Theorem erdszelem7 23728

Description: Lemma for erdsze 23733. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
erdsze.n	|- ( ph -> N e. NN )
erdsze.f	|- ( ph -> F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
erdszelem.k	|- K = ( x e. ( 1 ... N ) |-> sup ( ( # " { y e. ~P ( 1 ... x ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ x e. y ) } ) , RR , < ) )
erdszelem.o	|- O Or RR
erdszelem.a	|- ( ph -> A e. ( 1 ... N ) )
erdszelem7.r	|- ( ph -> R e. NN )
erdszelem7.m	|- ( ph -> -. ( K ` A ) e. ( 1 ... ( R - 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
erdszelem7	|- ( ph -> E. s e. ~P ( 1 ... N ) ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, s, F   K, s   A, s, x, y   O, s, x, y   R, s, x, y   N, s, x, y   ph, s, x, y

Allowed substitution hints:   K( x, y)

Proof of Theorem erdszelem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf 11344	. . . 4 |- # : _V --> ( NN0 u. { +oo } )
2		ffun 5391	. . . 4 |- ( # : _V --> ( NN0 u. { +oo } ) -> Fun # )
3	1, 2	ax-mp 8	. . 3 |- Fun #
4		erdszelem.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. ( 1 ... N ) )
5		erdsze.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
6		erdsze.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
7		erdszelem.k	. . . . 5 |- K = ( x e. ( 1 ... N ) |-> sup ( ( # " { y e. ~P ( 1 ... x ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ x e. y ) } ) , RR , < ) )
8		erdszelem.o	. . . . 5 |- O Or RR
9	5, 6, 7, 8	erdszelem5 23726	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. ( 1 ... N ) ) -> ( K ` A ) e. ( # " { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ) )
10	4, 9	mpdan 649	. . 3 |- ( ph -> ( K ` A ) e. ( # " { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ) )
11		fvelima 5574	. . 3 |- ( ( Fun # /\ ( K ` A ) e. ( # " { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ) ) -> E. s e. { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ( # ` s ) = ( K ` A ) )
12	3, 10, 11	sylancr 644	. 2 |- ( ph -> E. s e. { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ( # ` s ) = ( K ` A ) )
13		eqid 2283	. . . . . 6 |- { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } = { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) }
14	13	erdszelem1 23722	. . . . 5 |- ( s e. { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } <-> ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) )
15		simprl1 1000	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) /\ ( # ` s ) = ( K ` A ) ) ) -> s C_ ( 1 ... A ) )
16		elfzuz3 10795	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` A ) )
17		fzss2 10831	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> ( 1 ... A ) C_ ( 1 ... N ) )
18	4, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 ... A ) C_ ( 1 ... N ) )
19	18	adantr 451	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) /\ ( # ` s ) = ( K ` A ) ) ) -> ( 1 ... A ) C_ ( 1 ... N ) )
20	15, 19	sstrd 3189	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) /\ ( # ` s ) = ( K ` A ) ) ) -> s C_ ( 1 ... N ) )
21		vex 2791	. . . . . . . . 9 |- s e. _V
22	21	elpw 3631	. . . . . . . 8 |- ( s e. ~P ( 1 ... N ) <-> s C_ ( 1 ... N ) )
23	20, 22	sylibr 203	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) /\ ( # ` s ) = ( K ` A ) ) ) -> s e. ~P ( 1 ... N ) )
24		erdszelem7.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. ( K ` A ) e. ( 1 ... ( R - 1 ) ) )
25	5, 6, 7, 8	erdszelem6 23727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) --> NN )
26		ffvelrn 5663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K : ( 1 ... N ) --> NN /\ A e. ( 1 ... N ) ) -> ( K ` A ) e. NN )
27	25, 4, 26	syl2anc 642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( K ` A ) e. NN )
28		nnuz 10263	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
29	27, 28	syl6eleq 2373	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( K ` A ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
30		erdszelem7.r	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R e. NN )
31		nnz 10045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. NN -> R e. ZZ )
32		peano2zm 10062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. ZZ -> ( R - 1 ) e. ZZ )
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( R - 1 ) e. ZZ )
