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Theorem esumcvg 23456
Description: The sequence of partial sums of an extended sum converges to the whole sum. cf. fsumcvg2 12202. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcvg.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
esumcvg.f  |-  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
esumcvg.a  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
esumcvg.m  |-  ( k  =  m  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
esumcvg  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
Distinct variable groups:    m, n, A    k, n, B    k, m, F, n    k, J, n    ph, k, m, n
Allowed substitution hints:    A( k)    B( m)    J( m)

Proof of Theorem esumcvg
Dummy variables  l  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10265 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10055 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  1  e.  ZZ )
4 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
5 mnfxr 10458 . . . . . . . . . . 11  |-  -oo  e.  RR*
6 pnfxr 10457 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e.  RR*
7 0re 8840 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
8 mnflt 10466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  -oo  <  0
10 pnfge 10471 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  +oo  e.  RR*  ->  +oo  <_  +oo )
116, 10ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  <_  +oo
12 icossioo 23264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  0  /\  +oo 
<_  +oo ) )  -> 
( 0 [,)  +oo )  C_  (  -oo (,)  +oo ) )
135, 6, 9, 11, 12mp4an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (  -oo (,)  +oo )
14 ioomax 10726 . . . . . . . . . 10  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  RR
1513, 14sseqtri 3212 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
16 ax-resscn 8796 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
1715, 16sstri 3190 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC
18 esumcvg.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  A  =  B )
1918eleq1d 2351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  ( A  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
2019cbvralv 2766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<-> 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
21 rsp 2605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
2220, 21sylbir 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
2322adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
2423imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2517, 24sseldi 3180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
2625adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
27 esumcvg.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
28 fzfid 11037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
1 ... n )  e. 
Fin )
29 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  ( 1 ... n
) )
30 elfznn 10821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  k  e.  NN )
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
3231, 24syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
3332adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
3428, 33esumpfinval 23445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A )
3534mpteq2dva 4108 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
3627, 35syl5eq 2329 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
3717, 33sseldi 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  CC )
3828, 37fsumcl 12208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  CC )
3936, 38fvmpt2d 23227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
4039adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
411, 3, 4, 26, 40isumclim3 12224 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  ~~>  sum_ k  e.  NN  A
)
42 esumcvg.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
43 elrege0 10748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
4433, 43sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
4544simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  RR )
4628, 45fsumrecl 12209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  RR )
4744simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  0  <_  A )
4828, 45, 47fsumge0 12255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
4946, 48jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
50 elrege0 10748 . . . . . . . . . 10  |-  ( sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
5149, 50sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
5234, 51eqeltrd 2359 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5352, 27fmptd 5686 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  F : NN
--> ( 0 [,)  +oo ) )
5453adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
55 simplll 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ph )
56 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
57 eqidd 2286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  B )  =  ( m  e.  NN  |->  B ) )
58 eqcom 2287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  <->  m  =  k )
5958imbi1i 315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  =  m  ->  A  =  B )  <->  ( m  =  k  ->  A  =  B )
)
60 eqcom 2287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  B  <->  B  =  A )
6160imbi2i 303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  =  k  ->  A  =  B )  <->  ( m  =  k  ->  B  =  A )
)
6259, 61bitri 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  =  m  ->  A  =  B )  <->  ( m  =  k  ->  B  =  A )
)
6318, 62mpbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  B  =  A )
6463adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  =  k )  ->  B  =  A )
65 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
66 esumcvg.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
6757, 64, 65, 66fvmptd 5608 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  B ) `  k )  =  A )
6855, 56, 67syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
6924adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
7069, 43sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
7170simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
72 ovex 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
7372a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n )  e. 
