Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem4 Unicode version

Theorem erdszelem4 24841
Description: Lemma for erdsze 24849. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
erdsze.f  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
erdszelem.k  |-  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
erdszelem.o  |-  O  Or  RR
Assertion
Ref Expression
erdszelem4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  e.  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, A, y    x, O, y    x, N, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    K( x, y)

Proof of Theorem erdszelem4
StepHypRef Expression
1 elfznn 11044 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 1 ... N )  ->  A  e.  NN )
21adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  NN )
3 elfz1end 11045 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  <->  A  e.  ( 1 ... A
) )
42, 3sylib 189 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  ( 1 ... A
) )
54snssd 3911 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  C_  ( 1 ... A ) )
6 elsni 3806 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
7 elsni 3806 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { A }  ->  y  =  A )
86, 7breqan12d 4195 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  (
x  <  y  <->  A  <  A ) )
98adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  -> 
( x  <  y  <->  A  <  A ) )
10 fzssuz 11057 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... N )  C_  ( ZZ>= `  1 )
11 uzssz 10469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
12 zssre 10253 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  C_  RR
1311, 12sstri 3325 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  RR
1410, 13sstri 3325 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... N )  C_  RR
15 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  ( 1 ... N
) )
1615adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  ->  A  e.  ( 1 ... N ) )
1714, 16sseldi 3314 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  ->  A  e.  RR )
1817ltnrd 9171 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  ->  -.  A  <  A )
1918pm2.21d 100 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  -> 
( A  <  A  ->  ( F `  x
) O ( F `
 y ) ) )
209, 19sylbid 207 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( F `  x
) O ( F `
 y ) ) )
2120ralrimivva 2766 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A. x  e.  { A } A. y  e.  { A }  ( x  < 
y  ->  ( F `  x ) O ( F `  y ) ) )
22 erdsze.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
23 f1f 5606 . . . . . 6  |-  ( F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
2524adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
2615snssd 3911 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  C_  ( 1 ... N ) )
27 ltso 9120 . . . . . 6  |-  <  Or  RR
28 soss 4489 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  ( 1 ... N
) ) )
2914, 27, 28mp2 9 . . . . 5  |-  <  Or  ( 1 ... N
)
30 erdszelem.o . . . . 5  |-  O  Or  RR
31 soisores 6014 . . . . 5  |-  ( ( (  <  Or  (
1 ... N )  /\  O  Or  RR )  /\  ( F : ( 1 ... N ) --> RR  /\  { A }  C_  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( ( F  |`  { A } ) 
Isom  <  ,  O  ( { A } , 
( F " { A } ) )  <->  A. x  e.  { A } A. y  e.  { A }  ( x  < 
y  ->  ( F `  x ) O ( F `  y ) ) ) )
3229, 30, 31mpanl12 664 . . . 4  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> RR 
/\  { A }  C_  ( 1 ... N
) )  ->  (
( F  |`  { A } )  Isom  <  ,  O  ( { A } ,  ( F " { A } ) )  <->  A. x  e.  { A } A. y  e. 
{ A }  (
x  <  y  ->  ( F `  x ) O ( F `  y ) ) ) )
3325, 26, 32syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( F  |`  { A } )  Isom  <  ,  O  ( { A } ,  ( F " { A } ) )  <->  A. x  e.  { A } A. y  e. 
{ A }  (
x  <  y  ->  ( F `  x ) O ( F `  y ) ) ) )
3421, 33mpbird 224 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F  |`  { A }
)  Isom  <  ,  O  ( { A } , 
( F " { A } ) ) )
35 snidg 3807 . . 3  |-  ( A  e.  ( 1 ... N )  ->  A  e.  { A } )
3635adantl 453 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  { A } )
37 eqid 2412 . . 3  |-  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) }  =  { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) }
3837erdszelem1 24838 . 2  |-  ( { A }  e.  {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) }  <->  ( { A }  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  { A } )  Isom  <  ,  O  ( { A } ,  ( F " { A } ) )  /\  A  e. 
{ A } ) )
395, 34, 36, 38syl3anbrc 1138 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  e.  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   {crab 2678    C_ wss 3288   ~Pcpw 3767   {csn 3782   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234    Or wor 4470    |` cres 4847   "cima 4848   -->wf 5417   -1-1->wf1 5418   ` cfv 5421    Isom wiso 5422  (class class class)co 6048   supcsup 7411   RRcr 8953   1c1 8955    < clt 9084   NNcn 9964   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   ...cfz 11007   #chash 11581
This theorem is referenced by:  erdszelem5  24842
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008
  Copyright terms: Public domain W3C validator