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Theorem esumcvg 24273
Description: The sequence of partial sums of an extended sum converges to the whole sum. cf. fsumcvg2 12449. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcvg.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
esumcvg.f  |-  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
esumcvg.a  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
esumcvg.m  |-  ( k  =  m  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
esumcvg  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
Distinct variable groups:    m, n, A    k, n, B    k, m, F, n    k, J, n    ph, k, m, n
Allowed substitution hints:    A( k)    B( m)    J( m)

Proof of Theorem esumcvg
Dummy variables  l  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10454 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10244 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  1  e.  ZZ )
4 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
5 mnfxr 10647 . . . . . . . . . . 11  |-  -oo  e.  RR*
6 pnfxr 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e.  RR*
7 0re 9025 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
8 mnflt 10655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  -oo  <  0
10 pnfge 10660 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  +oo  e.  RR*  ->  +oo  <_  +oo )
116, 10ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  <_  +oo
12 icossioo 23970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  0  /\  +oo 
<_  +oo ) )  -> 
( 0 [,)  +oo )  C_  (  -oo (,)  +oo ) )
135, 6, 9, 11, 12mp4an 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (  -oo (,)  +oo )
14 ioomax 10918 . . . . . . . . . 10  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  RR
1513, 14sseqtri 3324 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
16 ax-resscn 8981 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
1715, 16sstri 3301 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC
18 esumcvg.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  A  =  B )
1918eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  ( A  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
2019cbvralv 2876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<-> 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
21 rsp 2710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
2220, 21sylbir 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
2322adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
2423imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2517, 24sseldi 3290 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
2625adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
27 esumcvg.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
28 fzfid 11240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
1 ... n )  e. 
Fin )
29 elfznn 11013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  k  e.  NN )
3029, 24sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
3130adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
3228, 31esumpfinval 24262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A )
3332mpteq2dva 4237 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
3427, 33syl5eq 2432 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
3517, 31sseldi 3290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  CC )
3628, 35fsumcl 12455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  CC )
3734, 36fvmpt2d 5754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
3837adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
391, 3, 4, 26, 38isumclim3 12471 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  ~~>  sum_ k  e.  NN  A
)
40 esumcvg.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
4128, 31fsumrp0cl 24047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
4232, 41eqeltrd 2462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
4342, 27fmptd 5833 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  F : NN
--> ( 0 [,)  +oo ) )
4443adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
45 simplll 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ph )
46 eqidd 2389 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  B )  =  ( m  e.  NN  |->  B ) )
47 eqcom 2390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  <->  m  =  k )
48 eqcom 2390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  B  <->  B  =  A )
4918, 47, 483imtr3i 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  B  =  A )
5049adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  =  k )  ->  B  =  A )
51 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
52 esumcvg.a . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
5346, 50, 51, 52fvmptd 5750 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  B ) `  k )  =  A )
5445, 53sylancom 649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
5524adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
56 elrege0 10940 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
5755, 56sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
5857simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
59 ovex 6046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
60 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
6129adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
6260, 61, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
6362ralrimiva 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
64 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( 1 ... n
)
6564esumcl 24224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
6659, 63, 65sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
6766, 27fmptd 5833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,]  +oo ) )
68 ffn 5532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  ->  F  Fn  NN )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
7069adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  F  Fn  NN )
71 seqfn 11263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
722, 71ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
731fneq2i 5481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN  <->  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
7472, 73mpbir 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN )
76 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
7729, 53sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
7876, 77sylancom 649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
79 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
8079, 1syl6eleq 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8178, 80, 35fsumser 12452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  =  (  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )
8237, 81eqtrd 2420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )
8370, 75, 82eqfnfvd 5770 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  F  =  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) ) )
8483adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  =  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) )
8584, 4eqeltrrd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  e. 
