Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngfmul-rN Unicode version

Theorem erngfmul-rN 31061
Description: Ring multiplication operation. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
erngset.h-r  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
erngset.t-r  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
erngset.e-r  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
erngset.d-r  |-  D  =  ( ( EDRing R `  K ) `  W
)
erng.m-r  |-  .x.  =  ( .r `  D )
Assertion
Ref Expression
erngfmul-rN  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  .x.  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( t  o.  s ) ) )
Distinct variable groups:    t, s, K    W, s, t    E, s, t
Allowed substitution hints:    D( t, s)    T( t, s)    .x. ( t, s)    H( t, s)    V( t, s)

Proof of Theorem erngfmul-rN
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erngset.h-r . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 erngset.t-r . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 erngset.e-r . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 erngset.d-r . . . 4  |-  D  =  ( ( EDRing R `  K ) `  W
)
51, 2, 3, 4erngset-rN 31056 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  D  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  E >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( t  o.  s ) )
>. } )
65fveq2d 5636 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( .r `  D
)  =  ( .r
`  { <. ( Base `  ndx ) ,  E >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( t  o.  s ) )
>. } ) )
7 erng.m-r . 2  |-  .x.  =  ( .r `  D )
8 fvex 5646 . . . . 5  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  e.  _V
93, 8eqeltri 2436 . . . 4  |-  E  e. 
_V
109, 9mpt2ex 6325 . . 3  |-  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( t  o.  s ) )  e.  _V
11 eqid 2366 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  E >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( t  o.  s ) )
>. }  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  E >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( t  o.  s ) )
>. }
1211rngmulr 13466 . . 3  |-  ( ( s  e.  E , 
t  e.  E  |->  ( t  o.  s ) )  e.  _V  ->  ( s  e.  E , 
t  e.  E  |->  ( t  o.  s ) )  =  ( .r
`  { <. ( Base `  ndx ) ,  E >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( t  o.  s ) )
>. } ) )
1310, 12ax-mp 8 . 2  |-  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( t  o.  s ) )  =  ( .r `  { <. ( Base `  ndx ) ,  E >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `
 f )  o.  ( t `  f
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( s  e.  E , 
t  e.  E  |->  ( t  o.  s ) ) >. } )
146, 7, 133eqtr4g 2423 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  .x.  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( t  o.  s ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   _Vcvv 2873   {ctp 3731   <.cop 3732    e. cmpt 4179    o. ccom 4796   ` cfv 5358    e. cmpt2 5983   ndxcnx 13353   Basecbs 13356   +g cplusg 13416   .rcmulr 13417   LHypclh 30232   LTrncltrn 30349   TEndoctendo 31000   EDRing Rcedring-rN 31002
This theorem is referenced by:  erngmul-rN  31062  erngdvlem3-rN  31246  erngdvlem4-rN  31247
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-edring-rN 31004
  Copyright terms: Public domain W3C validator