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Theorem erngdvlem4-rN 30561
Description: Lemma for erngdv 30555. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ernggrp.d-r  |-  D  =  ( ( EDRing R `  K ) `  W
)
ernggrplem.b-r  |-  B  =  ( Base `  K
)
ernggrplem.t-r  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
ernggrplem.e-r  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
ernggrplem.p-r  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
ernggrplem.o-r  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
ernggrplem.i-r  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
erngrnglem.m-r  |-  M  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a
) )
edlemk6.j-r  |-  .\/  =  ( join `  K )
edlemk6.m-r  |-  ./\  =  ( meet `  K )
edlemk6.r-r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
edlemk6.p-r  |-  Q  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
edlemk6.z-r  |-  Z  =  ( ( Q  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( (
h `  Q )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' ( s `  h ) ) ) ) )
edlemk6.y-r  |-  Y  =  ( ( Q  .\/  ( R `  g ) )  ./\  ( Z  .\/  ( R `  (
g  o.  `' b ) ) ) )
edlemk6.x-r  |-  X  =  ( iota_ z  e.  T A. b  e.  T  ( ( b  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  ( s `  h ) )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  g ) )  -> 
( z `  Q
)  =  Y ) )
edlemk6.u-r  |-  U  =  ( g  e.  T  |->  if ( ( s `
 h )  =  h ,  g ,  X ) )
Assertion
Ref Expression
erngdvlem4-rN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  D  e.  DivRing )
Distinct variable groups:    B, f    D, s    a, b, s, E    f, a, K, b, s    f, H, s    O, s    T, a, b, f, s    W, a, b, f, s    P, s    g, b, z,  ./\    .\/ , b, g, z    B, b   
g, s, B, z    H, b, g, z    g, K, z    M, s    P, g, z    Q, b, g, z    R, b, g, z    T, g, z    g, W, z    z, Y    g, Z    f, g, z    h, b, g, s, z
Allowed substitution hints:    B( h, a)    D( z, f, g, h, a, b)    P( f, h, a, b)    Q( f, h, s, a)    R( f, h, s, a)    T( h)    U( z, f, g, h, s, a, b)    E( z, f, g, h)    H( h, a)    I( z, f, g, h, s, a, b)    .\/ ( f, h, s, a)    K( h)    M( z, f, g, h, a, b)    ./\ ( f, h, s, a)    O( z, f, g, h, a, b)    W( h)    X( z,
f, g, h, s, a, b)    Y( f, g, h, s, a, b)    Z( z, f, h, s, a, b)

Proof of Theorem erngdvlem4-rN
Dummy variables  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h-r . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 ernggrplem.t-r . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 ernggrplem.e-r . . . . 5  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 ernggrp.d-r . . . . 5  |-  D  =  ( ( EDRing R `  K ) `  W
)
5 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
61, 2, 3, 4, 5erngbase-rN 30371 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  D
)  =  E )
76eqcomd 2288 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E  =  ( Base `  D ) )
87adantr 451 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  E  =  ( Base `  D
) )
9 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
101, 2, 3, 4, 9erngfmul-rN 30375 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( .r `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a ) ) )
11 erngrnglem.m-r . . . 4  |-  M  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a
) )
1210, 11syl6reqr 2334 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  M  =  ( .r
`  D ) )
1312adantr 451 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  M  =  ( .r `  D ) )
14 ernggrplem.b-r . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
15 ernggrplem.o-r . . . . . . 7  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
1614, 1, 2, 3, 15tendo0cl 30352 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  E )
1716, 6eleqtrrd 2360 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  ( Base `  D ) )
18 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
191, 2, 3, 4, 18erngfplus-rN 30372 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  ( b `  f ) ) ) ) )
20 ernggrplem.p-r . . . . . . . 8  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
2119, 20syl6reqr 2334 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  P  =  ( +g  `  D ) )
2221oveqd 5875 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( O P O )  =  ( O ( +g  `  D
) O ) )
2314, 1, 2, 3, 15, 20tendo0pl 30353 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  O  e.  E
)  ->  ( O P O )  =  O )
2416, 23mpdan 649 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( O P O )  =  O )
2522, 24eqtr3d 2317 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( O ( +g  `  D ) O )  =  O )
26 ernggrplem.i-r . . . . . . 7  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
271, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26erngdvlem1-rN 30558 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Grp )
