Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem2 Unicode version

Theorem erdszelem2 24657
Description: Lemma for erdsze 24667. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
erdszelem1.1  |-  S  =  { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) }
Assertion
Ref Expression
erdszelem2  |-  ( (
# " S )  e.  Fin  /\  ( #
" S )  C_  NN )
Distinct variable groups:    y, A    y, F    y, O
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem erdszelem2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 11238 . . . . 5  |-  ( 1 ... A )  e. 
Fin
2 pwfi 7337 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... A )  e.  Fin  <->  ~P (
1 ... A )  e. 
Fin )
31, 2mpbi 200 . . . 4  |-  ~P (
1 ... A )  e. 
Fin
4 erdszelem1.1 . . . . 5  |-  S  =  { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) }
5 ssrab2 3371 . . . . 5  |-  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) }  C_  ~P ( 1 ... A
)
64, 5eqsstri 3321 . . . 4  |-  S  C_  ~P ( 1 ... A
)
7 ssfi 7265 . . . 4  |-  ( ( ~P ( 1 ... A )  e.  Fin  /\  S  C_  ~P (
1 ... A ) )  ->  S  e.  Fin )
83, 6, 7mp2an 654 . . 3  |-  S  e. 
Fin
9 hashf 11552 . . . . 5  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  {  +oo } )
10 ffun 5533 . . . . 5  |-  ( # : _V --> ( NN0  u.  { 
+oo } )  ->  Fun  # )
119, 10ax-mp 8 . . . 4  |-  Fun  #
12 ssv 3311 . . . . 5  |-  S  C_  _V
139fdmi 5536 . . . . 5  |-  dom  #  =  _V
1412, 13sseqtr4i 3324 . . . 4  |-  S  C_  dom  #
15 fores 5602 . . . 4  |-  ( ( Fun  #  /\  S  C_  dom  # )  ->  ( #  |`  S ) : S -onto->
( # " S ) )
1611, 14, 15mp2an 654 . . 3  |-  ( #  |`  S ) : S -onto->
( # " S )
17 fofi 7328 . . 3  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  ( #  |`  S ) : S -onto-> ( # " S
) )  ->  ( #
" S )  e. 
Fin )
188, 16, 17mp2an 654 . 2  |-  ( # " S )  e.  Fin
19 funimass4 5716 . . . 4  |-  ( ( Fun  #  /\  S  C_  dom  # )  ->  (
( # " S ) 
C_  NN  <->  A. x  e.  S  ( # `  x )  e.  NN ) )
2011, 14, 19mp2an 654 . . 3  |-  ( (
# " S ) 
C_  NN  <->  A. x  e.  S  ( # `  x )  e.  NN )
214erdszelem1 24656 . . . 4  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  C_  ( 1 ... A
)  /\  ( F  |`  x )  Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F " x
) )  /\  A  e.  x ) )
22 ne0i 3577 . . . . . 6  |-  ( A  e.  x  ->  x  =/=  (/) )
23223ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  x ) 
Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F
" x ) )  /\  A  e.  x
)  ->  x  =/=  (/) )
24 simp1 957 . . . . . . 7  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  x ) 
Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F
" x ) )  /\  A  e.  x
)  ->  x  C_  (
1 ... A ) )
25 ssfi 7265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... A
)  e.  Fin  /\  x  C_  ( 1 ... A ) )  ->  x  e.  Fin )
261, 24, 25sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  x ) 
Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F
" x ) )  /\  A  e.  x
)  ->  x  e.  Fin )
27 hashnncl 11572 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
( # `  x )  e.  NN  <->  x  =/=  (/) ) )
2826, 27syl 16 . . . . 5  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  x ) 
Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F
" x ) )  /\  A  e.  x
)  ->  ( ( # `
 x )  e.  NN  <->  x  =/=  (/) ) )
2923, 28mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  x ) 
Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F
" x ) )  /\  A  e.  x
)  ->  ( # `  x
)  e.  NN )
3021, 29sylbi 188 . . 3  |-  ( x  e.  S  ->  ( # `
 x )  e.  NN )
3120, 30mprgbir 2719 . 2  |-  ( # " S )  C_  NN
3218, 31pm3.2i 442 1  |-  ( (
# " S )  e.  Fin  /\  ( #
" S )  C_  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   {crab 2653   _Vcvv 2899    u. cun 3261    C_ wss 3263   (/)c0 3571   ~Pcpw 3742   {csn 3757   dom cdm 4818    |` cres 4820   "cima 4821   Fun wfun 5388   -->wf 5390   -onto->wfo 5392   ` cfv 5394    Isom wiso 5395  (class class class)co 6020   Fincfn 7045   1c1 8924    +oocpnf 9050    < clt 9053   NNcn 9932   NN0cn0 10153   ...cfz 10975   #chash 11545
This theorem is referenced by:  erdszelem5  24660  erdszelem6  24661  erdszelem7  24662  erdszelem8  24663
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-hash 11546
  Copyright terms: Public domain W3C validator