Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erng0g Unicode version

Theorem erng0g 31183
Description: The division ring zero of an endomorphism ring. (Contributed by NM, 5-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erng0g.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
erng0g.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
erng0g.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
erng0g.d  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
erng0g.o  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
erng0g.z  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
Assertion
Ref Expression
erng0g  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .0.  =  O )
Distinct variable groups:    B, f    f, H    f, K    T, f    f, W
Allowed substitution hints:    D( f)    O( f)    .0. ( f)

Proof of Theorem erng0g
Dummy variables  s 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erng0g.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 erng0g.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
4 erng0g.d . . . . 5  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
5 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
61, 2, 3, 4, 5erngfplus 30991 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  D
)  =  ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) ) )
76oveqd 5875 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( O ( +g  `  D ) O )  =  ( O ( s  e.  ( (
TEndo `  K ) `  W ) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
)  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `
 f )  o.  ( t `  f
) ) ) ) O ) )
8 erng0g.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
9 erng0g.o . . . . 5  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
108, 1, 2, 3, 9tendo0cl 30979 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  ( (
TEndo `  K ) `  W ) )
11 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )  =  ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
)  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `
 f )  o.  ( t `  f
) ) ) )
128, 1, 2, 3, 9, 11tendo0pl 30980 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  O  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) )  -> 
( O ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) ) O )  =  O )
1310, 12mpdan 649 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( O ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
) ,  t  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) ) O )  =  O )
147, 13eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( O ( +g  `  D ) O )  =  O )
151, 4erngrng 31181 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
16 rnggrp 15346 . . . 4  |-  ( D  e.  Ring  ->  D  e. 
Grp )
1715, 16syl 15 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Grp )
18 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
191, 2, 3, 4, 18erngbase 30990 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  D
)  =  ( (
TEndo `  K ) `  W ) )
2010, 19eleqtrrd 2360 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  ( Base `  D ) )
21 erng0g.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
2218, 5, 21grpid 14517 . . 3  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  O  e.  ( Base `  D ) )  -> 
( ( O ( +g  `  D ) O )  =  O  <-> 
.0.  =  O ) )
2317, 20, 22syl2anc 642 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( O ( +g  `  D ) O )  =  O  <-> 
.0.  =  O ) )
2414, 23mpbid 201 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .0.  =  O )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    e. cmpt 4077    _I cid 4304    |` cres 4691    o. ccom 4693   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   Ringcrg 15337   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   TEndoctendo 30941   EDRingcedring 30942
This theorem is referenced by:  erng1r  31184  dvalveclem  31215  tendoinvcl  31294  tendolinv  31295  tendorinv  31296  cdlemn4  31388
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tendo 30944  df-edring 30946
  Copyright terms: Public domain W3C validator