Theorem erdszelem7 24844

Description: Lemma for erdsze 24849. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
erdsze.n	|- ( ph -> N e. NN )
erdsze.f	|- ( ph -> F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
erdszelem.k	|- K = ( x e. ( 1 ... N ) |-> sup ( ( # " { y e. ~P ( 1 ... x ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ x e. y ) } ) , RR , < ) )
erdszelem.o	|- O Or RR
erdszelem.a	|- ( ph -> A e. ( 1 ... N ) )
erdszelem7.r	|- ( ph -> R e. NN )
erdszelem7.m	|- ( ph -> -. ( K ` A ) e. ( 1 ... ( R - 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
erdszelem7	|- ( ph -> E. s e. ~P ( 1 ... N ) ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, s, F   K, s   A, s, x, y   O, s, x, y   R, s, x, y   N, s, x, y   ph, s, x, y

Allowed substitution hints:   K( x, y)

Proof of Theorem erdszelem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf 11588	. . . 4 |- # : _V --> ( NN0 u. { +oo } )
2		ffun 5560	. . . 4 |- ( # : _V --> ( NN0 u. { +oo } ) -> Fun # )
3	1, 2	ax-mp 8	. . 3 |- Fun #
4		erdszelem.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. ( 1 ... N ) )
5		erdsze.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
6		erdsze.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
7		erdszelem.k	. . . . 5 |- K = ( x e. ( 1 ... N ) |-> sup ( ( # " { y e. ~P ( 1 ... x ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ x e. y ) } ) , RR , < ) )
8		erdszelem.o	. . . . 5 |- O Or RR
9	5, 6, 7, 8	erdszelem5 24842	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. ( 1 ... N ) ) -> ( K ` A ) e. ( # " { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ) )
10	4, 9	mpdan 650	. . 3 |- ( ph -> ( K ` A ) e. ( # " { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ) )
11		fvelima 5745	. . 3 |- ( ( Fun # /\ ( K ` A ) e. ( # " { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ) ) -> E. s e. { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ( # ` s ) = ( K ` A ) )
12	3, 10, 11	sylancr 645	. 2 |- ( ph -> E. s e. { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ( # ` s ) = ( K ` A ) )
13		eqid 2412	. . . . . 6 |- { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } = { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) }
14	13	erdszelem1 24838	. . . . 5 |- ( s e. { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } <-> ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) )
15		simprl1 1002	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) /\ ( # ` s ) = ( K ` A ) ) ) -> s C_ ( 1 ... A ) )
16		elfzuz3 11020	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` A ) )
17		fzss2 11056	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> ( 1 ... A ) C_ ( 1 ... N ) )
18	4, 16, 17	3syl 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 ... A ) C_ ( 1 ... N ) )
19	18	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) /\ ( # ` s ) = ( K ` A ) ) ) -> ( 1 ... A ) C_ ( 1 ... N ) )
20	15, 19	sstrd 3326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) /\ ( # ` s ) = ( K ` A ) ) ) -> s C_ ( 1 ... N ) )
21		vex 2927	. . . . . . . . 9 |- s e. _V
22	21	elpw 3773	. . . . . . . 8 |- ( s e. ~P ( 1 ... N ) <-> s C_ ( 1 ... N ) )
23	20, 22	sylibr 204	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) /\ ( # ` s ) = ( K ` A ) ) ) -> s e. ~P ( 1 ... N ) )
24		erdszelem7.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. ( K ` A ) e. ( 1 ... ( R - 1 ) ) )
25	5, 6, 7, 8	erdszelem6 24843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) --> NN )
26	25, 4	ffvelrnd 5838	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( K ` A ) e. NN )
27		nnuz 10485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
28	26, 27	syl6eleq 2502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( K ` A ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
29		erdszelem7.r	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R e. NN )
30		nnz 10267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. NN -> R e. ZZ )
31		peano2zm 10284	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. ZZ -> ( R - 1 ) e. ZZ )
32	29, 30, 31	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( R - 1 ) e. ZZ )