34		elfz5 10790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K ` A ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( R - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( K ` A ) e. ( 1 ... ( R - 1 ) ) <-> ( K ` A ) <_ ( R - 1 ) ) )
35	29, 33, 34	syl2anc 642	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( K ` A ) e. ( 1 ... ( R - 1 ) ) <-> ( K ` A ) <_ ( R - 1 ) ) )
36		nnltlem1 10081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K ` A ) e. NN /\ R e. NN ) -> ( ( K ` A ) < R <-> ( K ` A ) <_ ( R - 1 ) ) )
37	27, 30, 36	syl2anc 642	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( K ` A ) < R <-> ( K ` A ) <_ ( R - 1 ) ) )
38	35, 37	bitr4d 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( K ` A ) e. ( 1 ... ( R - 1 ) ) <-> ( K ` A ) < R ) )
39	24, 38	mtbid 291	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( K ` A ) < R )
40	30	nnred 9761	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. RR )
41	13	erdszelem2 23723	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # " { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ) e. Fin /\ ( # " { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ) C_ NN )
42	41	simpri 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( # " { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ) C_ NN
43		nnssre 9750	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN C_ RR
44	42, 43	sstri 3188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( # " { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ) C_ RR
45	44, 10	sseldi 3178	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( K ` A ) e. RR )
46	40, 45	lenltd 8965	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R <_ ( K ` A ) <-> -. ( K ` A ) < R ) )
47	39, 46	mpbird 223	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R <_ ( K ` A ) )
48	47	adantr 451	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) /\ ( # ` s ) = ( K ` A ) ) ) -> R <_ ( K ` A ) )
49		simprr 733	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) /\ ( # ` s ) = ( K ` A ) ) ) -> ( # ` s ) = ( K ` A ) )
50	48, 49	breqtrrd 4049	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) /\ ( # ` s ) = ( K ` A ) ) ) -> R <_ ( # ` s ) )
51		simprl2 1001	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) /\ ( # ` s ) = ( K ` A ) ) ) -> ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) )
52	23, 50, 51	jca32 521	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) /\ ( # ` s ) = ( K ` A ) ) ) -> ( s e. ~P ( 1 ... N ) /\ ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) ) ) )
53	52	expr 598	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( s C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) /\ A e. s ) ) -> ( ( # ` s ) = ( K ` A ) -> ( s e. ~P ( 1 ... N ) /\ ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) ) ) ) )
54	14, 53	sylan2b 461	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ) -> ( ( # ` s ) = ( K ` A ) -> ( s e. ~P ( 1 ... N ) /\ ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) ) ) ) )
55	54	expimpd 586	. . 3 |- ( ph -> ( ( s e. { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } /\ ( # ` s ) = ( K ` A ) ) -> ( s e. ~P ( 1 ... N ) /\ ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) ) ) ) )
56	55	reximdv2 2652	. 2 |- ( ph -> ( E. s e. { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ( # ` s ) = ( K ` A ) -> E. s e. ~P ( 1 ... N ) ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) ) ) )
57	12, 56	mpd 14	1 |- ( ph -> E. s e. ~P ( 1 ... N ) ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , O ( s , ( F " s ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   /\ w3a 934   = wceq 1623   e. wcel 1684   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788   u. cun 3150   C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   class class class wbr 4023   e. cmpt 4077   Or wor 4313   |` cres 4691   "cima 4692   Fun wfun 5249   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255   Isom wiso 5256  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   supcsup 7193   RRcr 8736   1c1 8738   +oocpnf 8864   < clt 8867   <_ cle 8868   - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   #chash 11337

This theorem is referenced by:  erdszelem11  23732

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338