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Theorem esumcvg 24429
Description: The sequence of partial sums of an extended sum converges to the whole sum. cf. fsumcvg2 12476. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcvg.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
esumcvg.f  |-  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
esumcvg.a  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
esumcvg.m  |-  ( k  =  m  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
esumcvg  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
Distinct variable groups:    m, n, A    k, n, B    k, m, F, n    k, J, n    ph, k, m, n
Allowed substitution hints:    A( k)    B( m)    J( m)

Proof of Theorem esumcvg
Dummy variables  l  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10477 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10267 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  1  e.  ZZ )
4 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
5 mnfxr 10670 . . . . . . . . . . 11  |-  -oo  e.  RR*
6 pnfxr 10669 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e.  RR*
7 0re 9047 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
8 mnflt 10678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  -oo  <  0
10 pnfge 10683 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  +oo  e.  RR*  ->  +oo  <_  +oo )
116, 10ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  <_  +oo
12 icossioo 24086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  0  /\  +oo 
<_  +oo ) )  -> 
( 0 [,)  +oo )  C_  (  -oo (,)  +oo ) )
135, 6, 9, 11, 12mp4an 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (  -oo (,)  +oo )
14 ioomax 10941 . . . . . . . . . 10  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  RR
1513, 14sseqtri 3340 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
16 ax-resscn 9003 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
1715, 16sstri 3317 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC
18 esumcvg.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  A  =  B )
1918eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  ( A  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
2019cbvralv 2892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<-> 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
21 rsp 2726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
2220, 21sylbir 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
2322adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
2423imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2517, 24sseldi 3306 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
2625adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
27 esumcvg.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
28 fzfid 11267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
1 ... n )  e. 
Fin )
29 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  k  e.  NN )
3029, 24sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
3130adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
3228, 31esumpfinval 24418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A )
3332mpteq2dva 4255 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
3427, 33syl5eq 2448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
3517, 31sseldi 3306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  CC )
3628, 35fsumcl 12482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  CC )
3734, 36fvmpt2d 5773 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
3837adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
391, 3, 4, 26, 38isumclim3 12498 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  ~~>  sum_ k  e.  NN  A
)
40 esumcvg.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
4128, 31fsumrp0cl 24170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
4232, 41eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
4342, 27fmptd 5852 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  F : NN
--> ( 0 [,)  +oo ) )
4443adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
45 simplll 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ph )
46 eqidd 2405 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  B )  =  ( m  e.  NN  |->  B ) )
47 eqcom 2406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  <->  m  =  k )
48 eqcom 2406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  B  <->  B  =  A )
4918, 47, 483imtr3i 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  B  =  A )
5049adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  =  k )  ->  B  =  A )
51 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
52 esumcvg.a . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
5346, 50, 51, 52fvmptd 5769 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  B ) `  k )  =  A )
5445, 53sylancom 649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
5524adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
56 elrege0 10963 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
5755, 56sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
5857simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
59 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
60 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
6129adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
6260, 61, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
6362ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
64 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( 1 ... n
)
6564esumcl 24380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
6659, 63, 65sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
6766, 27fmptd 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,]  +oo ) )
68 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  ->  F  Fn  NN )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
7069adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  F  Fn  NN )
71 seqfn 11290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
722, 71ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
731fneq2i 5499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN  <->  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
7472, 73mpbir 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN )
76 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
7729, 53sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
7876, 77sylancom 649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
79 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
8079, 1syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8178, 80, 35fsumser 12479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  =  (  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )
8237, 81eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )
8370, 75, 82eqfnfvd 5789 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  F  =  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) ) )
8483adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  =  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) )
8584, 4eqeltrrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  e. 