_V )
74 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
7530adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
7674, 75, 66syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
7776ralrimiva 2628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
78 nfcv 2421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
( 1 ... n
)
7978esumcl 23415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
8073, 77, 79syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
8180, 27fmptd 5686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,]  +oo ) )
82 ffn 5391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  ->  F  Fn  NN )
8381, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
8483adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  F  Fn  NN )
85 seqfn 11060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
862, 85ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
871fneq2i 5341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN  <->  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
8886, 87mpbir 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN
8988a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN )
9074adantllr 699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
91 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  ( 1 ... n
) )
9230, 67sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
9390, 91, 92syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
94 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
9594, 1syl6eleq 2375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9693, 95, 37fsumser 12205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  =  (  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )
9739, 96eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )
9884, 89, 97eqfnfvd 5627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  F  =  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) ) )
9998adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  =  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) )
10099, 4eqeltrrd 2360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  e. 
dom 
~~>  )
1011, 3, 68, 71, 100isumrecl 12230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ k  e.  NN  A  e.  RR )
10270simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  A )
1031, 3, 68, 71, 100, 102isumge0 12231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  NN  A )
104101, 103jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  ( sum_ k  e.  NN  A  e.  RR  /\  0  <_  sum_ k  e.  NN  A
) )
105 elrege0 10748 . . . . . . 7  |-  ( sum_ k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( sum_ k  e.  NN  A  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  NN  A ) )
106104, 105sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
107 ssid 3199 . . . . . 6  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
0 [,)  +oo )
10842, 54, 106, 107lmlimxrge0 23374 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) sum_ k  e.  NN  A  <->  F  ~~>  sum_ k  e.  NN  A ) )
10941, 108mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F
( ~~> t `  J
) sum_ k  e.  NN  A )
11027, 4syl5eqelr 2370 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~>  )
11135eleq1d 2351 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~> 
<->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  ) )
112111adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~> 
<->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  ) )
113110, 112mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  )
11469, 18, 113esumpcvgval 23448 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  =  sum_ k  e.  NN  A )
115109, 114breqtrrd 4051 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F
( ~~> t `  J
)Σ* k  e.  NN A
)
11653adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
117 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
118117nnzd 10118 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
119 uzid 10244 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ( ZZ>= `  n )
)
120 peano2uz 10274 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n )
)
121118, 119, 1203syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n ) )
122 simplll 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
123 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
124122, 123, 24syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
125117, 121, 124esumpmono 23449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) A )
12639, 34eqtr4d 2320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
127126adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
128 nfcv 2421 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ nΣ* k  e.  ( 1 ... l
) A
129 nfcv 2421 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ lΣ* k  e.  ( 1 ... n
) A
130 oveq2 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  n  ->  (
1 ... l )  =  ( 1 ... n
) )
131 esumeq1 23419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... l )  =  ( 1 ... n )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
132130, 131syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  n  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
133128, 129, 132cbvmpt 4112 . . . . . . . . 9  |-  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
13427, 133eqtr4i 2308 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A )
135134a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  F  =  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
136 simpr3 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( -.  F  e.  dom  ~~>  /\  n  e.  NN  /\  l  =  ( n  +  1 ) ) )  ->  l  =  ( n  +  1
) )
137 oveq2 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... l )  =  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )
138 esumeq1 23419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... l )  =  ( 1 ... ( n  +  1 ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
139136, 137, 1383syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( -.  F  e.  dom  ~~>  /\  n  e.  NN  /\  l  =  ( n  +  1 ) ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
1401393anassrs 1173 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  l  =  ( n  +  1 ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
141117peano2nnd 9765 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
142 ovex 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... ( n  + 
1 ) )  e. 
