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Theorem erngdvlem3-rN 31732
Description: Lemma for erngrng 31726. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ernggrp.d-r  |-  D  =  ( ( EDRing R `  K ) `  W
)
ernggrplem.b-r  |-  B  =  ( Base `  K
)
ernggrplem.t-r  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
ernggrplem.e-r  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
ernggrplem.p-r  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
ernggrplem.o-r  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
ernggrplem.i-r  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
erngrnglem.m-r  |-  M  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a
) )
Assertion
Ref Expression
erngdvlem3-rN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
Distinct variable groups:    B, f    a, b, E    f, a, K, b    f, H    T, a, b, f    W, a, b, f
Allowed substitution hints:    B( a, b)    D( f, a, b)    P( f, a, b)    E( f)    H( a, b)    I( f, a, b)    M( f, a, b)    O( f, a, b)

Proof of Theorem erngdvlem3-rN
Dummy variables  t 
s  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h-r . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 ernggrplem.t-r . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 ernggrplem.e-r . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 ernggrp.d-r . . . 4  |-  D  =  ( ( EDRing R `  K ) `  W
)
5 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
61, 2, 3, 4, 5erngbase-rN 31543 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  D
)  =  E )
76eqcomd 2440 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E  =  ( Base `  D ) )
8 eqid 2435 . . . 4  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
91, 2, 3, 4, 8erngfplus-rN 31544 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  ( b `  f ) ) ) ) )
10 ernggrplem.p-r . . 3  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
119, 10syl6reqr 2486 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  P  =  ( +g  `  D ) )
12 eqid 2435 . . . 4  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
131, 2, 3, 4, 12erngfmul-rN 31547 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( .r `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a ) ) )
14 erngrnglem.m-r . . 3  |-  M  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a
) )
1513, 14syl6reqr 2486 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  M  =  ( .r
`  D ) )
16 ernggrplem.b-r . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
17 ernggrplem.o-r . . 3  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
18 ernggrplem.i-r . . 3  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
191, 4, 16, 2, 3, 10, 17, 18erngdvlem1-rN 31730 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Grp )
2015oveqd 6090 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M t )  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
21203ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s M t )  =  ( s ( .r
`  D ) t ) )
221, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31548 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( t  o.  s ) )
23223impb 1149 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s
( .r `  D
) t )  =  ( t  o.  s
) )
2421, 23eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s M t )  =  ( t  o.  s
) )
251, 3tendococl 31506 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  s  e.  E
)  ->  ( t  o.  s )  e.  E
)
26253com23 1159 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( t  o.  s )  e.  E
)
2724, 26eqeltrd 2509 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s M t )  e.  E )
2815proplem3 13908 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t M u )  =  ( t ( .r `  D
) u ) )
291, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31548 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  t ) )
30293adantr1 1116 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  t ) )
3128, 30eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t M u )  =  ( u  o.  t ) )
3231coeq1d 5026 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( t M u )  o.  s
)  =  ( ( u  o.  t )  o.  s ) )
3315oveqd 6090 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M ( t M u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t M u ) ) )
3433adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M ( t M u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t M u ) ) )
35 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
36 simpr1 963 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
s  e.  E )
37 simpr3 965 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  ->  u  e.  E )
38 simpr2 964 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
t  e.  E )
391, 3tendococl 31506 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( u  o.  t )  e.  E
)
4035, 37, 38, 39syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( u  o.  t
)  e.  E )
4131, 40eqeltrd 2509 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t M u )  e.  E )
421, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31548 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t M u )  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t M u ) )  =  ( ( t M u )  o.  s ) )
4335, 36, 41, 42syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t M u ) )  =  ( ( t M u )  o.  s ) )
4434, 43eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M ( t M u ) )  =  ( ( t M u )  o.  s ) )
4515oveqd 6090 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( s M t ) M u )  =  ( ( s M t ) ( .r `  D
) u ) )
4645adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) M u )  =  ( ( s M t ) ( .r `  D
) u ) )
47273adant3r3 1164 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M t )  e.  E )
481, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31548 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s M t )  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  ( s M t ) ) )
4935, 47, 37, 48syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  ( s M t ) ) )
5015proplem3 13908 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M t )  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
51223adantr3 1118 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( t  o.  s ) )
5250, 51eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M t )  =  ( t  o.  s ) )
5352coeq2d 5027 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( u  o.  (
s M t ) )  =  ( u  o.  ( t  o.  s ) ) )
