Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem6 Unicode version

Theorem erdszelem6 24661
Description: Lemma for erdsze 24667. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
erdsze.f  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
erdszelem.k  |-  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
erdszelem.o  |-  O  Or  RR
Assertion
Ref Expression
erdszelem6  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) --> NN )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, O, y    x, N, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    K( x, y)

Proof of Theorem erdszelem6
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 9089 . . . 4  |-  <  Or  RR
21supex 7401 . . 3  |-  sup (
( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )  e.  _V
32a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  sup ( ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... x )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )  e.  _V )
4 erdszelem.k . . 3  |-  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
54a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  sup (
( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  ) ) )
6 eqid 2387 . . . . 5  |-  { y  e.  ~P ( 1 ... z )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  z  e.  y ) }  =  { y  e.  ~P ( 1 ... z
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  z  e.  y ) }
76erdszelem2 24657 . . . 4  |-  ( (
# " { y  e.  ~P ( 1 ... z )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  z  e.  y ) } )  e.  Fin  /\  ( #
" { y  e. 
~P ( 1 ... z )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  z  e.  y ) } ) 
C_  NN )
87simpri 449 . . 3  |-  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... z
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  z  e.  y ) } )  C_  NN
9 erdsze.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
10 erdsze.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
11 erdszelem.o . . . 4  |-  O  Or  RR
129, 10, 4, 11erdszelem5 24660 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K `  z )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... z )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  z  e.  y ) } ) )
138, 12sseldi 3289 . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K `  z )  e.  NN )
143, 5, 13fmpt2d 5837 1  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) --> NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2653   _Vcvv 2899    C_ wss 3263   ~Pcpw 3742    e. cmpt 4207    Or wor 4443    |` cres 4820   "cima 4821   -->wf 5390   -1-1->wf1 5391   ` cfv 5394    Isom wiso 5395  (class class class)co 6020   Fincfn 7045   supcsup 7380   RRcr 8922   1c1 8924    < clt 9053   NNcn 9932   ...cfz 10975   #chash 11545
This theorem is referenced by:  erdszelem7  24662  erdszelem8  24663  erdszelem9  24664
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-hash 11546
  Copyright terms: Public domain W3C validator