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Theorem erngdvlem3-rN 31809
Description: Lemma for erngrng 31803. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ernggrp.d-r  |-  D  =  ( ( EDRing R `  K ) `  W
)
ernggrplem.b-r  |-  B  =  ( Base `  K
)
ernggrplem.t-r  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
ernggrplem.e-r  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
ernggrplem.p-r  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
ernggrplem.o-r  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
ernggrplem.i-r  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
erngrnglem.m-r  |-  M  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a
) )
Assertion
Ref Expression
erngdvlem3-rN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
Distinct variable groups:    B, f    a, b, E    f, a, K, b    f, H    T, a, b, f    W, a, b, f
Allowed substitution hints:    B( a, b)    D( f, a, b)    P( f, a, b)    E( f)    H( a, b)    I( f, a, b)    M( f, a, b)    O( f, a, b)

Proof of Theorem erngdvlem3-rN
Dummy variables  t 
s  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h-r . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 ernggrplem.t-r . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 ernggrplem.e-r . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 ernggrp.d-r . . . 4  |-  D  =  ( ( EDRing R `  K ) `  W
)
5 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
61, 2, 3, 4, 5erngbase-rN 31620 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  D
)  =  E )
76eqcomd 2301 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E  =  ( Base `  D ) )
8 eqid 2296 . . . 4  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
91, 2, 3, 4, 8erngfplus-rN 31621 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  ( b `  f ) ) ) ) )
10 ernggrplem.p-r . . 3  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
119, 10syl6reqr 2347 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  P  =  ( +g  `  D ) )
12 eqid 2296 . . . 4  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
131, 2, 3, 4, 12erngfmul-rN 31624 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( .r `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a ) ) )
14 erngrnglem.m-r . . 3  |-  M  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a
) )
1513, 14syl6reqr 2347 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  M  =  ( .r
`  D ) )
16 ernggrplem.b-r . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
17 ernggrplem.o-r . . 3  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
18 ernggrplem.i-r . . 3  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
191, 4, 16, 2, 3, 10, 17, 18erngdvlem1-rN 31807 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Grp )
2015oveqd 5891 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M t )  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
21203ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s M t )  =  ( s ( .r
`  D ) t ) )
221, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31625 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( t  o.  s ) )
23223impb 1147 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s
( .r `  D
) t )  =  ( t  o.  s
) )
2421, 23eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s M t )  =  ( t  o.  s
) )
251, 3tendococl 31583 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  s  e.  E
)  ->  ( t  o.  s )  e.  E
)
26253com23 1157 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( t  o.  s )  e.  E
)
2724, 26eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s M t )  e.  E )
2815oveqd 5891 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( t M u )  =  ( t ( .r `  D
) u ) )
2928adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t M u )  =  ( t ( .r `  D
) u ) )
301, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31625 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  t ) )
31303adantr1 1114 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  t ) )
3229, 31eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t M u )  =  ( u  o.  t ) )
3332coeq1d 4861 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( t M u )  o.  s
)  =  ( ( u  o.  t )  o.  s ) )
3415oveqd 5891 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M ( t M u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t M u ) ) )
3534adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M ( t M u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t M u ) ) )
36 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
37 simpr1 961 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
s  e.  E )
38 simpr3 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  ->  u  e.  E )
39 simpr2 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
t  e.  E )
401, 3tendococl 31583 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( u  o.  t )  e.  E
)
4136, 38, 39, 40syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( u  o.  t
)  e.  E )
4232, 41eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t M u )  e.  E )
431, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31625 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t M u )  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t M u ) )  =  ( ( t M u )  o.  s ) )
4436, 37, 42, 43syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t M u ) )  =  ( ( t M u )  o.  s ) )
4535, 44eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M ( t M u ) )  =  ( ( t M u )  o.  s ) )
4615oveqd 5891 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( s M t ) M u )  =  ( ( s M t ) ( .r `  D
) u ) )
4746adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) M u )  =  ( ( s M t ) ( .r `  D
) u ) )
48273adant3r3 1162 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M t )  e.  E )
491, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31625 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s M t )  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  ( s M t ) ) )
5036, 48, 38, 49syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  ( s M t ) ) )
5120adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M t )  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
52223adantr3 1116 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( t  o.  s ) )
5351, 52eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M t )  =  ( t  o.  s ) )