_V
143142a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... (
n  +  1 ) )  e.  _V )
144 simp-4l 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) )  ->  ph )
145 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )
146 elfznn 10821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
147145, 146syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
148144, 147, 66syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
149148ralrimiva 2628 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
150 nfcv 2421 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( 1 ... (
n  +  1 ) )
151150esumcl 23415 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... (
n  +  1 ) )  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) A  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
152143, 149, 151syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
153135, 140, 141, 152fvmptd 5608 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
154125, 127, 1533brtr4d 4055 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
155 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  -.  F  e.  dom  ~~>  )
15642, 116, 154, 155lmdvglim 23379 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
157 nfv 1607 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
158 nfcv 2421 . . . . . . 7  |-  F/_ k NN
159 nnex 9754 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
160159a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  NN  e.  _V )
161 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ph )
162 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
163161, 162, 66syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
164 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
165 simpll 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )
166 inss1 3391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
~P NN
167164adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
168166, 167sseldi 3180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  e.  ~P NN )
169 elpwi 3635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~P NN  ->  x 
C_  NN )
170168, 169syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  C_  NN )
171 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  k  e.  x )
172170, 171sseldd 3183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  k  e.  NN )
173165, 172, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
174 eqid 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  x  |->  A )  =  ( k  e.  x  |->  A )
175173, 174fmptd 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
k  e.  x  |->  A ) : x --> ( 0 [,)  +oo ) )
176 esumpfinvallem 23444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  ( k  e.  x  |->  A ) : x --> ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  =  ( ( RR* ss  (
0 [,]  +oo ) ) 
gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) ) )
177164, 175, 176syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  =  ( ( RR* ss  (
0 [,]  +oo ) ) 
gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) ) )
178 inss2 3392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
Fin
179178, 164sseldi 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
180165, 172, 25syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  CC )
181179, 180gsumfsum 16441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  = 
sum_ k  e.  x  A )
182177, 181eqtr3d 2319 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  =  sum_ k  e.  x  A )
183157, 158, 160, 163, 182esumval 23427 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  -> Σ* k  e.  NN A  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  ) )
184183adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  ) )
185116, 154, 155lmdvg 23378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. y  e.  RR  E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
) )
186185r19.21bi 2643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
) )
187 nnz 10047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  NN  ->  l  e.  ZZ )
188 uzid 10244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  ZZ  ->  l  e.  ( ZZ>= `  l )
)
189187, 188syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  e.  NN  ->  l  e.  ( ZZ>= `  l )
)
190 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  n  =  l )
191190fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  ( F `  n
)  =  ( F `
 l ) )
192191breq2d 4037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  ( y  <  ( F `  n )  <->  y  <  ( F `  l ) ) )
193189, 192rspcdv 2889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  e.  NN  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  l ) y  <  ( F `  n )  ->  y  <  ( F `  l
) ) )
194193reximia 2650 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
)  ->  E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l )
)
195186, 194syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l ) )
196 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
197116ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  F : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
198 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  l  e.  NN )
199197, 198ffvelrnd 5668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
20015, 199sseldi 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  e.  RR )
201 ltle 8912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  l )  e.  RR )  -> 
( y  <  ( F `  l )  ->  y  <_  ( F `  l ) ) )
202196, 200, 201syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( y  < 
( F `  l
)  ->  y  <_  ( F `  l ) ) )
20327a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
204 oveq2 5868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  l  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... l
) )
205 esumeq1 23419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ... n )  =  ( 1 ... l )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )
206204, 205syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  l  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )
207206adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  n  =  l )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A )
208 esumex 23414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V
209208a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V )
210203, 207, 198, 209fvmptd 5608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  = Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A )
211 nfcv 2421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k
( 1 ... l
)
212 nfv 1607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )
213 fzfid 11037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( 1 ... l )  e.  Fin )
214 simp-4l 742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )
215 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  k  e.  ( 1 ... l
) )
216 elfznn 10821 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... l )  ->  k  e.  NN )
217215, 216syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  k  e.  NN )
218214, 217, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
219211, 212, 213, 218esumpfinvalf 23446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
220210, 219eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
221220breq2d 4037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( y  <_ 
( F `  l
)  <->  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A ) )
222202, 221sylibd 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( y  < 
( F `  l
)  ->  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
223222reximdva 2657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l )  ->  E. l  e.  NN  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
224195, 223mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
225 fzssuz 10834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... l )  C_  ( ZZ>= `  1 )
226225, 1sseqtr4i 3213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... l )  C_  NN
227 fzfi 11036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... l )  e. 
Fin
228227elexi 2799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... l )  e. 
