Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem4 Structured version   Unicode version

Theorem erdszelem4 24885
Description: Lemma for erdsze 24893. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
erdsze.f  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
erdszelem.k  |-  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
erdszelem.o  |-  O  Or  RR
Assertion
Ref Expression
erdszelem4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  e.  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, A, y    x, O, y    x, N, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    K( x, y)

Proof of Theorem erdszelem4
StepHypRef Expression
1 elfznn 11085 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 1 ... N )  ->  A  e.  NN )
21adantl 454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  NN )
3 elfz1end 11086 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  <->  A  e.  ( 1 ... A
) )
42, 3sylib 190 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  ( 1 ... A
) )
54snssd 3945 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  C_  ( 1 ... A ) )
6 elsni 3840 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
7 elsni 3840 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { A }  ->  y  =  A )
86, 7breqan12d 4230 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  (
x  <  y  <->  A  <  A ) )
98adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  -> 
( x  <  y  <->  A  <  A ) )
10 fzssuz 11098 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... N )  C_  ( ZZ>= `  1 )
11 uzssz 10510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
12 zssre 10294 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  C_  RR
1311, 12sstri 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  RR
1410, 13sstri 3359 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... N )  C_  RR
15 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  ( 1 ... N
) )
1615adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  ->  A  e.  ( 1 ... N ) )
1714, 16sseldi 3348 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  ->  A  e.  RR )
1817ltnrd 9212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  ->  -.  A  <  A )
1918pm2.21d 101 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  -> 
( A  <  A  ->  ( F `  x
) O ( F `
 y ) ) )
209, 19sylbid 208 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( F `  x
) O ( F `
 y ) ) )
2120ralrimivva 2800 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A. x  e.  { A } A. y  e.  { A }  ( x  < 
y  ->  ( F `  x ) O ( F `  y ) ) )
22 erdsze.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
23 f1f 5642 . . . . . 6  |-  ( F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
2524adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
2615snssd 3945 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  C_  ( 1 ... N ) )
27 ltso 9161 . . . . . 6  |-  <  Or  RR
28 soss 4524 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  ( 1 ... N
) ) )
2914, 27, 28mp2 9 . . . . 5  |-  <  Or  ( 1 ... N
)
30 erdszelem.o . . . . 5  |-  O  Or  RR
31 soisores 6050 . . . . 5  |-  ( ( (  <  Or  (
1 ... N )  /\  O  Or  RR )  /\  ( F : ( 1 ... N ) --> RR  /\  { A }  C_  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( ( F  |`  { A } ) 
Isom  <  ,  O  ( { A } , 
( F " { A } ) )  <->  A. x  e.  { A } A. y  e.  { A }  ( x  < 
y  ->  ( F `  x ) O ( F `  y ) ) ) )
3229, 30, 31mpanl12 665 . . . 4  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> RR 
/\  { A }  C_  ( 1 ... N
) )  ->  (
( F  |`  { A } )  Isom  <  ,  O  ( { A } ,  ( F " { A } ) )  <->  A. x  e.  { A } A. y  e. 
{ A }  (
x  <  y  ->  ( F `  x ) O ( F `  y ) ) ) )
3325, 26, 32syl2anc 644 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( F  |`  { A } )  Isom  <  ,  O  ( { A } ,  ( F " { A } ) )  <->  A. x  e.  { A } A. y  e. 
{ A }  (
x  <  y  ->  ( F `  x ) O ( F `  y ) ) ) )
3421, 33mpbird 225 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F  |`  { A }
)  Isom  <  ,  O  ( { A } , 
( F " { A } ) ) )
35 snidg 3841 . . 3  |-  ( A  e.  ( 1 ... N )  ->  A  e.  { A } )
3635adantl 454 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  { A } )
37 eqid 2438 . . 3  |-  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) }  =  { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) }
3837erdszelem1 24882 . 2  |-  ( { A }  e.  {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) }  <->  ( { A }  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  { A } )  Isom  <  ,  O  ( { A } ,  ( F " { A } ) )  /\  A  e. 
{ A } ) )
395, 34, 36, 38syl3anbrc 1139 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  e.  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   {csn 3816   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269    Or wor 4505    |` cres 4883   "cima 4884   -->wf 5453   -1-1->wf1 5454   ` cfv 5457    Isom wiso 5458  (class class class)co 6084   supcsup 7448   RRcr 8994   1c1 8996    < clt 9125   NNcn 10005   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048   #chash 11623
This theorem is referenced by:  erdszelem5  24886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049
  Copyright terms: Public domain W3C validator