Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcvg Structured version   Unicode version

Theorem esumcvg 24476
Description: The sequence of partial sums of an extended sum converges to the whole sum. cf. fsumcvg2 12521. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcvg.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
esumcvg.f  |-  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
esumcvg.a  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
esumcvg.m  |-  ( k  =  m  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
esumcvg  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
Distinct variable groups:    m, n, A    k, n, B    k, m, F, n    k, J, n    ph, k, m, n
Allowed substitution hints:    A( k)    B( m)    J( m)

Proof of Theorem esumcvg
Dummy variables  l  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10521 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10311 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  1  e.  ZZ )
4 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
5 mnfxr 10714 . . . . . . . . . . 11  |-  -oo  e.  RR*
6 pnfxr 10713 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e.  RR*
7 0re 9091 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
8 mnflt 10722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  -oo  <  0
10 pnfge 10727 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  +oo  e.  RR*  ->  +oo  <_  +oo )
116, 10ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  <_  +oo
12 icossioo 24133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  0  /\  +oo 
<_  +oo ) )  -> 
( 0 [,)  +oo )  C_  (  -oo (,)  +oo ) )
135, 6, 9, 11, 12mp4an 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (  -oo (,)  +oo )
14 ioomax 10985 . . . . . . . . . 10  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  RR
1513, 14sseqtri 3380 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
16 ax-resscn 9047 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
1715, 16sstri 3357 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC
18 esumcvg.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  A  =  B )
1918eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  ( A  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
2019cbvralv 2932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<-> 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
21 rsp 2766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
2220, 21sylbir 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
2322adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
2423imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2517, 24sseldi 3346 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
2625adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
27 esumcvg.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
28 fzfid 11312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
1 ... n )  e. 
Fin )
29 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  k  e.  NN )
3029, 24sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
3130adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
3228, 31esumpfinval 24465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A )
3332mpteq2dva 4295 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
3427, 33syl5eq 2480 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
3517, 31sseldi 3346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  CC )
3628, 35fsumcl 12527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  CC )
3734, 36fvmpt2d 5814 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
3837adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
391, 3, 4, 26, 38isumclim3 12543 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  ~~>  sum_ k  e.  NN  A
)
40 esumcvg.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
4128, 31fsumrp0cl 24217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
4232, 41eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
4342, 27fmptd 5893 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  F : NN
--> ( 0 [,)  +oo ) )
4443adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
45 simplll 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ph )
46 eqidd 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  B )  =  ( m  e.  NN  |->  B ) )
47 eqcom 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  <->  m  =  k )
48 eqcom 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  B  <->  B  =  A )
4918, 47, 483imtr3i 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  B  =  A )
5049adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  =  k )  ->  B  =  A )
51 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
52 esumcvg.a . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
5346, 50, 51, 52fvmptd 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  B ) `  k )  =  A )
5445, 53sylancom 649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
5524adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
56 elrege0 11007 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
5755, 56sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
5857simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
59 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
60 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
6129adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
6260, 61, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
6362ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
64 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( 1 ... n
)
6564esumcl 24427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
6659, 63, 65sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
6766, 27fmptd 5893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,]  +oo ) )
68 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  ->  F  Fn  NN )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
7069adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  F  Fn  NN )
71 seqfn 11335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
722, 71ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
731fneq2i 5540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN  <->  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
7472, 73mpbir 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN )
76 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
7729, 53sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
7876, 77sylancom 649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
79 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
8079, 1syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8178, 80, 35fsumser 12524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  =  (  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )
8237, 81eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )
8370, 75, 82eqfnfvd 5830 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  F  =  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) ) )
8483adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  =  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) )
8584, 4eqeltrrd 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  e. 
