Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngfplus-rN Structured version   Unicode version

Theorem erngfplus-rN 31544
Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
erngset.h-r  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
erngset.t-r  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
erngset.e-r  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
erngset.d-r  |-  D  =  ( ( EDRing R `  K ) `  W
)
erng.p-r  |-  .+  =  ( +g  `  D )
Assertion
Ref Expression
erngfplus-rN  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, s,
t, K    f, W, s, t    E, s, t
Allowed substitution hints:    D( t, f, s)    .+ ( t, f, s)    T( t, f, s)    E( f)    H( t, f, s)    V( t, f, s)

Proof of Theorem erngfplus-rN
StepHypRef Expression
1 erngset.h-r . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 erngset.t-r . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 erngset.e-r . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 erngset.d-r . . . 4  |-  D  =  ( ( EDRing R `  K ) `  W
)
51, 2, 3, 4erngset-rN 31542 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  D  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  E >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( t  o.  s ) )
>. } )
65fveq2d 5724 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  D
)  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  E >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `
 f )  o.  ( t `  f
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( s  e.  E , 
t  e.  E  |->  ( t  o.  s ) ) >. } ) )
7 erng.p-r . 2  |-  .+  =  ( +g  `  D )
8 fvex 5734 . . . . 5  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  e.  _V
93, 8eqeltri 2505 . . . 4  |-  E  e. 
_V
109, 9mpt2ex 6417 . . 3  |-  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) ) )  e.  _V
11 eqid 2435 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  E >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( t  o.  s ) )
>. }  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  E >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( t  o.  s ) )
>. }
1211rngplusg 13570 . . 3  |-  ( ( s  e.  E , 
t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f
)  o.  ( t `
 f ) ) ) )  e.  _V  ->  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  E >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `
 f )  o.  ( t `  f
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( s  e.  E , 
t  e.  E  |->  ( t  o.  s ) ) >. } ) )
1310, 12ax-mp 8 . 2  |-  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  E >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `
 f )  o.  ( t `  f
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( s  e.  E , 
t  e.  E  |->  ( t  o.  s ) ) >. } )
146, 7, 133eqtr4g 2492 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   {ctp 3808   <.cop 3809    e. cmpt 4258    o. ccom 4874   ` cfv 5446    e. cmpt2 6075   ndxcnx 13458   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522   LHypclh 30718   LTrncltrn 30835   TEndoctendo 31486   EDRing Rcedring-rN 31488
This theorem is referenced by:  erngplus-rN  31545  erngdvlem1-rN  31730  erngdvlem2-rN  31731  erngdvlem3-rN  31732  erngdvlem4-rN  31733
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-edring-rN 31490
  Copyright terms: Public domain W3C validator