Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngfplus Unicode version

Theorem erngfplus 30991
Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
erngset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
erngset.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
erngset.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
erngset.d  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
erng.p  |-  .+  =  ( +g  `  D )
Assertion
Ref Expression
erngfplus  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, s,
t, K    f, W, s, t    E, s, t
Allowed substitution hints:    D( t, f, s)    .+ ( t, f, s)    T( t, f, s)    E( f)    H( t, f, s)    V( t, f, s)

Proof of Theorem erngfplus
StepHypRef Expression
1 erngset.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 erngset.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 erngset.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 erngset.d . . . 4  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
51, 2, 3, 4erngset 30989 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  D  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  E >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) )
>. } )
65fveq2d 5529 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  D
)  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  E >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `
 f )  o.  ( t `  f
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( s  e.  E , 
t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) ) >. } ) )
7 erng.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  D )
8 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  e.  _V
93, 8eqeltri 2353 . . . 4  |-  E  e. 
_V
109, 9mpt2ex 6198 . . 3  |-  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) ) )  e.  _V
11 eqid 2283 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  E >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) )
>. }  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  E >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) )
>. }
1211rngplusg 13257 . . 3  |-  ( ( s  e.  E , 
t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f
)  o.  ( t `
 f ) ) ) )  e.  _V  ->  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  E >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `
 f )  o.  ( t `  f
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( s  e.  E , 
t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) ) >. } ) )
1310, 12ax-mp 8 . 2  |-  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  E >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `
 f )  o.  ( t `  f
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( s  e.  E , 
t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) ) >. } )
146, 7, 133eqtr4g 2340 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {ctp 3642   <.cop 3643    e. cmpt 4077    o. ccom 4693   ` cfv 5255    e. cmpt2 5860   ndxcnx 13145   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   TEndoctendo 30941   EDRingcedring 30942
This theorem is referenced by:  erngplus  30992  erngdvlem1  31177  erngdvlem2N  31178  erngdvlem3  31179  erngdvlem4  31180  erng0g  31183  dvafplusg  31197  dvhfplusr  31274
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-edring 30946
  Copyright terms: Public domain W3C validator