Theorem erelem3 7321

Description: Lemma for ereALT 7331.

Hypotheses

Ref	Expression
erelem1.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
erelem1.2	|- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))}

Assertion

Ref	Expression
erelem3	|- (z e. NN -> (0 <_ (G` z) /\ (G` z) <_ (F` z)))

Distinct variable groups:   x,y,z   z,F   z,G

Proof of Theorem erelem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5452	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		ltlet 5532	. . . . 5 |- ((0 e. RR /\ (1 / (!` z)) e. RR) -> (0 < (1 / (!` z)) -> 0 <_ (1 / (!` z))))
3	1, 2	mpan 697	. . . 4 |- ((1 / (!` z)) e. RR -> (0 < (1 / (!` z)) -> 0 <_ (1 / (!` z))))
4		rerecclt 5805	. . . . 5 |- (((!` z) e. RR /\ (!` z) =/= 0) -> (1 / (!` z)) e. RR)
5		nnnn0t 6108	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> z e. NN0)
6		facclt 6940	. . . . . . 7 |- (z e. NN0 -> (!` z) e. NN)
7	5, 6	syl 10	. . . . . 6 |- (z e. NN -> (!` z) e. NN)
8		nnret 5931	. . . . . 6 |- ((!` z) e. NN -> (!` z) e. RR)
9	7, 8	syl 10	. . . . 5 |- (z e. NN -> (!` z) e. RR)
10		nnne0t 5951	. . . . . 6 |- ((!` z) e. NN -> (!` z) =/= 0)
11	7, 10	syl 10	. . . . 5 |- (z e. NN -> (!` z) =/= 0)
12	4, 9, 11	sylanc 473	. . . 4 |- (z e. NN -> (1 / (!` z)) e. RR)
13		recgt0t 5863	. . . . 5 |- (((!` z) e. RR /\ 0 < (!` z)) -> 0 < (1 / (!` z)))
14		nngt0t 5948	. . . . . 6 |- ((!` z) e. NN -> 0 < (!` z))
15	7, 14	syl 10	. . . . 5 |- (z e. NN -> 0 < (!` z))
16	13, 9, 15	sylanc 473	. . . 4 |- (z e. NN -> 0 < (1 / (!` z)))
17	3, 12, 16	sylc 68	. . 3 |- (z e. NN -> 0 <_ (1 / (!` z)))
18		fveq2 3730	. . . . 5 |- (x = z -> (!` x) = (!` z))
19	18	opreq2d 3982	. . . 4 |- (x = z -> (1 / (!` x)) = (1 / (!` z)))
20		erelem1.2	. . . 4 |- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))}
21		oprex 3989	. . . 4 |- (1 / (!` z)) e. V
22	19, 20, 21	fvopab4 3786	. . 3 |- (z e. NN -> (G` z) = (1 / (!` z)))
23	17, 22	breqtrrd 2646	. 2 |- (z e. NN -> 0 <_ (G` z))
24		faclbnd2 6946	. . . . . 6 |- (z e. NN0 -> ((2^z) / 2) <_ (!` z))
25	5, 24	syl 10	. . . . 5 |- (z e. NN -> ((2^z) / 2) <_ (!` z))
26		lerect 5887	. . . . . 6 |- (((((2^z) / 2) e. RR /\ 0 < ((2^z) / 2)) /\ ((!` z) e. RR /\ 0 < (!` z))) -> (((2^z) / 2) <_ (!` z) <-> (1 / (!` z)) <_ (1 / ((2^z) / 2))))
27		2re 5981	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
28		reexpclt 6581	. . . . . . . . 9 |- ((2 e. RR /\ z e. NN0) -> (2^z) e. RR)
29	28, 5	sylan2 453	. . . . . . . 8 |- ((2 e. RR /\ z e. NN) -> (2^z) e. RR)
30	27, 29	mpan 697	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> (2^z) e. RR)
31		rehalfclt 6036	. . . . . . 7 |- ((2^z) e. RR -> ((2^z) / 2) e. RR)
32	30, 31	syl 10	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((2^z) / 2) e. RR)
33		2pos 5991	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
34	27, 33	pm3.2i 285	. . . . . . . 8 |- (2 e. RR /\ 0 < 2)
35		divgt0t 5857	. . . . . . . 8 |- ((((2^z) e. RR /\ 0 < (2^z)) /\ (2 e. RR /\ 0 < 2)) -> 0 < ((2^z) / 2))
36	34, 35	mpan2 698	. . . . . . 7 |- (((2^z) e. RR /\ 0 < (2^z)) -> 0 < ((2^z) / 2))
