Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem4 Unicode version

Theorem erdszelem4 23725
Description: Lemma for erdsze 23733. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
erdsze.f  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
erdszelem.k  |-  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
erdszelem.o  |-  O  Or  RR
Assertion
Ref Expression
erdszelem4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  e.  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, A, y    x, O, y    x, N, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    K( x, y)

Proof of Theorem erdszelem4
StepHypRef Expression
1 elfznn 10819 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 1 ... N )  ->  A  e.  NN )
21adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  NN )
3 elfz1end 10820 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  <->  A  e.  ( 1 ... A
) )
42, 3sylib 188 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  ( 1 ... A
) )
54snssd 3760 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  C_  ( 1 ... A ) )
6 elsni 3664 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
7 elsni 3664 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { A }  ->  y  =  A )
86, 7breqan12d 4038 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  (
x  <  y  <->  A  <  A ) )
98adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  -> 
( x  <  y  <->  A  <  A ) )
10 fzssuz 10832 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... N )  C_  ( ZZ>= `  1 )
11 uzssz 10247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
12 zssre 10031 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  C_  RR
1311, 12sstri 3188 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  RR
1410, 13sstri 3188 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... N )  C_  RR
15 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  ( 1 ... N
) )
1615adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  ->  A  e.  ( 1 ... N ) )
1714, 16sseldi 3178 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  ->  A  e.  RR )
1817ltnrd 8953 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  ->  -.  A  <  A )
1918pm2.21d 98 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  -> 
( A  <  A  ->  ( F `  x
) O ( F `
 y ) ) )
209, 19sylbid 206 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( F `  x
) O ( F `
 y ) ) )
2120ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A. x  e.  { A } A. y  e.  { A }  ( x  < 
y  ->  ( F `  x ) O ( F `  y ) ) )
22 erdsze.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
23 f1f 5437 . . . . . 6  |-  ( F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
2422, 23syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
2524adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
2615snssd 3760 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  C_  ( 1 ... N ) )
27 ltso 8903 . . . . . 6  |-  <  Or  RR
28 soss 4332 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  ( 1 ... N
) ) )
2914, 27, 28mp2 17 . . . . 5  |-  <  Or  ( 1 ... N
)
30 erdszelem.o . . . . 5  |-  O  Or  RR
31 soisores 5824 . . . . 5  |-  ( ( (  <  Or  (
1 ... N )  /\  O  Or  RR )  /\  ( F : ( 1 ... N ) --> RR  /\  { A }  C_  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( ( F  |`  { A } ) 
Isom  <  ,  O  ( { A } , 
( F " { A } ) )  <->  A. x  e.  { A } A. y  e.  { A }  ( x  < 
y  ->  ( F `  x ) O ( F `  y ) ) ) )
3229, 30, 31mpanl12 663 . . . 4  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> RR 
/\  { A }  C_  ( 1 ... N
) )  ->  (
( F  |`  { A } )  Isom  <  ,  O  ( { A } ,  ( F " { A } ) )  <->  A. x  e.  { A } A. y  e. 
{ A }  (
x  <  y  ->  ( F `  x ) O ( F `  y ) ) ) )
3325, 26, 32syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( F  |`  { A } )  Isom  <  ,  O  ( { A } ,  ( F " { A } ) )  <->  A. x  e.  { A } A. y  e. 
{ A }  (
x  <  y  ->  ( F `  x ) O ( F `  y ) ) ) )
3421, 33mpbird 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F  |`  { A }
)  Isom  <  ,  O  ( { A } , 
( F " { A } ) ) )
35 snidg 3665 . . 3  |-  ( A  e.  ( 1 ... N )  ->  A  e.  { A } )
3635adantl 452 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  { A } )
37 eqid 2283 . . 3  |-  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) }  =  { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) }
3837erdszelem1 23722 . 2  |-  ( { A }  e.  {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) }  <->  ( { A }  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  { A } )  Isom  <  ,  O  ( { A } ,  ( F " { A } ) )  /\  A  e. 
{ A } ) )
395, 34, 36, 38syl3anbrc 1136 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  e.  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    Or wor 4313    |` cres 4691   "cima 4692   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255    Isom wiso 5256  (class class class)co 5858   supcsup 7193   RRcr 8736   1c1 8738    < clt 8867   NNcn 9746   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   #chash 11337
This theorem is referenced by:  erdszelem5  23726
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783
  Copyright terms: Public domain W3C validator