_V
229228elpw 3633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... l )  e.  ~P NN  <->  ( 1 ... l )  C_  NN )
230226, 229mpbir 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... l )  e. 
~P NN
231 elin 3360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... l )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  <->  ( (
1 ... l )  e. 
~P NN  /\  (
1 ... l )  e. 
Fin ) )
232230, 227, 231mpbir2an 886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... l )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
233 sumex 12162 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A  e.  _V
234 eqid 2285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  =  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )
235 sumeq1 12164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 1 ... l )  ->  sum_ k  e.  x  A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
236234, 235elrnmpt1s 4929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... l
)  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) )
237232, 233, 236mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A )
238 nfv 1607 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A
239 breq2 4029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  ( y  <_  z  <->  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A ) )
240238, 239rspce 2881 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A )  /\  y  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
241237, 240mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
242241rexlimivw 2665 . . . . . . . 8  |-  ( E. l  e.  NN  y  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
243224, 242syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
244243ralrimiva 2628 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. y  e.  RR  E. z  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
245 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
246178, 245sseldi 3180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
247173adantllr 699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
24815, 247sseldi 3180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  RR )
249246, 248fsumrecl 12209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  A  e.  RR )
250249rexrd 8883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  A  e.  RR* )
251250, 234fmptd 5686 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> 
( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
--> RR* )
252 frn 5397 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
--> RR*  ->  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  C_ 
RR* )
253251, 252syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  C_  RR* )
254 supxrunb1 10640 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  C_  RR*  ->  ( A. y  e.  RR  E. z  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z  <->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
255253, 254syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> 
( A. y  e.  RR  E. z  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z  <->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
256244, 255mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
257184, 256eqtrd 2317 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  =  +oo )
258156, 257breqtrrd 4051 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
259115, 258pm2.61dan 766 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A )
26027reseq1i 4953 . . . . . . . 8  |-  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
)
261 nfv 1607 . . . . . . . . 9  |-  F/ l ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  =  +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) )
262 eleq1 2345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  k  ->  (
l  e.  NN  <->  k  e.  NN ) )
263262anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( ph  /\  l  e.  NN )  <->  ( ph  /\  k  e.  NN ) ) )
264 sbequ12r 1863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  ( [ l  /  k ] A  =  +oo  <->  A  =  +oo ) )
265263, 264anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo ) 
<->  ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  =  +oo ) ) )
266 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  k  ->  ( ZZ>=
`  l )  =  ( ZZ>= `  k )
)
267266reseq2d 4957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  l )
)  =  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
) )
268266xpeq1d 4714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( ZZ>= `  l )  X.  {  +oo } )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) )
269267, 268eqeq12d 2299 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l
)  X.  {  +oo } )  <->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) ) )
270265, 269imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  l )
)  =  ( (
ZZ>= `  l )  X. 
{  +oo } ) )  <-> 
( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  =  +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) ) ) )
271 nfv 1607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ph  /\  l  e.  NN )
272 nfs1v 2047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k [ l  /  k ] A  =  +oo
273271, 272nfan 1773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )
274 nfv 1607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k  n  e.  ( ZZ>= `  l )
275273, 274nfan 1773 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)
27672a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( 1 ... n )  e.  _V )
277 simp-4l 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
278 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  ( 1 ... n
) )
279278, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
280277, 279, 66syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
281 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  l  e.  NN )
282 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )
283 elnnuz 10266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  NN  <->  l  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
284 elfzuzb 10794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  e.  ( 1 ... n )  <->  ( l  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  l ) ) )
285284biimpri 197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( l  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  l  e.  ( 1 ... n
) )
286283, 285sylanb 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l ) )  -> 
l  e.  ( 1 ... n ) )
287281, 282, 286syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  l  e.  ( 1 ... n ) )
288 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )
289 sbequ12 1862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  l  ->  ( A  =  +oo  <->  [ l  /  k ] A  =  +oo ) )
290272, 289rspce 2881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  e.  ( 1 ... n )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  ->  E. k  e.  ( 1 ... n ) A  =  +oo )
291287, 288, 290syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  E. k  e.  ( 1 ... n ) A  =  +oo )
292275, 276, 280, 291esumpinfval 23443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  =  +oo )
293292ralrimiva 2628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  =  +oo )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )
294 eqidd 2286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  =  +oo )  ->  ( ZZ>= `  l )  =  ( ZZ>= `  l
) )
295 mpteq12 4101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ZZ>= `  l )  =  ( ZZ>= `  l
)  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> 
+oo ) )
296294, 295sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> 
+oo ) )
297 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  =  +oo )  ->  l  e.  NN )
298 uznnssnn 10268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  l )  C_  NN )
299 resmpt 5002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ZZ>= `  l )  C_  NN  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
300297, 298, 2993syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  =  +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
301300adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
302 fconstmpt 4734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ZZ>= `  l )  X. 
