Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngmul Structured version   Unicode version

Theorem erngmul 31665
Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
erngset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
erngset.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
erngset.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
erngset.d  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
erng.m  |-  .x.  =  ( .r `  D )
Assertion
Ref Expression
erngmul  |-  ( ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H
)  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( U  .x.  V
)  =  ( U  o.  V ) )

Proof of Theorem erngmul
Dummy variables  s 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erngset.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 erngset.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 erngset.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 erngset.d . . . 4  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
5 erng.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  D )
61, 2, 3, 4, 5erngfmul 31664 . . 3  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  .x.  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) ) )
76oveqd 6100 . 2  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  ( U  .x.  V
)  =  ( U ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t
) ) V ) )
8 coexg 5414 . . 3  |-  ( ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  ->  ( U  o.  V
)  e.  _V )
9 coeq1 5032 . . . 4  |-  ( s  =  U  ->  (
s  o.  t )  =  ( U  o.  t ) )
10 coeq2 5033 . . . 4  |-  ( t  =  V  ->  ( U  o.  t )  =  ( U  o.  V ) )
11 eqid 2438 . . . 4  |-  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) )  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) )
129, 10, 11ovmpt2g 6210 . . 3  |-  ( ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  ( U  o.  V
)  e.  _V )  ->  ( U ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) ) V )  =  ( U  o.  V ) )
138, 12mpd3an3 1281 . 2  |-  ( ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  ->  ( U ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) ) V )  =  ( U  o.  V ) )
147, 13sylan9eq 2490 1  |-  ( ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H
)  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( U  .x.  V
)  =  ( U  o.  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    o. ccom 4884   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085   .rcmulr 13532   LHypclh 30843   LTrncltrn 30960   TEndoctendo 31611   EDRingcedring 31612
This theorem is referenced by:  erng1lem  31846  erngdvlem3  31849  erngdvlem4  31850  erng1r  31854
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-edring 31616
  Copyright terms: Public domain W3C validator