28 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
295, 18, 28isgrpid2 14518 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Grp  ->  (
( O  e.  (
Base `  D )  /\  ( O ( +g  `  D ) O )  =  O )  <->  ( 0g `  D )  =  O ) )
3027, 29syl 15 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( O  e.  ( Base `  D
)  /\  ( O
( +g  `  D ) O )  =  O )  <->  ( 0g `  D )  =  O ) )
3117, 25, 30mpbi2and 887 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 0g `  D
)  =  O )
3231eqcomd 2288 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  =  ( 0g
`  D ) )
3332adantr 451 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  O  =  ( 0g `  D ) )
341, 2, 3tendoidcl 30331 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E )
3534, 6eleqtrrd 2360 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  ( Base `  D
) )
366eleq2d 2350 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( u  e.  (
Base `  D )  <->  u  e.  E ) )
37 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3834adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  (  _I  |`  T )  e.  E
)
39 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  u  e.  E )
401, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 30376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  u  e.  E
) )  ->  (
(  _I  |`  T ) ( .r `  D
) u )  =  ( u  o.  (  _I  |`  T ) ) )
4137, 38, 39, 40syl12anc 1180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D ) u )  =  ( u  o.  (  _I  |`  T ) ) )
421, 2, 3tendo1mulr 30333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( u  o.  (  _I  |`  T ) )  =  u )
4341, 42eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D ) u )  =  u )
441, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 30376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( u  e.  E  /\  (  _I  |`  T )  e.  E
) )  ->  (
u ( .r `  D ) (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  u ) )
4537, 39, 38, 44syl12anc 1180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( u
( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  u ) )
461, 2, 3tendo1mul 30332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  o.  u )  =  u )
4745, 46eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( u
( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  u )
4843, 47jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (
(  _I  |`  T ) ( .r `  D
) u )  =  u  /\  ( u ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  u ) )
4948ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( u  e.  E  ->  ( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) ) )
5036, 49sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( u  e.  (
Base `  D )  ->  ( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) ) )
5150ralrimiv 2625 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  A. u  e.  (
Base `  D )
( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) )
521, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26, 11erngdvlem3-rN 30560 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
53 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
545, 9, 53isrngid 15366 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Ring  ->  ( ( (  _I  |`  T )  e.  ( Base `  D
)  /\  A. u  e.  ( Base `  D
) ( ( (  _I  |`  T )
( .r `  D
) u )  =  u  /\  ( u ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  u ) )  <->  ( 1r `  D )  =  (  _I  |`  T )
) )
5552, 54syl 15 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( (  _I  |`  T )  e.  (
Base `  D )  /\  A. u  e.  (
Base `  D )
( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) )  <->  ( 1r `  D )  =  (  _I  |`  T )
) )
5635, 51, 55mpbi2and 887 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 1r `  D
)  =  (  _I  |`  T ) )
5756eqcomd 2288 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  =  ( 1r `  D ) )
5857adantr 451 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  (  _I  |`  T )  =  ( 1r `  D
) )
5952adantr 451 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  D  e.  Ring )
60 simp1l 979 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6112oveqd 5875 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M t )  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
6260, 61syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s M t )  =  ( s ( .r `  D ) t ) )
63 simp2l 981 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  s  e.  E )
64 simp3l 983 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  t  e.  E )
651, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 30376 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( t  o.  s ) )
6660, 63, 64, 65syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s ( .r `  D ) t )  =  ( t  o.  s ) )
6762, 66eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s M t )  =  ( t  o.  s ) )