dom 
~~>  )
861, 3, 54, 58, 85isumrecl 12504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ k  e.  NN  A  e.  RR )
8757simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  A )
881, 3, 54, 58, 85, 87isumge0 12505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  NN  A )
89 elrege0 10963 . . . . . . 7  |-  ( sum_ k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( sum_ k  e.  NN  A  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  NN  A ) )
9086, 88, 89sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
91 ssid 3327 . . . . . 6  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
0 [,)  +oo )
9240, 44, 90, 91lmlimxrge0 24287 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) sum_ k  e.  NN  A  <->  F  ~~>  sum_ k  e.  NN  A ) )
9339, 92mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F
( ~~> t `  J
) sum_ k  e.  NN  A )
9427, 4syl5eqelr 2489 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~>  )
9533eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~> 
<->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  ) )
9695adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~> 
<->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  ) )
9794, 96mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  )
9855, 18, 97esumpcvgval 24421 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  =  sum_ k  e.  NN  A )
9993, 98breqtrrd 4198 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F
( ~~> t `  J
)Σ* k  e.  NN A
)
10043adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
101 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
102101nnzd 10330 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
103 uzid 10456 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ( ZZ>= `  n )
)
104 peano2uz 10486 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n )
)
105102, 103, 1043syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n ) )
106 simplll 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
107106, 24sylancom 649 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
108101, 105, 107esumpmono 24422 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) A )
10937, 32eqtr4d 2439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
110109adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
111 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  n  ->  (
1 ... l )  =  ( 1 ... n
) )
112 esumeq1 24384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... l )  =  ( 1 ... n )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
113111, 112syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  n  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
114113cbvmptv 4260 . . . . . . . . 9  |-  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
11527, 114eqtr4i 2427 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A )
116115a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  F  =  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
117 simpr3 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( -.  F  e.  dom  ~~>  /\  n  e.  NN  /\  l  =  ( n  +  1 ) ) )  ->  l  =  ( n  +  1
) )
118 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... l )  =  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )
119 esumeq1 24384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... l )  =  ( 1 ... ( n  +  1 ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
120117, 118, 1193syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( -.  F  e.  dom  ~~>  /\  n  e.  NN  /\  l  =  ( n  +  1 ) ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
1211203anassrs 1175 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  l  =  ( n  +  1 ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
122101peano2nnd 9973 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
123 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( n  + 
1 ) )  e. 
_V
124 simp-4l 743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) )  ->  ph )
125 elfznn 11036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
126125adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
127124, 126, 52syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
128127ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
129 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( 1 ... (
n  +  1 ) )
130129esumcl 24380 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... (
n  +  1 ) )  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) A  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
131123, 128, 130sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
132116, 121, 122, 131fvmptd 5769 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
133108, 110, 1323brtr4d 4202 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
134 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  -.  F  e.  dom  ~~>  )
13540, 100, 133, 134lmdvglim 24292 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
136 nfv 1626 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
137 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ k NN
138 nnex 9962 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
139138a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  NN  e.  _V )
14052adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
141 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
142 simpll 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )
143 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
~P NN
144 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
145143, 144sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  e.  ~P NN )
146145elpwid 3768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  C_  NN )
147 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  k  e.  x )
148146, 147sseldd 3309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  k  e.  NN )
149142, 148, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
150 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  x  |->  A )  =  ( k  e.  x  |->  A )
151149, 150fmptd 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
k  e.  x  |->  A ) : x --> ( 0 [,)  +oo ) )
152 esumpfinvallem 24417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  ( k  e.  x  |->  A ) : x --> ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  =  ( ( RR* ss  (
0 [,]  +oo ) ) 
gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) ) )
153141, 151, 152syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  =  ( ( RR* ss  (
0 [,]  +oo ) ) 
gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) ) )
154 inss2 3522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
Fin
155154, 141sseldi 3306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
156142, 148, 25syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  CC )
157155, 156gsumfsum 16721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  = 
sum_ k  e.  x  A )
158153, 157eqtr3d 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  =  sum_ k  e.  x  A )
159136, 137, 139, 140, 158esumval 24394 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  -> Σ* k  e.  NN A  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  ) )
160159adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  ) )
161100, 133, 134lmdvg 24291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. y  e.  RR  E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
) )
162161r19.21bi 2764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
) )
163 nnz 10259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  NN  ->  l  e.  ZZ )
164 uzid 10456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  ZZ  ->  l  e.  ( ZZ>= `  l )
)
165163, 164syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  e.  NN  ->  l  e.  ( ZZ>= `  l )
)
166 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  n  =  l )
167166fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  ( F `  n
)  =  ( F `
 l ) )