dom 
~~>  )
861, 3, 54, 58, 85isumrecl 12549 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ k  e.  NN  A  e.  RR )
8757simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  A )
881, 3, 54, 58, 85, 87isumge0 12550 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  NN  A )
89 elrege0 11007 . . . . . . 7  |-  ( sum_ k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( sum_ k  e.  NN  A  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  NN  A ) )
9086, 88, 89sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
91 ssid 3367 . . . . . 6  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
0 [,)  +oo )
9240, 44, 90, 91lmlimxrge0 24334 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) sum_ k  e.  NN  A  <->  F  ~~>  sum_ k  e.  NN  A ) )
9339, 92mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F
( ~~> t `  J
) sum_ k  e.  NN  A )
9427, 4syl5eqelr 2521 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~>  )
9533eleq1d 2502 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~> 
<->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  ) )
9695adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~> 
<->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  ) )
9794, 96mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  )
9855, 18, 97esumpcvgval 24468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  =  sum_ k  e.  NN  A )
9993, 98breqtrrd 4238 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F
( ~~> t `  J
)Σ* k  e.  NN A
)
10043adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
101 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
102101nnzd 10374 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
103 uzid 10500 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ( ZZ>= `  n )
)
104 peano2uz 10530 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n )
)
105102, 103, 1043syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n ) )
106 simplll 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
107106, 24sylancom 649 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
108101, 105, 107esumpmono 24469 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) A )
10937, 32eqtr4d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
110109adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
111 oveq2 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  n  ->  (
1 ... l )  =  ( 1 ... n
) )
112 esumeq1 24431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... l )  =  ( 1 ... n )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
113111, 112syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  n  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
114113cbvmptv 4300 . . . . . . . . 9  |-  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
11527, 114eqtr4i 2459 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A )
116115a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  F  =  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
117 simpr3 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( -.  F  e.  dom  ~~>  /\  n  e.  NN  /\  l  =  ( n  +  1 ) ) )  ->  l  =  ( n  +  1
) )
118 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... l )  =  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )
119 esumeq1 24431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... l )  =  ( 1 ... ( n  +  1 ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
120117, 118, 1193syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( -.  F  e.  dom  ~~>  /\  n  e.  NN  /\  l  =  ( n  +  1 ) ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
1211203anassrs 1175 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  l  =  ( n  +  1 ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
122101peano2nnd 10017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
123 ovex 6106 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( n  + 
1 ) )  e. 
_V
124 simp-4l 743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) )  ->  ph )
125 elfznn 11080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
126125adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
127124, 126, 52syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
128127ralrimiva 2789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
129 nfcv 2572 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( 1 ... (
n  +  1 ) )
130129esumcl 24427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... (
n  +  1 ) )  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) A  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
131123, 128, 130sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
132116, 121, 122, 131fvmptd 5810 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
133108, 110, 1323brtr4d 4242 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
134 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  -.  F  e.  dom  ~~>  )
13540, 100, 133, 134lmdvglim 24339 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
136 nfv 1629 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
137 nfcv 2572 . . . . . . 7  |-  F/_ k NN
138 nnex 10006 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
139138a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  NN  e.  _V )
14052adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
141 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
142 simpll 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )
143 inss1 3561 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
~P NN
144 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
145143, 144sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  e.  ~P NN )
146145elpwid 3808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  C_  NN )
147 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  k  e.  x )
148146, 147sseldd 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  k  e.  NN )
149142, 148, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
150 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  x  |->  A )  =  ( k  e.  x  |->  A )
151149, 150fmptd 5893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
k  e.  x  |->  A ) : x --> ( 0 [,)  +oo ) )
152 esumpfinvallem 24464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  ( k  e.  x  |->  A ) : x --> ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  =  ( ( RR* ss  (
0 [,]  +oo ) ) 
gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) ) )
153141, 151, 152syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  =  ( ( RR* ss  (
0 [,]  +oo ) ) 
gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) ) )
154 inss2 3562 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
Fin
155154, 141sseldi 3346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
156142, 148, 25syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  CC )
157155, 156gsumfsum 16766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  = 
sum_ k  e.  x  A )
158153, 157eqtr3d 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  =  sum_ k  e.  x  A )
159136, 137, 139, 140, 158esumval 24441 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  -> Σ* k  e.  NN A  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  ) )
160159adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  ) )
161100, 133, 134lmdvg 24338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. y  e.  RR  E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
) )
162161r19.21bi 2804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
) )
163 nnz 10303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  NN  ->  l  e.  ZZ )
164 uzid 10500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  ZZ  ->  l  e.  ( ZZ>= `  l )
)
165163, 164syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  e.  NN  ->  l  e.  ( ZZ>= `  l )
)
166 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  n  =  l )
167166fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  ( F `  n
)  =  ( F `
 l ) )
