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Theorem erngdvlem3-rN 31187
Description: Lemma for erngrng 31181. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ernggrp.d-r  |-  D  =  ( ( EDRing R `  K ) `  W
)
ernggrplem.b-r  |-  B  =  ( Base `  K
)
ernggrplem.t-r  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
ernggrplem.e-r  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
ernggrplem.p-r  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
ernggrplem.o-r  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
ernggrplem.i-r  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
erngrnglem.m-r  |-  M  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a
) )
Assertion
Ref Expression
erngdvlem3-rN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
Distinct variable groups:    B, f    a, b, E    f, a, K, b    f, H    T, a, b, f    W, a, b, f
Allowed substitution hints:    B( a, b)    D( f, a, b)    P( f, a, b)    E( f)    H( a, b)    I( f, a, b)    M( f, a, b)    O( f, a, b)

Proof of Theorem erngdvlem3-rN
Dummy variables  t 
s  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h-r . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 ernggrplem.t-r . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 ernggrplem.e-r . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 ernggrp.d-r . . . 4  |-  D  =  ( ( EDRing R `  K ) `  W
)
5 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
61, 2, 3, 4, 5erngbase-rN 30998 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  D
)  =  E )
76eqcomd 2288 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E  =  ( Base `  D ) )
8 eqid 2283 . . . 4  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
91, 2, 3, 4, 8erngfplus-rN 30999 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  ( b `  f ) ) ) ) )
10 ernggrplem.p-r . . 3  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
119, 10syl6reqr 2334 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  P  =  ( +g  `  D ) )
12 eqid 2283 . . . 4  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
131, 2, 3, 4, 12erngfmul-rN 31002 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( .r `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a ) ) )
14 erngrnglem.m-r . . 3  |-  M  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a
) )
1513, 14syl6reqr 2334 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  M  =  ( .r
`  D ) )
16 ernggrplem.b-r . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
17 ernggrplem.o-r . . 3  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
18 ernggrplem.i-r . . 3  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
191, 4, 16, 2, 3, 10, 17, 18erngdvlem1-rN 31185 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Grp )
2015oveqd 5875 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M t )  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
21203ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s M t )  =  ( s ( .r
`  D ) t ) )
221, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31003 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( t  o.  s ) )
23223impb 1147 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s
( .r `  D
) t )  =  ( t  o.  s
) )
2421, 23eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s M t )  =  ( t  o.  s
) )
251, 3tendococl 30961 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  s  e.  E
)  ->  ( t  o.  s )  e.  E
)
26253com23 1157 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( t  o.  s )  e.  E
)
2724, 26eqeltrd 2357 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s M t )  e.  E )
2815oveqd 5875 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( t M u )  =  ( t ( .r `  D
) u ) )
2928adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t M u )  =  ( t ( .r `  D
) u ) )
301, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31003 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  t ) )
31303adantr1 1114 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  t ) )
3229, 31eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t M u )  =  ( u  o.  t ) )
3332coeq1d 4845 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( t M u )  o.  s
)  =  ( ( u  o.  t )  o.  s ) )
3415oveqd 5875 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M ( t M u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t M u ) ) )
3534adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M ( t M u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t M u ) ) )
36 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
37 simpr1 961 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
s  e.  E )
38 simpr3 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  ->  u  e.  E )
39 simpr2 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
t  e.  E )
401, 3tendococl 30961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( u  o.  t )  e.  E
)
4136, 38, 39, 40syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( u  o.  t
)  e.  E )
4232, 41eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t M u )  e.  E )
431, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31003 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t M u )  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t M u ) )  =  ( ( t M u )  o.  s ) )
4436, 37, 42, 43syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t M u ) )  =  ( ( t M u )  o.  s ) )
4535, 44eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M ( t M u ) )  =  ( ( t M u )  o.  s ) )
4615oveqd 5875 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( s M t ) M u )  =  ( ( s M t ) ( .r `  D
) u ) )
4746adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) M u )  =  ( ( s M t ) ( .r `  D
) u ) )
48273adant3r3 1162 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M t )  e.  E )
491, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31003 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s M t )  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  ( s M t ) ) )
5036, 48, 38, 49syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  ( s M t ) ) )
5120adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M t )  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
52223adantr3 1116 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( t  o.  s ) )
5351, 52eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M t )  =  ( t  o.  s ) )