37		expgt0t 6590	. . . . . . . . 9 |- ((2 e. RR /\ z e. NN0 /\ 0 < 2) -> 0 < (2^z))
38	37, 5	syl3an2 862	. . . . . . . 8 |- ((2 e. RR /\ z e. NN /\ 0 < 2) -> 0 < (2^z))
39	27, 33, 38	mp3an13 909	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> 0 < (2^z))
40	36, 30, 39	sylanc 473	. . . . . 6 |- (z e. NN -> 0 < ((2^z) / 2))
41	26, 32, 40, 9, 15	syl2anc 474	. . . . 5 |- (z e. NN -> (((2^z) / 2) <_ (!` z) <-> (1 / (!` z)) <_ (1 / ((2^z) / 2))))
42	25, 41	mpbid 195	. . . 4 |- (z e. NN -> (1 / (!` z)) <_ (1 / ((2^z) / 2)))
43		2cn 5982	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
44		divrect 5746	. . . . . . 7 |- ((2 e. CC /\ (2^z) e. CC /\ (2^z) =/= 0) -> (2 / (2^z)) = (2 x. (1 / (2^z))))
45	43, 44	mp3an1 905	. . . . . 6 |- (((2^z) e. CC /\ (2^z) =/= 0) -> (2 / (2^z)) = (2 x. (1 / (2^z))))
46	30	recnd 5327	. . . . . 6 |- (z e. NN -> (2^z) e. CC)
47		gt0ne0t 5630	. . . . . . 7 |- (((2^z) e. RR /\ 0 < (2^z)) -> (2^z) =/= 0)
48	47, 30, 39	sylanc 473	. . . . . 6 |- (z e. NN -> (2^z) =/= 0)
49	45, 46, 48	sylanc 473	. . . . 5 |- (z e. NN -> (2 / (2^z)) = (2 x. (1 / (2^z))))
50		2ne0 5992	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
51	43, 50	pm3.2i 285	. . . . . . 7 |- (2 e. CC /\ 2 =/= 0)
52		recdivt 5792	. . . . . . 7 |- ((((2^z) e. CC /\ (2^z) =/= 0) /\ (2 e. CC /\ 2 =/= 0)) -> (1 / ((2^z) / 2)) = (2 / (2^z)))
53	51, 52	mpan2 698	. . . . . 6 |- (((2^z) e. CC /\ (2^z) =/= 0) -> (1 / ((2^z) / 2)) = (2 / (2^z)))
54	53, 46, 48	sylanc 473	. . . . 5 |- (z e. NN -> (1 / ((2^z) / 2)) = (2 / (2^z)))
55		recexpt 6596	. . . . . . . 8 |- ((2 e. CC /\ z e. NN0 /\ 2 =/= 0) -> ((1 / 2)^z) = (1 / (2^z)))
56	55, 5	syl3an2 862	. . . . . . 7 |- ((2 e. CC /\ z e. NN /\ 2 =/= 0) -> ((1 / 2)^z) = (1 / (2^z)))
57	43, 50, 56	mp3an13 909	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((1 / 2)^z) = (1 / (2^z)))
58	57	opreq2d 3982	. . . . 5 |- (z e. NN -> (2 x. ((1 / 2)^z)) = (2 x. (1 / (2^z))))
59	49, 54, 58	3eqtr4d 1520	. . . 4 |- (z e. NN -> (1 / ((2^z) / 2)) = (2 x. ((1 / 2)^z)))
60	42, 59	breqtrd 2644	. . 3 |- (z e. NN -> (1 / (!` z)) <_ (2 x. ((1 / 2)^z)))
61		opreq2 3975	. . . . 5 |- (x = z -> ((1 / 2)^x) = ((1 / 2)^z))
62	61	opreq2d 3982	. . . 4 |- (x = z -> (2 x. ((1 / 2)^x)) = (2 x. ((1 / 2)^z)))
63		erelem1.1	. . . 4 |- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
64		oprex 3989	. . . 4 |- (2 x. ((1 / 2)^z)) e. V
65	62, 63, 64	fvopab4 3786	. . 3 |- (z e. NN -> (F` z) = (2 x. ((1 / 2)^z)))
66	60, 22, 65	3brtr4d 2650	. 2 |- (z e. NN -> (G` z) <_ (F` z))
67	23, 66	jca 288	1 |- (z e. NN -> (0 <_ (G` z) /\ (G` z) <_ (F` z)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588   class class class wbr 2624  {copab 2671  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   x. cmul 5251   / cdiv 5306   <_ cle 5307  NNcn 5308  NN0cn0 5309   < clt 5498  2c2 5963  ^cexp 6569  !cfa 6931

This theorem is referenced by:  erelem4 7322  ele3lem 7326  ege2le3lem1 7327  ege2le3lem2 7329

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054</