Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erng1lem Structured version   Unicode version

Theorem erng1lem 31858
Description: Value of the endomorphism division ring unit. (Contributed by NM, 12-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
erng1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
erng1.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
erng1.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
erng1.d  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
erng1.r  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
erng1lem  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 1r `  D
)  =  (  _I  |`  T ) )

Proof of Theorem erng1lem
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erng1.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 erng1.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 erng1.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
41, 2, 3tendoidcl 31640 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E )
5 erng1.d . . . 4  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
6 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
71, 2, 3, 5, 6erngbase 31672 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  D
)  =  E )
84, 7eleqtrrd 2515 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  ( Base `  D
) )
97eleq2d 2505 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( u  e.  (
Base `  D )  <->  u  e.  E ) )
10 simpl 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
114adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  (  _I  |`  T )  e.  E
)
12 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  u  e.  E )
13 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
141, 2, 3, 5, 13erngmul 31677 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  u  e.  E
) )  ->  (
(  _I  |`  T ) ( .r `  D
) u )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  u ) )
1510, 11, 12, 14syl12anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D ) u )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  u ) )
161, 2, 3tendo1mul 31641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  o.  u )  =  u )
1715, 16eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D ) u )  =  u )
181, 2, 3, 5, 13erngmul 31677 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( u  e.  E  /\  (  _I  |`  T )  e.  E
) )  ->  (
u ( .r `  D ) (  _I  |`  T ) )  =  ( u  o.  (  _I  |`  T ) ) )
1910, 12, 11, 18syl12anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( u
( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  ( u  o.  (  _I  |`  T ) ) )
201, 2, 3tendo1mulr 31642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( u  o.  (  _I  |`  T ) )  =  u )
2119, 20eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( u
( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  u )
2217, 21jca 520 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (
(  _I  |`  T ) ( .r `  D
) u )  =  u  /\  ( u ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  u ) )
2322ex 425 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( u  e.  E  ->  ( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) ) )
249, 23sylbid 208 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( u  e.  (
Base `  D )  ->  ( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) ) )
2524ralrimiv 2790 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  A. u  e.  (
Base `  D )
( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) )
26 erng1.r . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
27 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
286, 13, 27isrngid 15694 . . 3  |-  ( D  e.  Ring  ->  ( ( (  _I  |`  T )  e.  ( Base `  D
)  /\  A. u  e.  ( Base `  D
) ( ( (  _I  |`  T )
( .r `  D
) u )  =  u  /\  ( u ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  u ) )  <->  ( 1r `  D )  =  (  _I  |`  T )
) )
2926, 28syl 16 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( (  _I  |`  T )  e.  (
Base `  D )  /\  A. u  e.  (
Base `  D )
( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) )  <->  ( 1r `  D )  =  (  _I  |`  T )
) )
308, 25, 29mpbi2and 889 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 1r `  D
)  =  (  _I  |`  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    _I cid 4496    |` cres 4883    o. ccom 4885   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   .rcmulr 13535   Ringcrg 15665   1rcur 15667   HLchlt 30222   LHypclh 30855   LTrncltrn 30972   TEndoctendo 31623   EDRingcedring 31624
This theorem is referenced by:  erngdvlem4  31862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-0g 13732  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-mnd 14695  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-llines 30369  df-lplanes 30370  df-lvols 30371  df-lines 30372  df-psubsp 30374  df-pmap 30375  df-padd 30667  df-lhyp 30859  df-laut 30860  df-ldil 30975  df-ltrn 30976  df-trl 31030  df-tendo 31626  df-edring 31628
  Copyright terms: Public domain W3C validator