{  +oo } )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  l )  |->  +oo )
303302a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )  ->  ( ( ZZ>= `  l )  X.  {  +oo } )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |->  +oo )
)
304296, 301, 3033eqtr4d 2327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l )  X.  {  +oo } ) )
305293, 304mpdan 649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  =  +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l
)  X.  {  +oo } ) )
306261, 270, 305chvar 1928 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  =  +oo )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{  +oo } ) )
307260, 306syl5eq 2329 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  =  +oo )  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) )
308307ex 423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  =  +oo  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) ) )
309308reximdva 2657 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  NN  A  =  +oo  ->  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  {  +oo } ) ) )
310309imp 418 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  ->  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  {  +oo } ) )
311 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) )  ->  ( ph  /\  k  e.  NN ) )
312 xrge0topn 23327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )
31342, 312eqtri 2305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo )
)
314 letopon 16937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
315 iccssxr 10734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
316 resttopon 16894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) ) )
317314, 315, 316mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] 
+oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )
318313, 317eqeltri 2355 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )
319318a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) ) )
320 0xr 8880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
321 pnfge 10471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_  +oo )
322320, 321ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  +oo
323 ubicc2 10755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
324320, 6, 322, 323mp3an 1277 . . . . . . . . . . . 12  |-  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )
325324a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
32665nnzd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
327 eqid 2285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  k )  =  (
ZZ>= `  k )
328327lmconst 16993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) ( ~~> t `  J )  +oo )
329319, 325, 326, 328syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{  +oo } ) ( ~~> t `  J ) 
+oo )
330 breq1 4028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  {  +oo } )  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) ) ( ~~> t `  J )  +oo  <->  ( ( ZZ>=
`  k )  X. 
{  +oo } ) ( ~~> t `  J ) 
+oo ) )
331330biimprd 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  {  +oo } )  ->  ( (
( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) ( ~~> t `  J
)  +oo  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J )  +oo )
)
332329, 331mpan9 455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) )  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J )  +oo )
333319elfvexd 5558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0 [,]  +oo )  e.  _V )
334 cnex 8820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  e.  _V
335334a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  CC  e.  _V )
33681adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN
--> ( 0 [,]  +oo ) )
337 nnsscn 9753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  C_  CC
338337a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  NN  C_  CC )
339 elpm2r 6790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 0 [,] 
+oo )  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  NN  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( ( 0 [,] 
+oo )  ^pm  CC ) )
340333, 335, 336, 338, 339syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F  e.  ( ( 0 [,] 
+oo )  ^pm  CC ) )
341319, 340, 326lmres 17030 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F ( ~~> t `  J
)  +oo  <->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J )  +oo )
)
342341biimpar 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) ) ( ~~> t `  J )  +oo )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
343311, 332, 342syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
344343ex 423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  {  +oo } )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo ) )
345344ralrimiva 2628 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{  +oo } )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
)
346 r19.23v 2661 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  NN  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } )  ->  F
( ~~> t `  J
)  +oo )  <->  ( E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