5453coeq2d 4862 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( u  o.  (
s M t ) )  =  ( u  o.  ( t  o.  s ) ) )
5547, 50, 543eqtrd 2332 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) M u )  =  ( u  o.  ( t  o.  s ) ) )
56 coass 5207 . . . 4  |-  ( ( u  o.  t )  o.  s )  =  ( u  o.  (
t  o.  s ) )
5755, 56syl6eqr 2346 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) M u )  =  ( ( u  o.  t )  o.  s ) )
5833, 45, 573eqtr4rd 2339 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) M u )  =  ( s M ( t M u ) ) )
591, 2, 3, 10tendodi2 31596 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  u  e.  E  /\  s  e.  E ) )  -> 
( ( t P u )  o.  s
)  =  ( ( t  o.  s ) P ( u  o.  s ) ) )
6036, 39, 38, 37, 59syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( t P u )  o.  s
)  =  ( ( t  o.  s ) P ( u  o.  s ) ) )
6115oveqd 5891 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M ( t P u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t P u ) ) )
6261adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M ( t P u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t P u ) ) )
631, 2, 3, 10tendoplcl 31592 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E
)  ->  ( t P u )  e.  E )
6436, 39, 38, 63syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t P u )  e.  E )
651, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31625 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t P u )  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t P u ) )  =  ( ( t P u )  o.  s ) )
6636, 37, 64, 65syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t P u ) )  =  ( ( t P u )  o.  s ) )
6762, 66eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M ( t P u ) )  =  ( ( t P u )  o.  s ) )
6815oveqd 5891 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M u )  =  ( s ( .r `  D
) u ) )
6968adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M u )  =  ( s ( .r `  D
) u ) )
701, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31625 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  s ) )
71703adantr2 1115 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  s ) )
7269, 71eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M u )  =  ( u  o.  s ) )
7353, 72oveq12d 5892 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) P ( s M u ) )  =  ( ( t  o.  s ) P ( u  o.  s ) ) )
7460, 67, 733eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M ( t P u ) )  =  ( ( s M t ) P ( s M u ) ) )
751, 2, 3, 10tendodi1 31595 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( u  e.  E  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E ) )  -> 
( u  o.  (
s P t ) )  =  ( ( u  o.  s ) P ( u  o.  t ) ) )
7636, 38, 37, 39, 75syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( u  o.  (
s P t ) )  =  ( ( u  o.  s ) P ( u  o.  t ) ) )
7715adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  ->  M  =  ( .r `  D ) )
7877oveqd 5891 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) M u )  =  ( ( s P t ) ( .r `  D
) u ) )
791, 2, 3, 10tendoplcl 31592 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s P t )  e.  E )
80793adant3r3 1162 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s P t )  e.  E )
811, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31625 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s P t )  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  ( s P t ) ) )
8236, 80, 38, 81syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  ( s P t ) ) )
8378, 82eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) M u )  =  ( u  o.  ( s P t ) ) )
8472, 32oveq12d 5892 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M u ) P ( t M u ) )  =  ( ( u  o.  s ) P ( u  o.  t ) ) )
8576, 83, 843eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) M u )  =  ( ( s M u ) P ( t M u ) ) )
861, 2, 3tendoidcl 31580 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E )
8715oveqd 5891 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( (  _I  |`  T ) M s )  =  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s ) )
8887adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) M s )  =  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s ) )
89 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9086adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  (  _I  |`  T )  e.  E
)
91 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  s  e.  E )
921, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31625 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  s  e.  E
) )  ->  (
(  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s )  =  ( s  o.  (  _I  |`  T ) ) )
9389, 90, 91, 92syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D ) s )  =  ( s  o.  (  _I  |`  T ) ) )
941, 2, 3tendo1mulr 31582 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s  o.  (  _I  |`  T ) )  =  s )
9588, 93, 943eqtrd 2332 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) M s )  =  s )
9615oveqd 5891 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M (  _I  |`  T )
)  =  ( s ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) ) )
9796adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s M (  _I  |`  T ) )  =  ( s ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) ) )
981, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 31625 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  (  _I  |`  T )  e.  E
) )  ->  (
s ( .r `  D ) (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  s ) )
9989, 91, 90, 98syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s
( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  s ) )
1001, 2, 3tendo1mul 31581 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  o.  s )  =  s )
10197, 99, 1003eqtrd 2332 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s M (  _I  |`  T ) )  =  s )
1027, 11, 15, 19, 27, 58, 74, 85, 86, 95, 101isrngd 15391 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    e. cmpt 4093    _I cid 4320   `'ccnv 4704    |` cres 4707    o. ccom 4709   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225   Ringcrg 15353   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   TEndoctendo 31563   EDRing Rcedring-rN 31565
This theorem is referenced by:  erngdvlem4-rN  31810  erngrng-rN  31811
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-tendo 31566  df-edring-rN 31567
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