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Theorem erdsze2lem2 23750
Description: Lemma for erdsze2 23751. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
erdsze2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  NN )
erdsze2.f  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-> RR )
erdsze2.a  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
erdsze2lem.n  |-  N  =  ( ( R  - 
1 )  x.  ( S  -  1 ) )
erdsze2lem.l  |-  ( ph  ->  N  <  ( # `  A ) )
erdsze2lem.g  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> A
)
erdsze2lem.i  |-  ( ph  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ,  ran  G
) )
Assertion
Ref Expression
erdsze2lem2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  ~P  A ( ( R  <_  ( # `  s
)  /\  ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, s    F, s    G, s    R, s    S, s    N, s    ph, s

Proof of Theorem erdsze2lem2
Dummy variables  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze2lem.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( R  - 
1 )  x.  ( S  -  1 ) )
2 erdsze2.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
3 nnm1nn0 10021 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  NN  ->  ( R  -  1 )  e.  NN0 )
42, 3syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  -  1 )  e.  NN0 )
5 erdsze2.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  NN )
6 nnm1nn0 10021 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  NN  ->  ( S  -  1 )  e.  NN0 )
75, 6syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  -  1 )  e.  NN0 )
84, 7nn0mulcld 10039 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( R  - 
1 )  x.  ( S  -  1 ) )  e.  NN0 )
91, 8syl5eqel 2380 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
10 nn0p1nn 10019 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
119, 10syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
12 erdsze2.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-> RR )
13 erdsze2lem.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> A
)
14 f1co 5462 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-> RR  /\  G : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> A
)  ->  ( F  o.  G ) : ( 1 ... ( N  +  1 ) )
-1-1-> RR )
1512, 13, 14syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
) : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> RR )
169nn0red 10035 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
1716ltp1d 9703 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
181, 17syl5eqbrr 4073 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( R  - 
1 )  x.  ( S  -  1 ) )  <  ( N  +  1 ) )
1911, 15, 2, 5, 18erdsze 23748 . 2  |-  ( ph  ->  E. t  e.  ~P  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( R  <_  ( # `  t
)  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) ) )
20 vex 2804 . . . . 5  |-  t  e. 
_V
2120elpw 3644 . . . 4  |-  ( t  e.  ~P ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  <->  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
22 imassrn 5041 . . . . . . . 8  |-  ( G
" t )  C_  ran  G
23 f1f 5453 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-> A  ->  G : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) --> A )
2413, 23syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) --> A )
25 frn 5411 . . . . . . . . 9  |-  ( G : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) --> A  ->  ran  G  C_  A )
2624, 25syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  G  C_  A
)
2722, 26syl5ss 3203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G " t
)  C_  A )
28 erdsze2.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
29 reex 8844 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
30 ssexg 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
3128, 29, 30sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
32 elpw2g 4190 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( G " t
)  e.  ~P A  <->  ( G " t ) 
C_  A ) )
3331, 32syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G "
t )  e.  ~P A 
<->  ( G " t
)  C_  A )
)
3427, 33mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G " t
)  e.  ~P A
)
3534adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( G " t )  e. 
~P A )
3620f1imaen 6939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> A  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( G "
t )  ~~  t
)
3713, 36sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( G " t )  ~~  t )
38 fzfid 11051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
1 ... ( N  + 
1 ) )  e. 
Fin )
39 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
40 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... ( N  +  1 ) )  e.  Fin  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  -> 
t  e.  Fin )
4138, 39, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  t  e.  Fin )
42 enfii 7096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  ( G " t ) 
~~  t )  -> 
( G " t
)  e.  Fin )
4341, 37, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( G " t )  e. 