168167breq2d 4184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  ( y  <  ( F `  n )  <->  y  <  ( F `  l ) ) )
169165, 168rspcdv 3015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  e.  NN  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  l ) y  <  ( F `  n )  ->  y  <  ( F `  l
) ) )
170169reximia 2771 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
)  ->  E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l )
)
171162, 170syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l ) )
172 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
173100ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  F : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
174 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  l  e.  NN )
175173, 174ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
17615, 175sseldi 3306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  e.  RR )
177 ltle 9119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  l )  e.  RR )  -> 
( y  <  ( F `  l )  ->  y  <_  ( F `  l ) ) )
178172, 176, 177syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( y  < 
( F `  l
)  ->  y  <_  ( F `  l ) ) )
17927a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
180 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  l  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... l
) )
181 esumeq1 24384 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ... n )  =  ( 1 ... l )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )
182180, 181syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  l  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )
183182adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  n  =  l )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A )
184 esumex 24379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V
185184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V )
186179, 183, 174, 185fvmptd 5769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  = Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A )
187 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( 1 ... l )  e.  Fin )
188 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )
189 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... l )  ->  k  e.  NN )
190189adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  k  e.  NN )
191188, 190, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
192187, 191esumpfinval 24418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
193186, 192eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
194193breq2d 4184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( y  <_ 
( F `  l
)  <->  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A ) )
195178, 194sylibd 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( y  < 
( F `  l
)  ->  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
196195reximdva 2778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l )  ->  E. l  e.  NN  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
197171, 196mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
198 fzssuz 11049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... l )  C_  ( ZZ>= `  1 )
199198, 1sseqtr4i 3341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... l )  C_  NN
200 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... l )  e. 
_V
201200elpw 3765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... l )  e.  ~P NN  <->  ( 1 ... l )  C_  NN )
202199, 201mpbir 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... l )  e. 
~P NN
203 fzfi 11266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... l )  e. 
Fin
204 elin 3490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... l )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  <->  ( (
1 ... l )  e. 
~P NN  /\  (
1 ... l )  e. 
Fin ) )
205202, 203, 204mpbir2an 887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... l )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
206 sumex 12436 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A  e.  _V
207 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  =  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )
208 sumeq1 12438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 1 ... l )  ->  sum_ k  e.  x  A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
209207, 208elrnmpt1s 5077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... l
)  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) )
210205, 206, 209mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A )
211 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A
212 breq2 4176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  ( y  <_  z  <->  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A ) )
213211, 212rspce 3007 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A )  /\  y  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
214210, 213mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
215214rexlimivw 2786 . . . . . . . 8  |-  ( E. l  e.  NN  y  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
216197, 215syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
217216ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. y  e.  RR  E. z  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
218 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
219154, 218sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
220149adantllr 700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
22115, 220sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  RR )
222219, 221fsumrecl 12483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  A  e.  RR )
223222rexrd 9090 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  A  e.  RR* )
224223, 207fmptd 5852 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> 
( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
--> RR* )
225 frn 5556 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
--> RR*  ->  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  C_ 
RR* )
226 supxrunb1 10854 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  C_  RR*  ->  ( A. y  e.  RR  E. z  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z  <->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
227224, 225, 2263syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> 
( A. y  e.  RR  E. z  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z  <->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
228217, 227mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
229160, 228eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  =  +oo )
230135, 229breqtrrd 4198 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
23199, 230pm2.61dan 767 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A )
23227reseq1i 5101 . . . . . . . 8  |-  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
)
233 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  k  ->  (
l  e.  NN  <->  k  e.  NN ) )
234233anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( ph  /\  l  e.  NN )  <->  ( ph  /\  k  e.  NN ) ) )
235 sbequ12r 1941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  ( [ l  /  k ] A  =  +oo  <->  A  =  +oo ) )
236234, 235anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo ) 
<->  ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  =  +oo ) ) )
237 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  k  ->  ( ZZ>=
`  l )  =  ( ZZ>= `  k )
)
238237reseq2d 5105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  l )
)  =  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
) )
239237xpeq1d 4860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( ZZ>= `  l )  X.  {  +oo } )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) )
240238, 239eqeq12d 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l
)  X.  {  +oo } )  <->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) ) )
241236, 240imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  l )
)  =  ( (
ZZ>= `  l )  X. 