33		elfz5 11015	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K ` A ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( R - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( K ` A ) e. ( 1 ... ( R - 1 ) ) <-> ( K ` A ) <_ ( R - 1 ) ) )
34	28, 32, 33	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( K ` A ) e. ( 1 ... ( R - 1 ) ) <-> ( K ` A ) <_ ( R - 1 ) ) )
35		nnltlem1 10303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K ` A ) e. NN /\ R e. NN ) -> ( ( K ` A ) < R <-> ( K ` A ) <_ ( R - 1 ) ) )
36	26, 29, 35	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( K ` A ) < R <-> ( K ` A ) <_ ( R - 1 ) ) )
37	34, 36	bitr4d 248	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( K ` A ) e. ( 1 ... ( R - 1 ) ) <-> ( K ` A ) < R ) )
38	24, 37	mtbid 292	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( K ` A ) < R )
39	29	nnred 9979	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. RR )
40	13	erdszelem2 24839	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # " { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ) e. Fin /\ ( # " { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ) C_ NN )
41	40	simpri 449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( # " { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ) C_ NN
42		nnssre 9968	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN C_ RR
43	41, 42	sstri 3325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( # " { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ) C_ RR
44	43, 10	sseldi 3314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( K ` A ) e. RR )
45	39, 44	lenltd 9183	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R <_ ( K ` A ) <-> -. ( K ` A ) < R ) )
46	38, 45	mpbird 224	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R <_ ( K ` A ) )
47	46	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) /\ ( # ` s ) = ( K ` A ) ) ) -> R <_ ( K ` A ) )
48		simprr 734	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) /\ ( # ` s ) = ( K ` A ) ) ) -> ( # ` s ) = ( K ` A ) )
49	47, 48	breqtrrd 4206	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) /\ ( # ` s ) = ( K ` A ) ) ) -> R <_ ( # ` s ) )
50		simprl2 1003	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) /\ ( # ` s ) = ( K ` A ) ) ) -> ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) )
51	23, 49, 50	jca32 522	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) /\ ( # ` s ) = ( K ` A ) ) ) -> ( s e. ~P ( 1 ... N ) /\ ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) ) ) )
52	51	expr 599	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) ) -> ( ( # ` s ) = ( K ` A ) -> ( s e. ~P ( 1 ... N ) /\ ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) ) ) ) )
53	14, 52	sylan2b 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ) -> ( ( # ` s ) = ( K ` A ) -> ( s e. ~P ( 1 ... N ) /\ ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) ) ) ) )
54	53	expimpd 587	. . 3 |- ( ph -> ( ( s e. { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } /\ ( # ` s ) = ( K ` A ) ) -> ( s e. ~P ( 1 ... N ) /\ ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) ) ) ) )
55	54	reximdv2 2783	. 2 |- ( ph -> ( E. s e. { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ( # ` s ) = ( K ` A ) -> E. s e. ~P ( 1 ... N ) ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) ) ) )
56	12, 55	mpd 15	1 |- ( ph -> E. s e. ~P ( 1 ... N ) ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   E.wrex 2675   {crab 2678   _Vcvv 2924   u. cun 3286   C_ wss 3288   ~Pcpw 3767   {csn 3782   class class class wbr 4180   e. cmpt 4234   Or wor 4470   |` cres 4847   "cima 4848   Fun wfun 5415   -->wf 5417   -1-1->wf1 5418   ` cfv 5421   Isom wiso 5422  (class class class)co 6048   Fincfn 7076   supcsup 7411   RRcr 8953   1c1 8955   +oocpnf 9081   < clt 9084   <_ cle 9085   - cmin 9255   NNcn 9964   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   ...cfz 11007   #chash 11581

This theorem is referenced by:  erdszelem11  24848

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-hash 11582