168167breq2d 4224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  ( y  <  ( F `  n )  <->  y  <  ( F `  l ) ) )
169165, 168rspcdv 3055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  e.  NN  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  l ) y  <  ( F `  n )  ->  y  <  ( F `  l
) ) )
170169reximia 2811 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
)  ->  E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l )
)
171162, 170syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l ) )
172 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
173100ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  F : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
174 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  l  e.  NN )
175173, 174ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
17615, 175sseldi 3346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  e.  RR )
177 ltle 9163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  l )  e.  RR )  -> 
( y  <  ( F `  l )  ->  y  <_  ( F `  l ) ) )
178172, 176, 177syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( y  < 
( F `  l
)  ->  y  <_  ( F `  l ) ) )
17927a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
180 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  l  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... l
) )
181 esumeq1 24431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ... n )  =  ( 1 ... l )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )
182180, 181syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  l  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )
183182adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  n  =  l )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A )
184 esumex 24426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V
185184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V )
186179, 183, 174, 185fvmptd 5810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  = Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A )
187 fzfid 11312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( 1 ... l )  e.  Fin )
188 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )
189 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... l )  ->  k  e.  NN )
190189adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  k  e.  NN )
191188, 190, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
192187, 191esumpfinval 24465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
193186, 192eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
194193breq2d 4224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( y  <_ 
( F `  l
)  <->  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A ) )
195178, 194sylibd 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( y  < 
( F `  l
)  ->  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
196195reximdva 2818 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l )  ->  E. l  e.  NN  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
197171, 196mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
198 fzssuz 11093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... l )  C_  ( ZZ>= `  1 )
199198, 1sseqtr4i 3381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... l )  C_  NN
200 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... l )  e. 
_V
201200elpw 3805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... l )  e.  ~P NN  <->  ( 1 ... l )  C_  NN )
202199, 201mpbir 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... l )  e. 
~P NN
203 fzfi 11311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... l )  e. 
Fin
204 elin 3530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... l )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  <->  ( (
1 ... l )  e. 
~P NN  /\  (
1 ... l )  e. 
Fin ) )
205202, 203, 204mpbir2an 887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... l )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
206 sumex 12481 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A  e.  _V
207 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  =  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )
208 sumeq1 12483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 1 ... l )  ->  sum_ k  e.  x  A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
209207, 208elrnmpt1s 5118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... l
)  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) )
210205, 206, 209mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A )
211 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A
212 breq2 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  ( y  <_  z  <->  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A ) )
213211, 212rspce 3047 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A )  /\  y  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
214210, 213mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
215214rexlimivw 2826 . . . . . . . 8  |-  ( E. l  e.  NN  y  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
216197, 215syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
217216ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. y  e.  RR  E. z  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
218 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
219154, 218sseldi 3346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
220149adantllr 700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
22115, 220sseldi 3346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  RR )
222219, 221fsumrecl 12528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  A  e.  RR )
223222rexrd 9134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  A  e.  RR* )
224223, 207fmptd 5893 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> 
( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
--> RR* )
225 frn 5597 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
--> RR*  ->  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  C_ 
RR* )
226 supxrunb1 10898 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  C_  RR*  ->  ( A. y  e.  RR  E. z  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z  <->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
227224, 225, 2263syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> 
( A. y  e.  RR  E. z  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z  <->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
228217, 227mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
229160, 228eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  =  +oo )
230135, 229breqtrrd 4238 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
23199, 230pm2.61dan 767 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A )
23227reseq1i 5142 . . . . . . . 8  |-  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
)
233 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  k  ->  (
l  e.  NN  <->  k  e.  NN ) )
234233anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( ph  /\  l  e.  NN )  <->  ( ph  /\  k  e.  NN ) ) )
235 sbequ12r 1945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  ( [ l  /  k ] A  =  +oo  <->  A  =  +oo ) )
236234, 235anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo ) 
<->  ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  =  +oo ) ) )
237 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  k  ->  ( ZZ>=
`  l )  =  ( ZZ>= `  k )
)
238237reseq2d 5146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  l )
)  =  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
) )
239237xpeq1d 4901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( ZZ>= `  l )  X.  {  +oo } )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) )
240238, 239eqeq12d 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l
)  X.  {  +oo } )  <->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) ) )
241236, 240imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  l )
)  =  ( (
ZZ>= `  l )  X. 