5446, 49, 533eqtrd 2471 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) M u )  =  ( u  o.  ( t  o.  s ) ) )
55 coass 5380 . . . 4  |-  ( ( u  o.  t )  o.  s )  =  ( u  o.  (
t  o.  s ) )
5654, 55syl6eqr 2485 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) M u )  =  ( ( u  o.  t )  o.  s ) )
5732, 44, 563eqtr4rd 2478 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) M u )  =  ( s M ( t M u ) ) )
581, 2, 3, 10tendodi2 31519 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  u  e.  E  /\  s  e.  E ) )  -> 
( ( t P u )  o.  s
)  =  ( ( t  o.  s ) P ( u  o.  s ) ) )
5935, 38, 37, 36, 58syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( t P u )  o.  s
)  =  ( ( t  o.  s ) P ( u  o.  s ) ) )
6015oveqd 6090 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M ( t P u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t P u ) ) )
6160adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M ( t P u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t P u ) ) )
621, 2, 3, 10tendoplcl 31515 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E
)  ->  ( t P u )  e.  E )
6335, 38, 37, 62syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t P u )  e.  E )
641, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31548 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t P u )  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t P u ) )  =  ( ( t P u )  o.  s ) )
6535, 36, 63, 64syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t P u ) )  =  ( ( t P u )  o.  s ) )
6661, 65eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M ( t P u ) )  =  ( ( t P u )  o.  s ) )
6715proplem3 13908 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M u )  =  ( s ( .r `  D
) u ) )
681, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31548 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  s ) )
69683adantr2 1117 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  s ) )
7067, 69eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M u )  =  ( u  o.  s ) )
7152, 70oveq12d 6091 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) P ( s M u ) )  =  ( ( t  o.  s ) P ( u  o.  s ) ) )
7259, 66, 713eqtr4d 2477 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M ( t P u ) )  =  ( ( s M t ) P ( s M u ) ) )
731, 2, 3, 10tendodi1 31518 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( u  e.  E  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E ) )  -> 
( u  o.  (
s P t ) )  =  ( ( u  o.  s ) P ( u  o.  t ) ) )
7435, 37, 36, 38, 73syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( u  o.  (
s P t ) )  =  ( ( u  o.  s ) P ( u  o.  t ) ) )
7515adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  ->  M  =  ( .r `  D ) )
7675oveqd 6090 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) M u )  =  ( ( s P t ) ( .r `  D
) u ) )
771, 2, 3, 10tendoplcl 31515 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s P t )  e.  E )
78773adant3r3 1164 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s P t )  e.  E )
791, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31548 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s P t )  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  ( s P t ) ) )
8035, 78, 37, 79syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  ( s P t ) ) )
8176, 80eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) M u )  =  ( u  o.  ( s P t ) ) )
8270, 31oveq12d 6091 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M u ) P ( t M u ) )  =  ( ( u  o.  s ) P ( u  o.  t ) ) )
8374, 81, 823eqtr4d 2477 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) M u )  =  ( ( s M u ) P ( t M u ) ) )
841, 2, 3tendoidcl 31503 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E )
8515oveqd 6090 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( (  _I  |`  T ) M s )  =  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s ) )
8685adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) M s )  =  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s ) )
87 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8884adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  (  _I  |`  T )  e.  E
)
89 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  s  e.  E )
901, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31548 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  s  e.  E
) )  ->  (
(  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s )  =  ( s  o.  (  _I  |`  T ) ) )
9187, 88, 89, 90syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D ) s )  =  ( s  o.  (  _I  |`  T ) ) )
921, 2, 3tendo1mulr 31505 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s  o.  (  _I  |`  T ) )  =  s )
9386, 91, 923eqtrd 2471 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) M s )  =  s )
9415oveqd 6090 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M (  _I  |`  T )
)  =  ( s ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) ) )
9594adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s M (  _I  |`  T ) )  =  ( s ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) ) )
961, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31548 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  (  _I  |`  T )  e.  E
) )  ->  (
s ( .r `  D ) (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  s ) )
9787, 89, 88, 96syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s
( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  s ) )
981, 2, 3tendo1mul 31504 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  o.  s )  =  s )
9995, 97, 983eqtrd 2471 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s M (  _I  |`  T ) )  =  s )
1007, 11, 15, 19, 27, 57, 72, 83, 84, 93, 99isrngd 15690 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    e. cmpt 4258    _I cid 4485   `'ccnv 4869    |` cres 4872    o. ccom 4874   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522   Ringcrg 15652   HLchlt 30085   LHypclh 30718   LTrncltrn 30835   TEndoctendo 31486   EDRing Rcedring-rN 31488
This theorem is referenced by:  erngdvlem4-rN  31733  erngrng-rN  31734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-0g 13719  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-llines 30232  df-lplanes 30233  df-lvols 30234  df-lines 30235  df-psubsp 30237  df-pmap 30238  df-padd 30530  df-lhyp 30722  df-laut 30723  df-ldil 30838  df-ltrn 30839  df-trl 30893  df-tendo 31489  df-edring-rN 31490
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