Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem4-rN Structured version   Unicode version

Theorem erngdvlem4-rN 31797
Description: Lemma for erngdv 31791. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ernggrp.d-r  |-  D  =  ( ( EDRing R `  K ) `  W
)
ernggrplem.b-r  |-  B  =  ( Base `  K
)
ernggrplem.t-r  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
ernggrplem.e-r  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
ernggrplem.p-r  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
ernggrplem.o-r  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
ernggrplem.i-r  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
erngrnglem.m-r  |-  M  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a
) )
edlemk6.j-r  |-  .\/  =  ( join `  K )
edlemk6.m-r  |-  ./\  =  ( meet `  K )
edlemk6.r-r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
edlemk6.p-r  |-  Q  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
edlemk6.z-r  |-  Z  =  ( ( Q  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( (
h `  Q )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' ( s `  h ) ) ) ) )
edlemk6.y-r  |-  Y  =  ( ( Q  .\/  ( R `  g ) )  ./\  ( Z  .\/  ( R `  (
g  o.  `' b ) ) ) )
edlemk6.x-r  |-  X  =  ( iota_ z  e.  T A. b  e.  T  ( ( b  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  ( s `  h ) )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  g ) )  -> 
( z `  Q
)  =  Y ) )
edlemk6.u-r  |-  U  =  ( g  e.  T  |->  if ( ( s `
 h )  =  h ,  g ,  X ) )
Assertion
Ref Expression
erngdvlem4-rN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  D  e.  DivRing )
Distinct variable groups:    B, f    D, s    a, b, s, E    f, a, K, b, s    f, H, s    O, s    T, a, b, f, s    W, a, b, f, s    P, s    g, b, z,  ./\    .\/ , b, g, z    B, b   
g, s, B, z    H, b, g, z    g, K, z    M, s    P, g, z    Q, b, g, z    R, b, g, z    T, g, z    g, W, z    z, Y    g, Z    f, g, z    h, b, g, s, z
Allowed substitution hints:    B( h, a)    D( z, f, g, h, a, b)    P( f, h, a, b)    Q( f, h, s, a)    R( f, h, s, a)    T( h)    U( z, f, g, h, s, a, b)    E( z, f, g, h)    H( h, a)    I( z, f, g, h, s, a, b)    .\/ ( f, h, s, a)    K( h)    M( z, f, g, h, a, b)    ./\ ( f, h, s, a)    O( z, f, g, h, a, b)    W( h)    X( z,
f, g, h, s, a, b)    Y( f, g, h, s, a, b)    Z( z, f, h, s, a, b)

Proof of Theorem erngdvlem4-rN
Dummy variables  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h-r . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 ernggrplem.t-r . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 ernggrplem.e-r . . . . 5  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 ernggrp.d-r . . . . 5  |-  D  =  ( ( EDRing R `  K ) `  W
)
5 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
61, 2, 3, 4, 5erngbase-rN 31607 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  D
)  =  E )
76eqcomd 2442 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E  =  ( Base `  D ) )
87adantr 453 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  E  =  ( Base `  D
) )
9 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
101, 2, 3, 4, 9erngfmul-rN 31611 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( .r `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a ) ) )
11 erngrnglem.m-r . . . 4  |-  M  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a
) )
1210, 11syl6reqr 2488 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  M  =  ( .r
`  D ) )
1312adantr 453 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  M  =  ( .r `  D ) )
14 ernggrplem.b-r . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
15 ernggrplem.o-r . . . . . . 7  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
1614, 1, 2, 3, 15tendo0cl 31588 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  E )
1716, 6eleqtrrd 2514 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  ( Base `  D ) )
18 eqid 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
191, 2, 3, 4, 18erngfplus-rN 31608 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  ( b `  f ) ) ) ) )
20 ernggrplem.p-r . . . . . . . 8  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
2119, 20syl6reqr 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  P  =  ( +g  `  D ) )
2221oveqd 6099 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( O P O )  =  ( O ( +g  `  D
) O ) )
2314, 1, 2, 3, 15, 20tendo0pl 31589 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  O  e.  E
)  ->  ( O P O )  =  O )
2416, 23mpdan 651 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( O P O )  =  O )
2522, 24eqtr3d 2471 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( O ( +g  `  D ) O )  =  O )
26 ernggrplem.i-r . . . . . . 7  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
271, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26erngdvlem1-rN 31794 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Grp )
28 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