Fin )
44 hashen 11362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G " t
)  e.  Fin  /\  t  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( G " t ) )  =  ( # `  t
)  <->  ( G "
t )  ~~  t
) )
4543, 41, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( # `  ( G
" t ) )  =  ( # `  t
)  <->  ( G "
t )  ~~  t
) )
4637, 45mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( # `
 ( G "
t ) )  =  ( # `  t
) )
4746breq2d 4051 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( R  <_  ( # `  ( G " t ) )  <-> 
R  <_  ( # `  t
) ) )
4847biimprd 214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( R  <_  ( # `  t
)  ->  R  <_  (
# `  ( G " t ) ) ) )
49 erdsze2lem.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ,  ran  G
) )
5049ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ,  ran  G ) )
5139adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
52 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  x  e.  t )
5351, 52sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
54 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  y  e.  t )
5551, 54sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  y  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
56 isorel 5839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ,  ran  G
)  /\  ( x  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  <  y  <->  ( G `  x )  <  ( G `  y ) ) )
5750, 53, 55, 56syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  ( x  <  y  <->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) )
5857biimpd 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  ( x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) )
5958ralrimivva 2648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) )
60 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  t  e.  NN )
6160nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  t  e.  RR )
6261ssriv 3197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  C_  RR
6362a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
1 ... ( N  + 
1 ) )  C_  RR )
64 ltso 8919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  RR
65 soss 4348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... ( N  +  1 ) ) 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
6663, 64, 65ee10 1366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  <  Or  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
6728adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  A  C_  RR )
68 soss 4348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  A ) )
6967, 64, 68ee10 1366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  <  Or  A )
7024adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  G : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) --> A )
71 soisores 5840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  <  Or  (
1 ... ( N  + 
1 ) )  /\  <  Or  A )  /\  ( G : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) --> A  /\  t  C_  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( ( G  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( G " t
) )  <->  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) ) )
7266, 69, 70, 39, 71syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( G  |`  t
)  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( G
" t ) )  <->  A. x  e.  t  A. y  e.  t 
( x  <  y  ->  ( G `  x
)  <  ( G `  y ) ) ) )
7359, 72mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( G  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( G " t
) ) )
74 isocnv 5843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  |`  t )  Isom  <  ,  <  (
t ,  ( G
" t ) )  ->  `' ( G  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( ( G
" t ) ,  t ) )
7573, 74syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  `' ( G  |`  t ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  t ) )
76 isotr 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' ( G  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( ( G
" t ) ,  t )  /\  (
( F  o.  G
)  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) ) )  -> 
( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) ) )
7776ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( G  |`  t
)  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  t )  ->  ( ( ( F  o.  G )  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) )  ->  (
( ( F  o.  G )  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
)  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) ) ) )
7875, 77syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G )
" t ) )  ->  ( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) ) ) )
79 resco 5193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  o.  G )  |`  t )  =  ( F  o.  ( G  |`  t ) )
8079coeq1i 4859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  o.  G
)  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  =  ( ( F  o.  ( G  |`  t ) )  o.  `' ( G  |`  t )
)
81 coass 5207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  o.  ( G  |`  t ) )  o.  `' ( G  |`  t ) )  =  ( F  o.  (
( G  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
) )
8280, 81eqtri 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  o.  G
)  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  =  ( F  o.  (
( G  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
) )
83 f1ores 5503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> A  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( G  |`  t ) : t -1-1-onto-> ( G " t ) )
8413, 83sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( G  |`  t ) : t -1-1-onto-> ( G " t
) )
85 f1ococnv2 5516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  |`  t ) : t -1-1-onto-> ( G " t
)  ->  ( ( G  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  =  (  _I  |`  ( G " t ) ) )
8684, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( G  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
)  =  (  _I  |`  ( G " t
) ) )
8786coeq2d 4862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( F  o.  ( ( G  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) ) )  =  ( F  o.  (  _I  |`  ( G
" t ) ) ) )
88 coires1 5206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  o.  (  _I  |`  ( G " t ) ) )  =  ( F  |`  ( G " t
) )
8987, 88syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( F  o.  ( ( G  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) ) )  =  ( F  |`  ( G " t ) ) )
9082, 89syl5eq 2340 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( F  o.  G )  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
)  =  ( F  |`  ( G " t
) ) )
91 isoeq1 5832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  o.  G )  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
)  =  ( F  |`  ( G " t
) )  ->  (
( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) ) ) )
9290, 91syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) ) ) )
93 imaco 5194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  o.  G )
" t )  =  ( F " ( G " t ) )
94 isoeq5 5836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  o.  G
) " t )  =  ( F "
( G " t
) )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
9593, 94ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G
" t ) ,  ( ( F  o.  G ) " t
) )  <->  ( F  |`  ( G " t
) )  Isom  <  ,  <  ( ( G
" t ) ,  ( F " ( G " t ) ) ) )
9692, 95syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
9778, 96sylibd 205 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G )
" t ) )  ->  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
9848, 97anim12d 546 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( R  <_  ( # `
 t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G )
" t ) ) )  ->  ( R  <_  ( # `  ( G " t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) ) )
9946breq2d 4051 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( S  <_  ( # `  ( G " t ) )  <-> 
S  <_  ( # `  t
