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Theorem eroprf 6969
Description: Functionality of an operation defined on equivalence classes. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eropr.1  |-  J  =  ( A /. R
)
eropr.2  |-  K  =  ( B /. S
)
eropr.3  |-  ( ph  ->  T  e.  Z )
eropr.4  |-  ( ph  ->  R  Er  U )
eropr.5  |-  ( ph  ->  S  Er  V )
eropr.6  |-  ( ph  ->  T  Er  W )
eropr.7  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
eropr.8  |-  ( ph  ->  B  C_  V )
eropr.9  |-  ( ph  ->  C  C_  W )
eropr.10  |-  ( ph  ->  .+  : ( A  X.  B ) --> C )
eropr.11  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( t  e.  B  /\  u  e.  B
) ) )  -> 
( ( r R s  /\  t S u )  ->  (
r  .+  t ) T ( s  .+  u ) ) )
eropr.12  |-  .+^  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) }
eropr.13  |-  ( ph  ->  R  e.  X )
eropr.14  |-  ( ph  ->  S  e.  Y )
eropr.15  |-  L  =  ( C /. T
)
Assertion
Ref Expression
eroprf  |-  ( ph  -> 
.+^  : ( J  X.  K ) --> L )
Distinct variable groups:    q, p, r, s, t, u, x, y, z, A    B, p, q, r, s, t, u, x, y, z    L, p, q, x, y, z    J, p, q, x, y, z    R, p, q, r, s, t, u, x, y, z    K, p, q, x, y, z    S, p, q, r, s, t, u, x, y, z    .+ , p, q, r, s, t, u, x, y, z    ph, p, q, r, s, t, u, x, y, z    T, p, q, r, s, t, u, x, y, z    X, p, q, r, s, t, u, z    Y, p, q, r, s, t, u, z
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, u, t, s, r, q, p)    .+^ ( x, y, z, u, t, s, r, q, p)    U( x, y, z, u, t, s, r, q, p)    J( u, t, s, r)    K( u, t, s, r)    L( u, t, s, r)    V( x, y, z, u, t, s, r, q, p)    W( x, y, z, u, t, s, r, q, p)    X( x, y)    Y( x, y)    Z( x, y, z, u, t, s, r, q, p)

Proof of Theorem eroprf
StepHypRef Expression
1 eropr.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  Z )
21ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  B ) )  ->  T  e.  Z )
3 eropr.10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  .+  : ( A  X.  B ) --> C )
43adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  ->  .+  : ( A  X.  B ) --> C )
54fovrnda 6184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  B ) )  -> 
( p  .+  q
)  e.  C )
6 ecelqsg 6926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Z  /\  ( p  .+  q )  e.  C )  ->  [ ( p  .+  q ) ] T  e.  ( C /. T
) )
72, 5, 6syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  B ) )  ->  [ ( p  .+  q ) ] T  e.  ( C /. T
) )
8 eropr.15 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( C /. T
)
97, 8syl6eleqr 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  B ) )  ->  [ ( p  .+  q ) ] T  e.  L )
10 eleq1a 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( [ ( p  .+  q
) ] T  e.  L  ->  ( z  =  [ ( p  .+  q ) ] T  ->  z  e.  L ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  B ) )  -> 
( z  =  [
( p  .+  q
) ] T  -> 
z  e.  L ) )
1211adantld 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  B ) )  -> 
( ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T )  ->  z  e.  L
) )
1312rexlimdvva 2805 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T )  ->  z  e.  L
) )
1413abssdv 3385 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  ->  { z  |  E. p  e.  A  E. q  e.  B  (
( x  =  [
p ] R  /\  y  =  [ q ] S )  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) }  C_  L
)
15 eropr.1 . . . . . . 7  |-  J  =  ( A /. R
)
16 eropr.2 . . . . . . 7  |-  K  =  ( B /. S
)
17 eropr.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  Er  U )
18 eropr.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  Er  V )
19 eropr.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  Er  W )
20 eropr.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
21 eropr.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  V )
22 eropr.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  C_  W )
23 eropr.11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( t  e.  B  /\  u  e.  B
) ) )  -> 
( ( r R s  /\  t S u )  ->  (
r  .+  t ) T ( s  .+  u ) ) )
2415, 16, 1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 3, 23eroveu 6966 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  ->  E! z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) )
25 iotacl 5408 . . . . . 6  |-  ( E! z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T )  ->  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) )  e.  { z  |  E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) } )
2624, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( (
x  =  [ p ] R  /\  y  =  [ q ] S
)  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) )  e.  {
z  |  E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( (
x  =  [ p ] R  /\  y  =  [ q ] S
)  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) } )
2714, 26sseldd 3317 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( (
x  =  [ p ] R  /\  y  =  [ q ] S
)  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) )  e.  L
)
2827ralrimivva 2766 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  K  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( (
x  =  [ p ] R  /\  y  =  [ q ] S
)  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) )  e.  L
)
29 eqid 2412 . . . 4  |-  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) ) )  =  ( x  e.  J , 
y  e.  K  |->  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( (
x  =  [ p ] R  /\  y  =  [ q ] S
)  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) ) )
3029fmpt2 6385 . . 3  |-  ( A. x  e.  J  A. y  e.  K  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) )  e.  L  <->  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) ) ) : ( J  X.  K ) --> L )
3128, 30sylib 189 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  (
( x  =  [
p ] R  /\  y  =  [ q ] S )  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) ) ) : ( J  X.  K
) --> L )
32 eropr.12 . . . 4  |-  .+^  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) }
3315, 16, 1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 3, 23, 32erovlem 6967 . . 3  |-  ( ph  -> 
.+^  =  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) ) ) )
3433feq1d 5547 . 2  |-  ( ph  ->  (  .+^  : ( J  X.  K ) --> L  <-> 
( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  (
( x  =  [
p ] R  /\  y  =  [ q ] S )  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) ) ) : ( J  X.  K
) --> L ) )
3531, 34mpbird 224 1  |-  ( ph  -> 
.+^  : ( J  X.  K ) --> L )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   E!weu 2262   {cab 2398   A.wral 2674   E.wrex 2675    C_ wss 3288   class class class wbr 4180    X. cxp 4843   iotacio 5383   -->wf 5417  (class class class)co 6048   {coprab 6049    e. cmpt2 6050    Er wer 6869   [cec 6870   /.cqs 6871
This theorem is referenced by:  eroprf2  6971
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-er 6872  df-ec 6874  df-qs 6878
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