Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngplus2-rN Unicode version

Theorem erngplus2-rN 30928
Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
erngset.h-r  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
erngset.t-r  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
erngset.e-r  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
erngset.d-r  |-  D  =  ( ( EDRing R `  K ) `  W
)
erng.p-r  |-  .+  =  ( +g  `  D )
Assertion
Ref Expression
erngplus2-rN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  F  e.  T ) )  -> 
( ( U  .+  V ) `  F
)  =  ( ( U `  F )  o.  ( V `  F ) ) )

Proof of Theorem erngplus2-rN
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erngset.h-r . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 erngset.t-r . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 erngset.e-r . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 erngset.d-r . . . 4  |-  D  =  ( ( EDRing R `  K ) `  W
)
5 erng.p-r . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  D )
61, 2, 3, 4, 5erngplus-rN 30927 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( U  .+  V
)  =  ( f  e.  T  |->  ( ( U `  f )  o.  ( V `  f ) ) ) )
763adantr3 1118 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  F  e.  T ) )  -> 
( U  .+  V
)  =  ( f  e.  T  |->  ( ( U `  f )  o.  ( V `  f ) ) ) )
8 fveq2 5670 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( U `  f )  =  ( U `  F ) )
9 fveq2 5670 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( V `  f )  =  ( V `  F ) )
108, 9coeq12d 4979 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( U `  f
)  o.  ( V `
 f ) )  =  ( ( U `
 F )  o.  ( V `  F
) ) )
1110adantl 453 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  F  e.  T )
)  /\  f  =  F )  ->  (
( U `  f
)  o.  ( V `
 f ) )  =  ( ( U `
 F )  o.  ( V `  F
) ) )
12 simpr3 965 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  F  e.  T ) )  ->  F  e.  T )
13 fvex 5684 . . . 4  |-  ( U `
 F )  e. 
_V
14 fvex 5684 . . . 4  |-  ( V `
 F )  e. 
_V
1513, 14coex 5355 . . 3  |-  ( ( U `  F )  o.  ( V `  F ) )  e. 
_V
1615a1i 11 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  F  e.  T ) )  -> 
( ( U `  F )  o.  ( V `  F )
)  e.  _V )
177, 11, 12, 16fvmptd 5751 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  F  e.  T ) )  -> 
( ( U  .+  V ) `  F
)  =  ( ( U `  F )  o.  ( V `  F ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2901    e. cmpt 4209    o. ccom 4824   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   +g cplusg 13458   HLchlt 29467   LHypclh 30100   LTrncltrn 30217   TEndoctendo 30868   EDRing Rcedring-rN 30870
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-edring-rN 30872
  Copyright terms: Public domain W3C validator