Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esum0 Unicode version

Theorem esum0 23620
Description: Extended sum of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esum0.k  |-  F/_ k A
Assertion
Ref Expression
esum0  |-  ( A  e.  V  -> Σ* k  e.  A
0  =  0 )
Distinct variable group:    k, V
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem esum0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esum0.k . . . 4  |-  F/_ k A
2 nfcv 2452 . . . 4  |-  F/_ k V
31, 2nfel 2460 . . 3  |-  F/ k  A  e.  V
4 id 19 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  V )
5 0xr 8923 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
6 pnfxr 10502 . . . . 5  |-  +oo  e.  RR*
7 pnfge 10516 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_  +oo )
85, 7ax-mp 8 . . . . 5  |-  0  <_  +oo
9 lbicc2 10799 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
105, 6, 8, 9mp3an 1277 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
1110a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  k  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
12 xrge0cmn 16469 . . . . . 6  |-  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  e. CMnd
13 cmnmnd 15153 . . . . . 6  |-  ( (
RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )  e. CMnd 
->  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  e. 
Mnd )
1412, 13ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  Mnd
15 vex 2825 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
16 xrge00 23346 . . . . . 6  |-  0  =  ( 0g `  ( RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) ) )
1716gsumz 14507 . . . . 5  |-  ( ( ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  e. 
Mnd  /\  x  e.  _V )  ->  ( (
RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  0 ) )  =  0 )
1814, 15, 17mp2an 653 . . . 4  |-  ( (
RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  0 ) )  =  0
1918a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  0 ) )  =  0 )
203, 1, 4, 11, 19esumval 23617 . 2  |-  ( A  e.  V  -> Σ* k  e.  A
0  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 ) , 
RR* ,  <  ) )
21 fconstmpt 4769 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P A  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )
2221eqcomi 2320 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P A  i^i  Fin )  X.  { 0 } )
235rgenw 2644 . . . . . . . 8  |-  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 0  e.  RR*
24 eqid 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )
2524fnmpt 5407 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 0  e.  RR*  ->  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P A  i^i  Fin ) )
2623, 25ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P A  i^i  Fin )
27 0elpw 4217 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  ~P A
28 0fin 7132 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  Fin
29 elin 3392 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P A  /\  (/)  e.  Fin )
)
3027, 28, 29mpbir2an 886 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
31 ne0i 3495 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/) )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/)
33 fconst5 5770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/) )  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P A  i^i  Fin )  X.  {
0 } )  <->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  { 0 } ) )
3426, 32, 33mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P A  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  <->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  { 0 } )
3522, 34mpbi 199 . . . . 5  |-  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  {
0 }
3635a1i 10 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  {
0 } )
3736supeq1d 7244 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  ) )
38 xrltso 10522 . . . 4  |-  <  Or  RR*
39 supsn 7265 . . . 4  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
4038, 5, 39mp2an 653 . . 3  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
4137, 40syl6eq 2364 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 ) , 
RR* ,  <  )  =  0 )
4220, 41eqtrd 2348 1  |-  ( A  e.  V  -> Σ* k  e.  A
0  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   F/_wnfc 2439    =/= wne 2479   A.wral 2577   _Vcvv 2822    i^i cin 3185   (/)c0 3489   ~Pcpw 3659   {csn 3674   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114    Or wor 4350    X. cxp 4724   ran crn 4727    Fn wfn 5287  (class class class)co 5900   Fincfn 6906   supcsup 7238   0cc0 8782    +oocpnf 8909   RR*cxr 8911    < clt 8912    <_ cle 8913   [,]cicc 10706   ↾s cress 13196   RR* scxrs 13448    gsumg cgsu 13450   Mndcmnd 14410  CMndccmn 15138  Σ*cesum 23600
This theorem is referenced by:  measvunilem0  23741
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-q 10364  df-xadd 10500  df-ioo 10707  df-ioc 10708  df-ico 10709  df-icc 10710  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-seq 11094  df-hash 11385  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-ordt 13451  df-xrs 13452  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-ps 14355  df-tsr 14356  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-cntz 14842  df-cmn 15140  df-fbas 16429  df-fg 16430  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-ntr 16813  df-nei 16891  df-cn 17013  df-haus 17099  df-fil 17593  df-fm 17685  df-flim 17686  df-flf 17687  df-tsms 17861  df-esum 23601
  Copyright terms: Public domain W3C validator