Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esum0 Structured version   Unicode version

Theorem esum0 24436
Description: Extended sum of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esum0.k  |-  F/_ k A
Assertion
Ref Expression
esum0  |-  ( A  e.  V  -> Σ* k  e.  A
0  =  0 )
Distinct variable group:    k, V
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem esum0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esum0.k . . . 4  |-  F/_ k A
21nfel1 2581 . . 3  |-  F/ k  A  e.  V
3 id 20 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  V )
4 0xr 9123 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
5 pnfxr 10705 . . . . 5  |-  +oo  e.  RR*
6 pnfge 10719 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_  +oo )
74, 6ax-mp 8 . . . . 5  |-  0  <_  +oo
8 lbicc2 11005 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
94, 5, 7, 8mp3an 1279 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
109a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  k  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
11 xrge0cmn 16732 . . . . . 6  |-  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  e. CMnd
12 cmnmnd 15419 . . . . . 6  |-  ( (
RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )  e. CMnd 
->  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  e. 
Mnd )
1311, 12ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  Mnd
14 vex 2951 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
15 xrge00 24200 . . . . . 6  |-  0  =  ( 0g `  ( RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) ) )
1615gsumz 14773 . . . . 5  |-  ( ( ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  e. 
Mnd  /\  x  e.  _V )  ->  ( (
RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  0 ) )  =  0 )
1713, 14, 16mp2an 654 . . . 4  |-  ( (
RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  0 ) )  =  0
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  0 ) )  =  0 )
192, 1, 3, 10, 18esumval 24433 . 2  |-  ( A  e.  V  -> Σ* k  e.  A
0  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 ) , 
RR* ,  <  ) )
20 fconstmpt 4913 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P A  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )
2120eqcomi 2439 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P A  i^i  Fin )  X.  { 0 } )
224rgenw 2765 . . . . . . . 8  |-  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 0  e.  RR*
23 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )
2423fnmpt 5563 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 0  e.  RR*  ->  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P A  i^i  Fin ) )
2522, 24ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P A  i^i  Fin )
26 0elpw 4361 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  ~P A
27 0fin 7328 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  Fin
28 elin 3522 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P A  /\  (/)  e.  Fin )
)
2926, 27, 28mpbir2an 887 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
30 ne0i 3626 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/) )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/)
32 fconst5 5941 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/) )  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P A  i^i  Fin )  X.  {
0 } )  <->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  { 0 } ) )
3325, 31, 32mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P A  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  <->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  { 0 } )
3421, 33mpbi 200 . . . . 5  |-  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  {
0 }
3534a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  {
0 } )
3635supeq1d 7443 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  ) )
37 xrltso 10726 . . . 4  |-  <  Or  RR*
38 supsn 7466 . . . 4  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
3937, 4, 38mp2an 654 . . 3  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
4036, 39syl6eq 2483 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 ) , 
RR* ,  <  )  =  0 )
4119, 40eqtrd 2467 1  |-  ( A  e.  V  -> Σ* k  e.  A
0  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   F/_wnfc 2558    =/= wne 2598   A.wral 2697   _Vcvv 2948    i^i cin 3311   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    Or wor 4494    X. cxp 4868   ran crn 4871    Fn wfn 5441  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   supcsup 7437   0cc0 8982    +oocpnf 9109   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113   [,]cicc 10911   ↾s cress 13462   RR* scxrs 13714    gsumg cgsu 13716   Mndcmnd 14676  CMndccmn 15404  Σ*cesum 24416
This theorem is referenced by:  measvunilem0  24559
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-xadd 10703  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-ordt 13717  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-ps 14621  df-tsr 14622  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-ntr 17076  df-nei 17154  df-cn 17283  df-haus 17371  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-tsms 18148  df-esum 24417
  Copyright terms: Public domain W3C validator