295, 18, 28isgrpid2 14842 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Grp  ->  (
( O  e.  (
Base `  D )  /\  ( O ( +g  `  D ) O )  =  O )  <->  ( 0g `  D )  =  O ) )
3027, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( O  e.  ( Base `  D
)  /\  ( O
( +g  `  D ) O )  =  O )  <->  ( 0g `  D )  =  O ) )
3117, 25, 30mpbi2and 889 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 0g `  D
)  =  O )
3231eqcomd 2442 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  =  ( 0g
`  D ) )
3332adantr 453 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  O  =  ( 0g `  D ) )
341, 2, 3tendoidcl 31567 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E )
3534, 6eleqtrrd 2514 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  ( Base `  D
) )
366eleq2d 2504 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( u  e.  (
Base `  D )  <->  u  e.  E ) )
37 simpl 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3834adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  (  _I  |`  T )  e.  E
)
39 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  u  e.  E )
401, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 31612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  u  e.  E
) )  ->  (
(  _I  |`  T ) ( .r `  D
) u )  =  ( u  o.  (  _I  |`  T ) ) )
4137, 38, 39, 40syl12anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D ) u )  =  ( u  o.  (  _I  |`  T ) ) )
421, 2, 3tendo1mulr 31569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( u  o.  (  _I  |`  T ) )  =  u )
4341, 42eqtrd 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D ) u )  =  u )
441, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 31612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( u  e.  E  /\  (  _I  |`  T )  e.  E
) )  ->  (
u ( .r `  D ) (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  u ) )
4537, 39, 38, 44syl12anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( u
( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  u ) )
461, 2, 3tendo1mul 31568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  o.  u )  =  u )
4745, 46eqtrd 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( u
( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  u )
4843, 47jca 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (
(  _I  |`  T ) ( .r `  D
) u )  =  u  /\  ( u ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  u ) )
4948ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( u  e.  E  ->  ( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) ) )
5036, 49sylbid 208 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( u  e.  (
Base `  D )  ->  ( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) ) )
5150ralrimiv 2789 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  A. u  e.  (
Base `  D )
( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) )
521, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26, 11erngdvlem3-rN 31796 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
53 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
545, 9, 53isrngid 15690 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Ring  ->  ( ( (  _I  |`  T )  e.  ( Base `  D
)  /\  A. u  e.  ( Base `  D
) ( ( (  _I  |`  T )
( .r `  D
) u )  =  u  /\  ( u ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  u ) )  <->  ( 1r `  D )  =  (  _I  |`  T )
) )
5552, 54syl 16 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( (  _I  |`  T )  e.  (
Base `  D )  /\  A. u  e.  (
Base `  D )
( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) )  <->  ( 1r `  D )  =  (  _I  |`  T )
) )
5635, 51, 55mpbi2and 889 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 1r `  D
)  =  (  _I  |`  T ) )
5756eqcomd 2442 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  =  ( 1r `  D ) )
5857adantr 453 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  (  _I  |`  T )  =  ( 1r `  D
) )
5952adantr 453 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  D  e.  Ring )
60 simp1l 982 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6112oveqd 6099 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M t )  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
6260, 61syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s M t )  =  ( s ( .r `  D ) t ) )
63 simp2l 984 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  s  e.  E )
64 simp3l 986 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  t  e.  E )
651, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 31612 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( t  o.  s ) )
6660, 63, 64, 65syl12anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s ( .r `  D ) t )  =  ( t  o.  s ) )
6762, 66eqtrd 2469 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s M t )  =  ( t  o.  s ) )
68 simp3 960 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
t  e.  E  /\  t  =/=  O ) )
69 simp2 959 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )
7014, 1, 2, 3, 15tendoconid 31627 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/= 