)
347345, 346sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{  +oo } )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
)
348347imp 418 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{  +oo } ) )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
349310, 348syldan 456 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
350 nfv 1607 . . . . . 6  |-  F/ k
ph
351 nfre1 2601 . . . . . 6  |-  F/ k E. k  e.  NN  A  =  +oo
352350, 351nfan 1773 . . . . 5  |-  F/ k ( ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )
353159a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  ->  NN  e.  _V )
35466adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
355 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  ->  E. k  e.  NN  A  =  +oo )
356352, 353, 354, 355esumpinfval 23443 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  -> Σ* k  e.  NN A  =  +oo )
357356breq2d 4037 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  ->  ( F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A  <->  F ( ~~> t `  J )  +oo ) )
358349, 357mpbird 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
359 eleq1 2345 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  NN  <->  m  e.  NN ) )
360359anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
( ph  /\  k  e.  NN )  <->  ( ph  /\  m  e.  NN ) ) )
36118eleq1d 2351 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  ( A  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
362360, 361imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  <->  ( ( ph  /\  m  e.  NN )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo )
) ) )
363362, 66chvarv 1955 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
364 eliccelico 23272 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  ( B  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  B  =  +oo ) ) )
365320, 6, 322, 364mp3an 1277 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  B  =  +oo ) )
366363, 365sylib 188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  \/  B  =  +oo ) )
367366ralrimiva 2628 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( B  e.  (
0 [,)  +oo )  \/  B  =  +oo )
)
368 r19.30 2687 . . . 4  |-  ( A. m  e.  NN  ( B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  B  =  +oo )  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  E. m  e.  NN  B  =  +oo ) )
369367, 368syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  E. m  e.  NN  B  =  +oo ) )
37018eqeq1d 2293 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  ( A  =  +oo  <->  B  =  +oo ) )
371370cbvrexv 2767 . . . 4  |-  ( E. k  e.  NN  A  =  +oo  <->  E. m  e.  NN  B  =  +oo )
372371orbi2i 505 . . 3  |-  ( ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  <->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  E. m  e.  NN  B  =  +oo ) )
373369, 372sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  E. k  e.  NN  A  =  +oo ) )
374259, 358, 373mpjaodan 761 1  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625   [wsb 1631    e. wcel 1686   A.wral 2545   E.wrex 2546   _Vcvv 2790    i^i cin 3153    C_ wss 3154   ~Pcpw 3627   {csn 3642   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079    X. cxp 4689   dom cdm 4691   ran crn 4692    |` cres 4693    Fn wfn 5252   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860    ^pm cpm 6775   Fincfn 6865   supcsup 7195   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    + caddc 8742    +oocpnf 8866    -oocmnf 8867   RR*cxr 8868    < clt 8869    <_ cle 8870   NNcn 9748   ZZcz 10026   ZZ>=cuz 10232   (,)cioo 10658   [,)cico 10660   [,]cicc 10661   ...cfz 10784    seq cseq 11048    ~~> cli 11960   sum_csu 12160   ↾s cress 13151   ↾t crest 13327   TopOpenctopn 13328  ordTopcordt 13400   RR* scxrs 13401    gsumg cgsu 13403  ℂfldccnfld 16379  TopOnctopon 16634   ~~> tclm 16958  Σ*cesum 23412
This theorem is referenced by:  esumcvg2  23457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-ef 12351  df-sin 12353  df-cos 12354  df-pi 12356  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-ordt 13404  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-ps 14308  df-tsr 14309  df-mnd 14369  df-plusf 14370  df-mhm 14417  df-submnd 14418  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-sbg 14493  df-mulg 14494  df-subg 14620  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-abl 15094  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-cring 15343  df-ur 15344  df-subrg 15545  df-abv 15584  df-lmod 15631  df-scaf 15632  df-sra 15927  df-rgmod 15928  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-lp 16870  df-perf 16871  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-lm 16961  df-haus 17045  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-tmd 17757  df-tgp 17758  df-tsms 17811  df-trg 17844  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-nm 18107  df-ngp 18108  df-nrg 18110  df-nlm 18111  df-ii 18383  df-cncf 18384  df-limc 19218  df-dv 19219  df-log 19916  df-esum 23413
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