Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem2 Unicode version

Theorem erdszelem2 23738
Description: Lemma for erdsze 23748. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
erdszelem1.1  |-  S  =  { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) }
Assertion
Ref Expression
erdszelem2  |-  ( (
# " S )  e.  Fin  /\  ( #
" S )  C_  NN )
Distinct variable groups:    y, A    y, F    y, O
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem erdszelem2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 11050 . . . . 5  |-  ( 1 ... A )  e. 
Fin
2 pwfi 7167 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... A )  e.  Fin  <->  ~P (
1 ... A )  e. 
Fin )
31, 2mpbi 199 . . . 4  |-  ~P (
1 ... A )  e. 
Fin
4 erdszelem1.1 . . . . 5  |-  S  =  { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) }
5 ssrab2 3271 . . . . 5  |-  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) }  C_  ~P ( 1 ... A
)
64, 5eqsstri 3221 . . . 4  |-  S  C_  ~P ( 1 ... A
)
7 ssfi 7099 . . . 4  |-  ( ( ~P ( 1 ... A )  e.  Fin  /\  S  C_  ~P (
1 ... A ) )  ->  S  e.  Fin )
83, 6, 7mp2an 653 . . 3  |-  S  e. 
Fin
9 hashf 11360 . . . . 5  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  {  +oo } )
10 ffun 5407 . . . . 5  |-  ( # : _V --> ( NN0  u.  { 
+oo } )  ->  Fun  # )
119, 10ax-mp 8 . . . 4  |-  Fun  #
12 ssv 3211 . . . . 5  |-  S  C_  _V
139fdmi 5410 . . . . 5  |-  dom  #  =  _V
1412, 13sseqtr4i 3224 . . . 4  |-  S  C_  dom  #
15 fores 5476 . . . 4  |-  ( ( Fun  #  /\  S  C_  dom  # )  ->  ( #  |`  S ) : S -onto->
( # " S ) )
1611, 14, 15mp2an 653 . . 3  |-  ( #  |`  S ) : S -onto->
( # " S )
17 fofi 7158 . . 3  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  ( #  |`  S ) : S -onto-> ( # " S
) )  ->  ( #
" S )  e. 
Fin )
188, 16, 17mp2an 653 . 2  |-  ( # " S )  e.  Fin
19 funimass4 5589 . . . 4  |-  ( ( Fun  #  /\  S  C_  dom  # )  ->  (
( # " S ) 
C_  NN  <->  A. x  e.  S  ( # `  x )  e.  NN ) )
2011, 14, 19mp2an 653 . . 3  |-  ( (
# " S ) 
C_  NN  <->  A. x  e.  S  ( # `  x )  e.  NN )
214erdszelem1 23737 . . . 4  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  C_  ( 1 ... A
)  /\  ( F  |`  x )  Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F " x
) )  /\  A  e.  x ) )
22 ne0i 3474 . . . . . 6  |-  ( A  e.  x  ->  x  =/=  (/) )
23223ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  x ) 
Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F
" x ) )  /\  A  e.  x
)  ->  x  =/=  (/) )
24 simp1 955 . . . . . . 7  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  x ) 
Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F
" x ) )  /\  A  e.  x
)  ->  x  C_  (
1 ... A ) )
25 ssfi 7099 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... A
)  e.  Fin  /\  x  C_  ( 1 ... A ) )  ->  x  e.  Fin )
261, 24, 25sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  x ) 
Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F
" x ) )  /\  A  e.  x
)  ->  x  e.  Fin )
27 hashnncl 11370 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
( # `  x )  e.  NN  <->  x  =/=  (/) ) )
2826, 27syl 15 . . . . 5  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  x ) 
Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F
" x ) )  /\  A  e.  x
)  ->  ( ( # `
 x )  e.  NN  <->  x  =/=  (/) ) )
2923, 28mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  x ) 
Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F
" x ) )  /\  A  e.  x
)  ->  ( # `  x
)  e.  NN )
3021, 29sylbi 187 . . 3  |-  ( x  e.  S  ->  ( # `
 x )  e.  NN )
3120, 30mprgbir 2626 . 2  |-  ( # " S )  C_  NN
3218, 31pm3.2i 441 1  |-  ( (
# " S )  e.  Fin  /\  ( #
" S )  C_  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    u. cun 3163    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   dom cdm 4705    |` cres 4707   "cima 4708   Fun wfun 5265   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271    Isom wiso 5272  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   1c1 8754    +oocpnf 8880    < clt 8883   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ...cfz 10798   #chash 11353
This theorem is referenced by:  erdszelem5  23741  erdszelem6  23742  erdszelem7  23743  erdszelem8  23744
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354
  Copyright terms: Public domain W3C validator