{  +oo } ) )  <-> 
( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  =  +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) ) ) )
242 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ph  /\  l  e.  NN )
243 nfs1v 2182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k [ l  /  k ] A  =  +oo
244242, 243nfan 1846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )
245 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k  n  e.  ( ZZ>= `  l )
246244, 245nfan 1846 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)
24759a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( 1 ... n )  e.  _V )
248 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
24929adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
250248, 249, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
251 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  l  e.  NN )
252 elnnuz 10522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  NN  <->  l  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
253 eluzfz 11054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( l  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  l  e.  ( 1 ... n
) )
254252, 253sylanb 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l ) )  -> 
l  e.  ( 1 ... n ) )
255251, 254sylancom 649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  l  e.  ( 1 ... n ) )
256 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )
257 sbequ12 1944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  l  ->  ( A  =  +oo  <->  [ l  /  k ] A  =  +oo ) )
258243, 257rspce 3047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  e.  ( 1 ... n )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  ->  E. k  e.  ( 1 ... n ) A  =  +oo )
259255, 256, 258syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  E. k  e.  ( 1 ... n ) A  =  +oo )
260246, 247, 250, 259esumpinfval 24463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  =  +oo )
261260ralrimiva 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  =  +oo )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )
262 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  =  +oo )  ->  ( ZZ>= `  l )  =  ( ZZ>= `  l
) )
263 mpteq12 4288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ZZ>= `  l )  =  ( ZZ>= `  l
)  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> 
+oo ) )
264262, 263sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> 
+oo ) )
265 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  =  +oo )  ->  l  e.  NN )
266 uznnssnn 10524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  l )  C_  NN )
267 resmpt 5191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ZZ>= `  l )  C_  NN  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
268265, 266, 2673syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  =  +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
269268adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
270 fconstmpt 4921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ZZ>= `  l )  X. 
{  +oo } )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  l )  |->  +oo )
271270a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )  ->  ( ( ZZ>= `  l )  X.  {  +oo } )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |->  +oo )
)
272264, 269, 2713eqtr4d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l )  X.  {  +oo } ) )
273261, 272mpdan 650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  =  +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l
)  X.  {  +oo } ) )
274241, 273chvarv 1969 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  =  +oo )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{  +oo } ) )
275232, 274syl5eq 2480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  =  +oo )  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) )
276275ex 424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  =  +oo  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) ) )
277276reximdva 2818 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  NN  A  =  +oo  ->  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  {  +oo } ) ) )
278277imp 419 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  ->  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  {  +oo } ) )
279 xrge0topn 24329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )
28040, 279eqtri 2456 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo )
)
281 letopon 17269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
282 iccssxr 10993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
283 resttopon 17225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) ) )
284281, 282, 283mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] 
+oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )
285280, 284eqeltri 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )
286285a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) ) )
287 0xr 9131 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
288 pnfge 10727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_  +oo )
289287, 288ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  +oo
290 ubicc2 11014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
291287, 6, 289, 290mp3an 1279 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )
292291a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
29351nnzd 10374 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
294 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  k )  =  (
ZZ>= `  k )
295294lmconst 17325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) ( ~~> t `  J )  +oo )
296286, 292, 293, 295syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{  +oo } ) ( ~~> t `  J ) 
+oo )
297 breq1 4215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  {  +oo } )  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) ) ( ~~> t `  J )  +oo  <->  ( ( ZZ>=
`  k )  X. 