{  +oo } ) )  <-> 
( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  =  +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) ) ) )
242 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ph  /\  l  e.  NN )
243 nfs1v 2155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k [ l  /  k ] A  =  +oo
244242, 243nfan 1842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )
245 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k  n  e.  ( ZZ>= `  l )
246244, 245nfan 1842 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)
24759a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( 1 ... n )  e.  _V )
248 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
24929adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
250248, 249, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
251 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  l  e.  NN )
252 elnnuz 10478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  NN  <->  l  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
253 eluzfz 11010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( l  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  l  e.  ( 1 ... n
) )
254252, 253sylanb 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l ) )  -> 
l  e.  ( 1 ... n ) )
255251, 254sylancom 649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  l  e.  ( 1 ... n ) )
256 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )
257 sbequ12 1940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  l  ->  ( A  =  +oo  <->  [ l  /  k ] A  =  +oo ) )
258243, 257rspce 3007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  e.  ( 1 ... n )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  ->  E. k  e.  ( 1 ... n ) A  =  +oo )
259255, 256, 258syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  E. k  e.  ( 1 ... n ) A  =  +oo )
260246, 247, 250, 259esumpinfval 24416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  =  +oo )
261260ralrimiva 2749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  =  +oo )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )
262 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  =  +oo )  ->  ( ZZ>= `  l )  =  ( ZZ>= `  l
) )
263 mpteq12 4248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ZZ>= `  l )  =  ( ZZ>= `  l
)  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> 
+oo ) )
264262, 263sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> 
+oo ) )
265 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  =  +oo )  ->  l  e.  NN )
266 uznnssnn 10480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  l )  C_  NN )
267 resmpt 5150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ZZ>= `  l )  C_  NN  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
268265, 266, 2673syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  =  +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
269268adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
270 fconstmpt 4880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ZZ>= `  l )  X. 
{  +oo } )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  l )  |->  +oo )
271270a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )  ->  ( ( ZZ>= `  l )  X.  {  +oo } )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |->  +oo )
)
272264, 269, 2713eqtr4d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l )  X.  {  +oo } ) )
273261, 272mpdan 650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  =  +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l
)  X.  {  +oo } ) )
274241, 273chvarv 2063 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  =  +oo )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{  +oo } ) )
275232, 274syl5eq 2448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  =  +oo )  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) )
276275ex 424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  =  +oo  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) ) )
277276reximdva 2778 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  NN  A  =  +oo  ->  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  {  +oo } ) ) )
278277imp 419 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  ->  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  {  +oo } ) )
279 xrge0topn 24282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )
28040, 279eqtri 2424 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo )
)
281 letopon 17223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
282 iccssxr 10949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
283 resttopon 17179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) ) )
284281, 282, 283mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] 
+oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )
285280, 284eqeltri 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )
286285a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) ) )
287 0xr 9087 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
288 pnfge 10683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_  +oo )
289287, 288ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  +oo
290 ubicc2 10970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
291287, 6, 289, 290mp3an 1279 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )
292291a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
29351nnzd 10330 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
294 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  k )  =  (
ZZ>= `  k )
295294lmconst 17279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) ( ~~> t `  J )  +oo )
296286, 292, 293, 295syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{  +oo } ) ( ~~> t `  J ) 
+oo )
297 breq1 4175 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  {  +oo } )  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) ) ( ~~> t `  J )  +oo  <->  ( ( ZZ>=
`  k )  X. 
