Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  erth Unicode version

Theorem erth 6704
 Description: Basic property of equivalence relations. Theorem 73 of [Suppes] p. 82. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erth.1
erth.2
Assertion
Ref Expression
erth

Proof of Theorem erth
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . . . . 7
2 erth.1 . . . . . . . . 9
32ersymb 6674 . . . . . . . 8
43biimpa 470 . . . . . . 7
51, 4jca 518 . . . . . 6
62ertr 6675 . . . . . . 7
76impl 603 . . . . . 6
85, 7sylan 457 . . . . 5
92ertr 6675 . . . . . 6
109impl 603 . . . . 5
118, 10impbida 805 . . . 4
12 vex 2791 . . . . 5
13 erth.2 . . . . . 6
1413adantr 451 . . . . 5
15 elecg 6698 . . . . 5
1612, 14, 15sylancr 644 . . . 4
17 errel 6669 . . . . . . 7
182, 17syl 15 . . . . . 6
19 brrelex2 4728 . . . . . 6
2018, 19sylan 457 . . . . 5
21 elecg 6698 . . . . 5
2212, 20, 21sylancr 644 . . . 4
2311, 16, 223bitr4d 276 . . 3
2423eqrdv 2281 . 2
262, 13erref 6680 . . . . . . 7
2726adantr 451 . . . . . 6
2813adantr 451 . . . . . . 7
29 elecg 6698 . . . . . . 7
3028, 28, 29syl2anc 642 . . . . . 6
3127, 30mpbird 223 . . . . 5
32 simpr 447 . . . . 5
3331, 32eleqtrd 2359 . . . 4
3425, 32ereldm 6703 . . . . . 6
3528, 34mpbid 201 . . . . 5
36 elecg 6698 . . . . 5
3728, 35, 36syl2anc 642 . . . 4
3833, 37mpbid 201 . . 3
3925, 38ersym 6672 . 2
4024, 39impbida 805 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788   class class class wbr 4023   wrel 4694   wer 6657  cec 6658 This theorem is referenced by:  erth2  6705  erthi  6706  qliftfun  6743  eroveu  6753  eceqoveq  6763  th3qlem1  6764  enreceq  8691  ercpbllem  13450  orbsta  14767  sylow2blem3  14933  frgpnabllem2  15162  zndvds  16503  divstgpopn  17802  divstgphaus  17805  pi1xfrf  18551  pi1cof  18557  sconpi1  23770  topfneec2  26292 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-er 6660  df-ec 6662
 Copyright terms: Public domain W3C validator