) ) )
10099biimprd 214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( S  <_  ( # `  t
)  ->  S  <_  (
# `  ( G " t ) ) ) )
101 isotr 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' ( G  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( ( G
" t ) ,  t )  /\  (
( F  o.  G
)  |`  t )  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) "
t ) ) )  ->  ( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) )
102101ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( G  |`  t
)  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  t )  ->  ( ( ( F  o.  G )  |`  t )  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) )  ->  (
( ( F  o.  G )  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
)  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) )
10375, 102syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) )  ->  ( (
( F  o.  G
)  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t ) ,  ( ( F  o.  G ) "
t ) ) ) )
104 isoeq1 5832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  o.  G )  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
)  =  ( F  |`  ( G " t
) )  ->  (
( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( ( F  o.  G
) " t ) )  <->  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) )
10590, 104syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( ( F  o.  G
) " t ) )  <->  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) )
106 isoeq5 5836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  o.  G
) " t )  =  ( F "
( G " t
) )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
10793, 106ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t ) ,  ( ( F  o.  G ) "
t ) )  <->  ( F  |`  ( G " t
) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G
" t ) ,  ( F " ( G " t ) ) ) )
108105, 107syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( ( F  o.  G
) " t ) )  <->  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( F " ( G
" t ) ) ) ) )
109103, 108sylibd 205 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) )  ->  ( F  |`  ( G " t
) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G
" t ) ,  ( F " ( G " t ) ) ) ) )
110100, 109anim12d 546 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( S  <_  ( # `
 t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) )  ->  ( S  <_  ( # `  ( G " t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( F " ( G
" t ) ) ) ) ) )
11198, 110orim12d 811 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( R  <_ 
( # `  t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) )  -> 
( ( R  <_ 
( # `  ( G
" t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) )  \/  ( S  <_  ( # `  ( G " t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( F " ( G
" t ) ) ) ) ) ) )
112 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  ( # `
 s )  =  ( # `  ( G " t ) ) )
113112breq2d 4051 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  ( R  <_  ( # `  s
)  <->  R  <_  ( # `  ( G " t
) ) ) )
114 reseq2 4966 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  ( F  |`  s )  =  ( F  |`  ( G " t ) ) )
115 isoeq1 5832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  s )  =  ( F  |`  ( G " t ) )  ->  ( ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) )  <->  ( F  |`  ( G " t
) )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) ) )
116114, 115syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  s
)  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
s ,  ( F
" s ) ) ) )
117 isoeq4 5835 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
s ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" s ) ) ) )
118 imaeq2 5024 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  ( F " s )  =  ( F " ( G " t ) ) )
119 isoeq5 5836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " s )  =  ( F "
( G " t
) )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
120118, 119syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
121116, 117, 1203bitrd 270 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  s
)  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
122113, 121anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( R  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  <  (
s ,  ( F
" s ) ) )  <->  ( R  <_ 
( # `  ( G
" t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) ) )
123112breq2d 4051 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  ( S  <_  ( # `  s
)  <->  S  <_  ( # `  ( G " t
) ) ) )
124 isoeq1 5832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  s )  =  ( F  |`  ( G " t ) )  ->  ( ( F  |`  s )  Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F "
s ) )  <->  ( F  |`  ( G " t
) )  Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F " s
) ) ) )
125114, 124syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  s
)  Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F " s ) )  <->  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F " s ) ) ) )
126 isoeq4 5835 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" s ) ) ) )
127 isoeq5 5836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " s )  =  ( F "
( G " t
) )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
128118, 127syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
129125, 126, 1283bitrd 270 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  s
)  Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F " s ) )  <->  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( F " ( G
" t ) ) ) ) )
130123, 129anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) )  <->  ( S  <_ 
( # `  ( G
" t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( F " ( G
" t ) ) ) ) ) )
131122, 130orbi12d 690 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( ( R  <_ 
( # `  s )  /\  ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) ) )  <->  ( ( R  <_  ( # `  ( G " t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) )  \/  ( S  <_  ( # `  ( G " t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( F " ( G
" t ) ) ) ) ) ) )
132131rspcev 2897 . . . . 5  |-  ( ( ( G " t
)  e.  ~P A  /\  ( ( R  <_ 
( # `  ( G
" t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) )  \/  ( S  <_  ( # `  ( G " t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( F " ( G
" t ) ) ) ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  A ( ( R  <_  ( # `  s
)  /\  ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) ) ) )
13335, 111, 132ee12an 1353 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( R  <_ 
( # `  t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  A ( ( R  <_  ( # `  s
)  /\  ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) ) ) ) )
13421, 133sylan2b 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ~P ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( R  <_ 
( # `  t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  A ( ( R  <_  ( # `  s
)  /\  ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) ) ) ) )
135134rexlimdva 2680 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t  e. 
~P  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( R  <_  ( # `  t
)  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  A ( ( R  <_  ( # `  s
)  /\  ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) ) ) ) )
13619, 135mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. s  e.  ~P  A ( ( R  <_  ( # `  s
)  /\  ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039    _I cid 4320    Or wor 4329   `'ccnv 4704   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708    o. ccom 4709   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271    Isom wiso 5272  (class class class)co 5874    ~~ cen 6876   Fincfn 6879   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ...cfz 10798   #chash 11353
This theorem is referenced by:  erdsze2  23751
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354
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