O )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( t  o.  s )  =/=  O
)
7160, 68, 69, 70syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
t  o.  s )  =/=  O )
7267, 71eqnetrd 2620 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s M t )  =/=  O )
7314, 1, 2, 3, 15tendo1ne0 31626 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  =/=  O )
7473adantr 453 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  (  _I  |`  T )  =/= 
O )
75 simpll 732 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
76 simplrl 738 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  h  e.  T
)
77 simpr 449 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s  e.  E  /\  s  =/= 
O ) )
78 edlemk6.j-r . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
79 edlemk6.m-r . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
80 edlemk6.r-r . . . . 5  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
81 edlemk6.p-r . . . . 5  |-  Q  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
82 edlemk6.z-r . . . . 5  |-  Z  =  ( ( Q  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( (
h `  Q )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' ( s `  h ) ) ) ) )
83 edlemk6.y-r . . . . 5  |-  Y  =  ( ( Q  .\/  ( R `  g ) )  ./\  ( Z  .\/  ( R `  (
g  o.  `' b ) ) ) )
84 edlemk6.x-r . . . . 5  |-  X  =  ( iota_ z  e.  T A. b  e.  T  ( ( b  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  ( s `  h ) )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  g ) )  -> 
( z `  Q
)  =  Y ) )
85 edlemk6.u-r . . . . 5  |-  U  =  ( g  e.  T  |->  if ( ( s `
 h )  =  h ,  g ,  X ) )
8614, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml6 31779 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T  /\  ( s  e.  E  /\  s  =/=  O
) )  ->  ( U  e.  E  /\  ( U `  ( s `
 h ) )  =  h ) )
8786simpld 447 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T  /\  ( s  e.  E  /\  s  =/=  O
) )  ->  U  e.  E )
8875, 76, 77, 87syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  U  e.  E
)
8914, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml9 31782 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) )  /\  ( s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  U  =/=  O )
90893expa 1154 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  U  =/=  O
)
9112oveqd 6099 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M U )  =  ( s ( .r `  D
) U ) )
9291ad2antrr 708 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s M U )  =  ( s ( .r `  D ) U ) )
93 simprl 734 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  s  e.  E
)
941, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 31612 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  U  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) U )  =  ( U  o.  s ) )
9575, 93, 88, 94syl12anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s ( .r `  D ) U )  =  ( U  o.  s ) )
9614, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml8 31781 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) )  /\  ( s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  -> 
( U  o.  s
)  =  (  _I  |`  T ) )
97963expa 1154 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( U  o.  s )  =  (  _I  |`  T )
)
9895, 97eqtrd 2469 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s ( .r `  D ) U )  =  (  _I  |`  T )
)
9992, 98eqtrd 2469 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s M U )  =  (  _I  |`  T )
)
1008, 13, 33, 58, 59, 72, 74, 88, 90, 99isdrngrd 15862 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  D  e.  DivRing )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   A.wral 2706   ifcif 3740    e. cmpt 4267    _I cid 4494   `'ccnv 4878    |` cres 4881    o. ccom 4883   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    e. cmpt2 6084   iota_crio 6543   Basecbs 13470   +g cplusg 13530   .rcmulr 13531   occoc 13538   0gc0g 13724   joincjn 14402   meetcmee 14403   Grpcgrp 14686   Ringcrg 15661   1rcur 15663   DivRingcdr 15836   HLchlt 30149   LHypclh 30782   LTrncltrn 30899   trLctrl 30956   TEndoctendo 31550   EDRing Rcedring-rN 31552
This theorem is referenced by:  erngdv-rN  31799
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-tpos 6480  df-undef 6544  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-0g 13728  df-poset 14404  df-plt 14416  df-lub 14432  df-glb 14433  df-join 14434  df-meet 14435  df-p0 14469  df-p1 14470  df-lat 14476  df-clat 14538  df-mnd 14691  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-oppr 15729  df-dvdsr 15747  df-unit 15748  df-invr 15778  df-dvr 15789  df-drng 15838  df-oposet 29975  df-ol 29977  df-oml 29978  df-covers 30065  df-ats 30066  df-atl 30097  df-cvlat 30121  df-hlat 30150  df-llines 30296  df-lplanes 30297  df-lvols 30298  df-lines 30299  df-psubsp 30301  df-pmap 30302  df-padd 30594  df-lhyp 30786  df-laut 30787  df-ldil 30902  df-ltrn 30903  df-trl 30957  df-tendo 31553  df-edring-rN 31554
  Copyright terms: Public domain W3C validator