{  +oo } ) ( ~~> t `  J ) 
+oo ) )
298297biimprd 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  {  +oo } )  ->  ( (
( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) ( ~~> t `  J
)  +oo  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J )  +oo )
)
299296, 298mpan9 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) )  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J )  +oo )
300286elfvexd 5718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0 [,]  +oo )  e.  _V )
301 cnex 9027 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
302301a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  CC  e.  _V )
30367adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN
--> ( 0 [,]  +oo ) )
304 nnsscn 9961 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  C_  CC
305304a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  NN  C_  CC )
306 elpm2r 6993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 0 [,] 
+oo )  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  NN  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( ( 0 [,] 
+oo )  ^pm  CC ) )
307300, 302, 303, 305, 306syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F  e.  ( ( 0 [,] 
+oo )  ^pm  CC ) )
308286, 307, 293lmres 17318 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F ( ~~> t `  J
)  +oo  <->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J )  +oo )
)
309308biimpar 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) ) ( ~~> t `  J )  +oo )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
310299, 309syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
311310ex 424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  {  +oo } )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo ) )
312311rexlimdva 2790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{  +oo } )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
)
313312imp 419 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{  +oo } ) )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
314278, 313syldan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
315 nfv 1626 . . . . 5  |-  F/ k
ph
316 nfre1 2722 . . . . 5  |-  F/ k E. k  e.  NN  A  =  +oo
317315, 316nfan 1842 . . . 4  |-  F/ k ( ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )
318138a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  ->  NN  e.  _V )
31952adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
320 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  ->  E. k  e.  NN  A  =  +oo )
321317, 318, 319, 320esumpinfval 24416 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  -> Σ* k  e.  NN A  =  +oo )
322314, 321breqtrrd 4198 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
323 eleq1 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  NN  <->  m  e.  NN ) )
324323anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
( ph  /\  k  e.  NN )  <->  ( ph  /\  m  e.  NN ) ) )
32518eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  ( A  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
326324, 325imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  <->  ( ( ph  /\  m  e.  NN )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo )
) ) )
327326, 52chvarv 2063 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
328 eliccelico 24093 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  ( B  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  B  =  +oo ) ) )
329287, 6, 289, 328mp3an 1279 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  B  =  +oo ) )
330327, 329sylib 189 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  \/  B  =  +oo ) )
331330ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( B  e.  (
0 [,)  +oo )  \/  B  =  +oo )
)
332 r19.30 2813 . . . 4  |-  ( A. m  e.  NN  ( B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  B  =  +oo )  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  E. m  e.  NN  B  =  +oo ) )
333331, 332syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  E. m  e.  NN  B  =  +oo ) )
33418eqeq1d 2412 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  ( A  =  +oo  <->  B  =  +oo ) )
335334cbvrexv 2893 . . . 4  |-  ( E. k  e.  NN  A  =  +oo  <->  E. m  e.  NN  B  =  +oo )
336335orbi2i 506 . . 3  |-  ( ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  <->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  E. m  e.  NN  B  =  +oo ) )
337333, 336sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  E. k  e.  NN  A  =  +oo ) )
338231, 322, 337mpjaodan 762 1  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649   [wsb 1655    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^pm cpm 6978   Fincfn 7068   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    +oocpnf 9073    -oocmnf 9074   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077   NNcn 9956   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   (,)cioo 10872   [,)cico 10874   [,]cicc 10875   ...cfz 10999    seq cseq 11278    ~~> cli 12233   sum_csu 12434   ↾s cress 13425   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ordTopcordt 13676   RR* scxrs 13677    gsumg cgsu 13679  ℂfldccnfld 16658  TopOnctopon 16914   ~~> tclm 17244  Σ*cesum 24377
This theorem is referenced by:  esumcvg2  24430
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-ordt 13680  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-ps 14584  df-tsr 14585  df-mnd 14645  df-plusf 14646  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-abv 15860  df-lmod 15907  df-scaf 15908  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-lm 17247  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-tmd 18055  df-tgp 18056  df-tsms 18109  df-trg 18142  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-nm 18583  df-ngp 18584  df-nrg 18586  df-nlm 18587  df-ii 18860  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-esum 24378
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