breq2d 4224 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  ( S  <_  ( # `  s
)  <->  S  <_  ( # `  ( G " t
) ) ) )
124 isoeq1 6039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  s )  =  ( F  |`  ( G " t ) )  ->  ( ( F  |`  s )  Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F "
s ) )  <->  ( F  |`  ( G " t
) )  Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F " s
) ) ) )
125114, 124syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  s
)  Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F " s ) )  <->  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F " s ) ) ) )
126 isoeq4 6042 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" s ) ) ) )
127 isoeq5 6043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " s )  =  ( F "
( G " t
) )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
128118, 127syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
129125, 126, 1283bitrd 271 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  s
)  Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F " s ) )  <->  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( F " ( G
" t ) ) ) ) )
130123, 129anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) )  <->  ( S  <_ 
( # `  ( G
" t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( F " ( G
" t ) ) ) ) ) )
131122, 130orbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( ( R  <_ 
( # `  s )  /\  ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) ) )  <->  ( ( R  <_  ( # `  ( G " t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) )  \/  ( S  <_  ( # `  ( G " t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( F " ( G
" t ) ) ) ) ) ) )
132131rspcev 3052 . . . . 5  |-  ( ( ( G " t
)  e.  ~P A  /\  ( ( R  <_ 
( # `  ( G
" t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) )  \/  ( S  <_  ( # `  ( G " t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( F " ( G
" t ) ) ) ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  A ( ( R  <_  ( # `  s
)  /\  ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) ) ) )
13335, 111, 132ee12an 1372 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( R  <_ 
( # `  t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  A ( ( R  <_  ( # `  s
)  /\  ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) ) ) ) )
13421, 133sylan2b 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ~P ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( R  <_ 
( # `  t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  A ( ( R  <_  ( # `  s
)  /\  ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) ) ) ) )
135134rexlimdva 2830 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t  e. 
~P  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( R  <_  ( # `  t
)  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  A ( ( R  <_  ( # `  s
)  /\  ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) ) ) ) )
13619, 135mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. s  e.  ~P  A ( ( R  <_  ( # `  s
)  /\  ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   class class class wbr 4212    _I cid 4493    Or wor 4502   `'ccnv 4877   ran crn 4879    |` cres 4880   "cima 4881    o. ccom 4882   -->wf 5450   -1-1->wf1 5451   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454    Isom wiso 5455  (class class class)co 6081    ~~ cen 7106   Fincfn 7109   RRcr 8989   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ...cfz 11043   #chash 11618
This theorem is referenced by:  erdsze2  24891
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-hash 11619
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