{  +oo } ) ( ~~> t `  J ) 
+oo ) )
298297biimprd 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  {  +oo } )  ->  ( (
( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) ( ~~> t `  J
)  +oo  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J )  +oo )
)
299296, 298mpan9 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) )  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J )  +oo )
300286elfvexd 5759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0 [,]  +oo )  e.  _V )
301 cnex 9071 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
302301a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  CC  e.  _V )
30367adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN
--> ( 0 [,]  +oo ) )
304 nnsscn 10005 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  C_  CC
305304a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  NN  C_  CC )
306 elpm2r 7034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 0 [,] 
+oo )  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  NN  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( ( 0 [,] 
+oo )  ^pm  CC ) )
307300, 302, 303, 305, 306syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F  e.  ( ( 0 [,] 
+oo )  ^pm  CC ) )
308286, 307, 293lmres 17364 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F ( ~~> t `  J
)  +oo  <->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J )  +oo )
)
309308biimpar 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) ) ( ~~> t `  J )  +oo )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
310299, 309syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
311310ex 424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  {  +oo } )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo ) )
312311rexlimdva 2830 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{  +oo } )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
)
313312imp 419 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{  +oo } ) )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
314278, 313syldan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
315 nfv 1629 . . . . 5  |-  F/ k
ph
316 nfre1 2762 . . . . 5  |-  F/ k E. k  e.  NN  A  =  +oo
317315, 316nfan 1846 . . . 4  |-  F/ k ( ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )
318138a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  ->  NN  e.  _V )
31952adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
320 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  ->  E. k  e.  NN  A  =  +oo )
321317, 318, 319, 320esumpinfval 24463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  -> Σ* k  e.  NN A  =  +oo )
322314, 321breqtrrd 4238 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
323 eleq1 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  NN  <->  m  e.  NN ) )
324323anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
( ph  /\  k  e.  NN )  <->  ( ph  /\  m  e.  NN ) ) )
32518eleq1d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  ( A  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
326324, 325imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  <->  ( ( ph  /\  m  e.  NN )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo )
) ) )
327326, 52chvarv 1969 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
328 eliccelico 24140 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  ( B  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  B  =  +oo ) ) )
329287, 6, 289, 328mp3an 1279 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  B  =  +oo ) )
330327, 329sylib 189 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  \/  B  =  +oo ) )
331330ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( B  e.  (
0 [,)  +oo )  \/  B  =  +oo )
)
332 r19.30 2853 . . . 4  |-  ( A. m  e.  NN  ( B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  B  =  +oo )  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  E. m  e.  NN  B  =  +oo ) )
333331, 332syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  E. m  e.  NN  B  =  +oo ) )
33418eqeq1d 2444 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  ( A  =  +oo  <->  B  =  +oo ) )
335334cbvrexv 2933 . . . 4  |-  ( E. k  e.  NN  A  =  +oo  <->  E. m  e.  NN  B  =  +oo )
336335orbi2i 506 . . 3  |-  ( ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  <->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  E. m  e.  NN  B  =  +oo ) )
337333, 336sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  E. k  e.  NN  A  =  +oo ) )
338231, 322, 337mpjaodan 762 1  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652   [wsb 1658    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    X. cxp 4876   dom cdm 4878   ran crn 4879    |` cres 4880    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ^pm cpm 7019   Fincfn 7109   supcsup 7445   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    +oocpnf 9117    -oocmnf 9118   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121   NNcn 10000   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   (,)cioo 10916   [,)cico 10918   [,]cicc 10919   ...cfz 11043    seq cseq 11323    ~~> cli 12278   sum_csu 12479   ↾s cress 13470   ↾t crest 13648   TopOpenctopn 13649  ordTopcordt 13721   RR* scxrs 13722    gsumg cgsu 13724  ℂfldccnfld 16703  TopOnctopon 16959   ~~> tclm 17290  Σ*cesum 24424
This theorem is referenced by:  esumcvg2  24477
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-ordt 13725  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-ps 14629  df-tsr 14630  df-mnd 14690  df-plusf 14691  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-subrg 15866  df-abv 15905  df-lmod 15952  df-scaf 15953  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-lm 17293  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-tmd 18102  df-tgp 18103  df-tsms 18156  df-trg 18189  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-nm 18630  df-ngp 18631  df-nrg 18633  df-nlm 18634  df-ii 18907  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-esum 24425
  Copyright terms: Public domain W3C validator