Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem6 Structured version   Unicode version

Theorem erdszelem6 24874
Description: Lemma for erdsze 24880. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
erdsze.f  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
erdszelem.k  |-  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
erdszelem.o  |-  O  Or  RR
Assertion
Ref Expression
erdszelem6  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) --> NN )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, O, y    x, N, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    K( x, y)

Proof of Theorem erdszelem6
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 9148 . . . 4  |-  <  Or  RR
21supex 7460 . . 3  |-  sup (
( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )  e.  _V
32a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  sup ( ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... x )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )  e.  _V )
4 erdszelem.k . . 3  |-  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
54a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  sup (
( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  ) ) )
6 eqid 2435 . . . . 5  |-  { y  e.  ~P ( 1 ... z )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  z  e.  y ) }  =  { y  e.  ~P ( 1 ... z
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  z  e.  y ) }
76erdszelem2 24870 . . . 4  |-  ( (
# " { y  e.  ~P ( 1 ... z )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  z  e.  y ) } )  e.  Fin  /\  ( #
" { y  e. 
~P ( 1 ... z )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  z  e.  y ) } ) 
C_  NN )
87simpri 449 . . 3  |-  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... z
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  z  e.  y ) } )  C_  NN
9 erdsze.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
10 erdsze.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
11 erdszelem.o . . . 4  |-  O  Or  RR
129, 10, 4, 11erdszelem5 24873 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K `  z )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... z )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  z  e.  y ) } ) )
138, 12sseldi 3338 . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K `  z )  e.  NN )
143, 5, 13fmpt2d 5890 1  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) --> NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791    e. cmpt 4258    Or wor 4494    |` cres 4872   "cima 4873   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   ` cfv 5446    Isom wiso 5447  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   supcsup 7437   RRcr 8981   1c1 8983    < clt 9112   NNcn 9992   ...cfz 11035   #chash 11610
This theorem is referenced by:  erdszelem7  24875  erdszelem8  24876  erdszelem9  24877
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-hash 11611
  Copyright terms: Public domain W3C validator