5453coeq2d 4846 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( u  o.  (
s M t ) )  =  ( u  o.  ( t  o.  s ) ) )
5547, 50, 543eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) M u )  =  ( u  o.  ( t  o.  s ) ) )
56 coass 5191 . . . 4  |-  ( ( u  o.  t )  o.  s )  =  ( u  o.  (
t  o.  s ) )
5755, 56syl6eqr 2333 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) M u )  =  ( ( u  o.  t )  o.  s ) )
5833, 45, 573eqtr4rd 2326 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) M u )  =  ( s M ( t M u ) ) )
591, 2, 3, 10tendodi2 30974 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  u  e.  E  /\  s  e.  E ) )  -> 
( ( t P u )  o.  s
)  =  ( ( t  o.  s ) P ( u  o.  s ) ) )
6036, 39, 38, 37, 59syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( t P u )  o.  s
)  =  ( ( t  o.  s ) P ( u  o.  s ) ) )
6115oveqd 5875 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M ( t P u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t P u ) ) )
6261adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M ( t P u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t P u ) ) )
631, 2, 3, 10tendoplcl 30970 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E
)  ->  ( t P u )  e.  E )
6436, 39, 38, 63syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t P u )  e.  E )
651, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31003 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t P u )  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t P u ) )  =  ( ( t P u )  o.  s ) )
6636, 37, 64, 65syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t P u ) )  =  ( ( t P u )  o.  s ) )
6762, 66eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M ( t P u ) )  =  ( ( t P u )  o.  s ) )
6815oveqd 5875 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M u )  =  ( s ( .r `  D
) u ) )
6968adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M u )  =  ( s ( .r `  D
) u ) )
701, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31003 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  s ) )
71703adantr2 1115 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  s ) )
7269, 71eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M u )  =  ( u  o.  s ) )
7353, 72oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) P ( s M u ) )  =  ( ( t  o.  s ) P ( u  o.  s ) ) )
7460, 67, 733eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M ( t P u ) )  =  ( ( s M t ) P ( s M u ) ) )
751, 2, 3, 10tendodi1 30973 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( u  e.  E  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E ) )  -> 
( u  o.  (
s P t ) )  =  ( ( u  o.  s ) P ( u  o.  t ) ) )
7636, 38, 37, 39, 75syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( u  o.  (
s P t ) )  =  ( ( u  o.  s ) P ( u  o.  t ) ) )
7715adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  ->  M  =  ( .r `  D ) )
7877oveqd 5875 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) M u )  =  ( ( s P t ) ( .r `  D
) u ) )
791, 2, 3, 10tendoplcl 30970 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s P t )  e.  E )
80793adant3r3 1162 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s P t )  e.  E )
811, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31003 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s P t )  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  ( s P t ) ) )
8236, 80, 38, 81syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  ( s P t ) ) )
8378, 82eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) M u )  =  ( u  o.  ( s P t ) ) )
8472, 32oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M u ) P ( t M u ) )  =  ( ( u  o.  s ) P ( u  o.  t ) ) )
8576, 83, 843eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) M u )  =  ( ( s M u ) P ( t M u ) ) )
861, 2, 3tendoidcl 30958 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E )
8715oveqd 5875 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( (  _I  |`  T ) M s )  =  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s ) )
8887adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) M s )  =  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s ) )
89 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9086adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  (  _I  |`  T )  e.  E
)
91 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  s  e.  E )
921, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31003 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  s  e.  E
) )  ->  (
(  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s )  =  ( s  o.  (  _I  |`  T ) ) )
9389, 90, 91, 92syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D ) s )  =  ( s  o.  (  _I  |`  T ) ) )
941, 2, 3tendo1mulr 30960 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s  o.  (  _I  |`  T ) )  =  s )
9588, 93, 943eqtrd 2319 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) M s )  =  s )
9615oveqd 5875 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M (  _I  |`  T )
)  =  ( s ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) ) )
9796adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s M (  _I  |`  T ) )  =  ( s ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) ) )
981, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31003 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  (  _I  |`  T )  e.  E
) )  ->  (
s ( .r `  D ) (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  s ) )
9989, 91, 90, 98syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s
( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  s ) )
1001, 2, 3tendo1mul 30959 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  o.  s )  =  s )
10197, 99, 1003eqtrd 2319 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s M (  _I  |`  T ) )  =  s )
1027, 11, 15, 19, 27, 58, 74, 85, 86, 95, 101isrngd 15375 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    e. cmpt 4077    _I cid 4304   `'ccnv 4688    |` cres 4691    o. ccom 4693   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   Ringcrg 15337   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   TEndoctendo 30941   EDRing Rcedring-rN 30943
This theorem is referenced by:  erngdvlem4-rN  31188  erngrng-rN  31189
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tendo 30944  df-edring-rN 30945
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