Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem4 Unicode version

Theorem erdszelem4 24129
Description: Lemma for erdsze 24137. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
erdsze.f  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
erdszelem.k  |-  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
erdszelem.o  |-  O  Or  RR
Assertion
Ref Expression
erdszelem4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  e.  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, A, y    x, O, y    x, N, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    K( x, y)

Proof of Theorem erdszelem4
StepHypRef Expression
1 elfznn 10911 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 1 ... N )  ->  A  e.  NN )
21adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  NN )
3 elfz1end 10912 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  <->  A  e.  ( 1 ... A
) )
42, 3sylib 188 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  ( 1 ... A
) )
54snssd 3839 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  C_  ( 1 ... A ) )
6 elsni 3740 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
7 elsni 3740 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { A }  ->  y  =  A )
86, 7breqan12d 4119 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  (
x  <  y  <->  A  <  A ) )
98adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  -> 
( x  <  y  <->  A  <  A ) )
10 fzssuz 10924 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... N )  C_  ( ZZ>= `  1 )
11 uzssz 10339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
12 zssre 10123 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  C_  RR
1311, 12sstri 3264 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  RR
1410, 13sstri 3264 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... N )  C_  RR
15 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  ( 1 ... N
) )
1615adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  ->  A  e.  ( 1 ... N ) )
1714, 16sseldi 3254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  ->  A  e.  RR )
1817ltnrd 9043 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  ->  -.  A  <  A )
1918pm2.21d 98 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  -> 
( A  <  A  ->  ( F `  x
) O ( F `
 y ) ) )
209, 19sylbid 206 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( F `  x
) O ( F `
 y ) ) )
2120ralrimivva 2711 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A. x  e.  { A } A. y  e.  { A }  ( x  < 
y  ->  ( F `  x ) O ( F `  y ) ) )
22 erdsze.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
23 f1f 5520 . . . . . 6  |-  ( F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
2422, 23syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
2524adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
2615snssd 3839 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  C_  ( 1 ... N ) )
27 ltso 8993 . . . . . 6  |-  <  Or  RR
28 soss 4414 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  ( 1 ... N
) ) )
2914, 27, 28mp2 17 . . . . 5  |-  <  Or  ( 1 ... N
)
30 erdszelem.o . . . . 5  |-  O  Or  RR
31 soisores 5911 . . . . 5  |-  ( ( (  <  Or  (
1 ... N )  /\  O  Or  RR )  /\  ( F : ( 1 ... N ) --> RR  /\  { A }  C_  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( ( F  |`  { A } ) 
Isom  <  ,  O  ( { A } , 
( F " { A } ) )  <->  A. x  e.  { A } A. y  e.  { A }  ( x  < 
y  ->  ( F `  x ) O ( F `  y ) ) ) )
3229, 30, 31mpanl12 663 . . . 4  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> RR 
/\  { A }  C_  ( 1 ... N
) )  ->  (
( F  |`  { A } )  Isom  <  ,  O  ( { A } ,  ( F " { A } ) )  <->  A. x  e.  { A } A. y  e. 
{ A }  (
x  <  y  ->  ( F `  x ) O ( F `  y ) ) ) )
3325, 26, 32syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( F  |`  { A } )  Isom  <  ,  O  ( { A } ,  ( F " { A } ) )  <->  A. x  e.  { A } A. y  e. 
{ A }  (
x  <  y  ->  ( F `  x ) O ( F `  y ) ) ) )
3421, 33mpbird 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F  |`  { A }
)  Isom  <  ,  O  ( { A } , 
( F " { A } ) ) )
35 snidg 3741 . . 3  |-  ( A  e.  ( 1 ... N )  ->  A  e.  { A } )
3635adantl 452 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  { A } )
37 eqid 2358 . . 3  |-  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) }  =  { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) }
3837erdszelem1 24126 . 2  |-  ( { A }  e.  {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) }  <->  ( { A }  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  { A } )  Isom  <  ,  O  ( { A } ,  ( F " { A } ) )  /\  A  e. 
{ A } ) )
395, 34, 36, 38syl3anbrc 1136 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  e.  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   {crab 2623    C_ wss 3228   ~Pcpw 3701   {csn 3716   class class class wbr 4104    e. cmpt 4158    Or wor 4395    |` cres 4773   "cima 4774   -->wf 5333   -1-1->wf1 5334   ` cfv 5337    Isom wiso 5338  (class class class)co 5945   supcsup 7283   RRcr 8826   1c1 8828    < clt 8957   NNcn 9836   ZZcz 10116   ZZ>=cuz 10322   ...cfz 10874   #chash 11430
This theorem is referenced by:  erdszelem5  24130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875
  Copyright terms: Public domain W3C validator