68 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
t  e.  E  /\  t  =/=  O ) )
69 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )
7014, 1, 2, 3, 15tendoconid 30391 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/= 
O )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( t  o.  s )  =/=  O
)
7160, 68, 69, 70syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
t  o.  s )  =/=  O )
7267, 71eqnetrd 2464 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s M t )  =/=  O )
7314, 1, 2, 3, 15tendo1ne0 30390 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  =/=  O )
7473adantr 451 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  (  _I  |`  T )  =/= 
O )
75 simpll 730 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
76 simplrl 736 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  h  e.  T
)
77 simpr 447 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s  e.  E  /\  s  =/= 
O ) )
78 edlemk6.j-r . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
79 edlemk6.m-r . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
80 edlemk6.r-r . . . . 5  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
81 edlemk6.p-r . . . . 5  |-  Q  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
82 edlemk6.z-r . . . . 5  |-  Z  =  ( ( Q  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( (
h `  Q )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' ( s `  h ) ) ) ) )
83 edlemk6.y-r . . . . 5  |-  Y  =  ( ( Q  .\/  ( R `  g ) )  ./\  ( Z  .\/  ( R `  (
g  o.  `' b ) ) ) )
84 edlemk6.x-r . . . . 5  |-  X  =  ( iota_ z  e.  T A. b  e.  T  ( ( b  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  ( s `  h ) )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  g ) )  -> 
( z `  Q
)  =  Y ) )
85 edlemk6.u-r . . . . 5  |-  U  =  ( g  e.  T  |->  if ( ( s `
 h )  =  h ,  g ,  X ) )
8614, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml6 30543 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T  /\  ( s  e.  E  /\  s  =/=  O
) )  ->  ( U  e.  E  /\  ( U `  ( s `
 h ) )  =  h ) )
8786simpld 445 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T  /\  ( s  e.  E  /\  s  =/=  O
) )  ->  U  e.  E )
8875, 76, 77, 87syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  U  e.  E
)
8914, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml9 30546 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) )  /\  ( s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  U  =/=  O )
90893expa 1151 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  U  =/=  O
)
9112oveqd 5875 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M U )  =  ( s ( .r `  D
) U ) )
9291ad2antrr 706 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s M U )  =  ( s ( .r `  D ) U ) )
93 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  s  e.  E
)
941, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 30376 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  U  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) U )  =  ( U  o.  s ) )
9575, 93, 88, 94syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s ( .r `  D ) U )  =  ( U  o.  s ) )
9614, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml8 30545 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) )  /\  ( s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  -> 
( U  o.  s
)  =  (  _I  |`  T ) )
97963expa 1151 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( U  o.  s )  =  (  _I  |`  T )
)
9895, 97eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s ( .r `  D ) U )  =  (  _I  |`  T )
)
9992, 98eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s M U )  =  (  _I  |`  T )
)
1008, 13, 33, 58, 59, 72, 74, 88, 90, 99isdrngrd 15538 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  D  e.  DivRing )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   ifcif 3565    e. cmpt 4077    _I cid 4304   `'ccnv 4688    |` cres 4691    o. ccom 4693   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   iota_crio 6297   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   occoc 13216   0gc0g 13400   joincjn 14078   meetcmee 14079   Grpcgrp 14362   Ringcrg 15337   1rcur 15339   DivRingcdr 15512   HLchlt 28913   LHypclh 29546   LTrncltrn 29663   trLctrl 29720   TEndoctendo 30314   EDRing Rcedring-rN 30316
This theorem is referenced by:  erngdv-rN  30563
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-oposet 28739  df-ol 28741  df-oml 28742  df-covers 28829  df-ats 28830  df-atl 28861  df-cvlat 28885  df-hlat 28914  df-llines 29060  df-lplanes 29061  df-lvols 29062  df-lines 29063  df-psubsp 29065  df-pmap 29066  df-padd 29358  df-lhyp 29550  df-laut 29551  df-ldil 29666  df-ltrn 29667  df-trl 29721  df-tendo 30317  df-edring-rN 30318
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