dom 
~~>  )
861, 3, 54, 58, 85isumrecl 12477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ k  e.  NN  A  e.  RR )
8757simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  A )
881, 3, 54, 58, 85, 87isumge0 12478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  NN  A )
89 elrege0 10940 . . . . . . 7  |-  ( sum_ k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( sum_ k  e.  NN  A  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  NN  A ) )
9086, 88, 89sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
91 ssid 3311 . . . . . 6  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
0 [,)  +oo )
9240, 44, 90, 91lmlimxrge0 24139 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) sum_ k  e.  NN  A  <->  F  ~~>  sum_ k  e.  NN  A ) )
9339, 92mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F
( ~~> t `  J
) sum_ k  e.  NN  A )
9427, 4syl5eqelr 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~>  )
9533eleq1d 2454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~> 
<->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  ) )
9695adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~> 
<->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  ) )
9794, 96mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  )
9855, 18, 97esumpcvgval 24265 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  =  sum_ k  e.  NN  A )
9993, 98breqtrrd 4180 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F
( ~~> t `  J
)Σ* k  e.  NN A
)
10043adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
101 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
102101nnzd 10307 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
103 uzid 10433 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ( ZZ>= `  n )
)
104 peano2uz 10463 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n )
)
105102, 103, 1043syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n ) )
106 simplll 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
107106, 24sylancom 649 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
108101, 105, 107esumpmono 24266 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) A )
10937, 32eqtr4d 2423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
110109adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
111 oveq2 6029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  n  ->  (
1 ... l )  =  ( 1 ... n
) )
112 esumeq1 24228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... l )  =  ( 1 ... n )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
113111, 112syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  n  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
114113cbvmptv 4242 . . . . . . . . 9  |-  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
11527, 114eqtr4i 2411 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A )
116115a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  F  =  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
117 simpr3 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( -.  F  e.  dom  ~~>  /\  n  e.  NN  /\  l  =  ( n  +  1 ) ) )  ->  l  =  ( n  +  1
) )
118 oveq2 6029 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... l )  =  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )
119 esumeq1 24228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... l )  =  ( 1 ... ( n  +  1 ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
120117, 118, 1193syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( -.  F  e.  dom  ~~>  /\  n  e.  NN  /\  l  =  ( n  +  1 ) ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
1211203anassrs 1175 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  l  =  ( n  +  1 ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
122101peano2nnd 9950 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
123 ovex 6046 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( n  + 
1 ) )  e. 
_V
124 simp-4l 743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) )  ->  ph )
125 elfznn 11013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
126125adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
127124, 126, 52syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
128127ralrimiva 2733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
129 nfcv 2524 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( 1 ... (
n  +  1 ) )
130129esumcl 24224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... (
n  +  1 ) )  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) A  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
131123, 128, 130sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
132116, 121, 122, 131fvmptd 5750 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
133108, 110, 1323brtr4d 4184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
134 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  -.  F  e.  dom  ~~>  )
13540, 100, 133, 134lmdvglim 24144 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
136 nfv 1626 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
137 nfcv 2524 . . . . . . 7  |-  F/_ k NN
138 nnex 9939 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
139138a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  NN  e.  _V )
14052adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
141 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
142 simpll 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )
143 inss1 3505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
~P NN
144 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
145143, 144sseldi 3290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  e.  ~P NN )
146145elpwid 3752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  C_  NN )
147 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  k  e.  x )
148146, 147sseldd 3293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  k  e.  NN )
149142, 148, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
150 eqid 2388 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  x  |->  A )  =  ( k  e.  x  |->  A )
151149, 150fmptd 5833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
k  e.  x  |->  A ) : x --> ( 0 [,)  +oo ) )
152 esumpfinvallem 24261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  ( k  e.  x  |->  A ) : x --> ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  =  ( ( RR* ss  (
0 [,]  +oo ) ) 
gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) ) )
153141, 151, 152syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  =  ( ( RR* ss  (
0 [,]  +oo ) ) 
gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) ) )
154 inss2 3506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
Fin
155154, 141sseldi 3290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
156142, 148, 25syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  CC )
157155, 156gsumfsum 16690 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  = 
sum_ k  e.  x  A )
158153, 157eqtr3d 2422 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  =  sum_ k  e.  x  A )
159136, 137, 139, 140, 158esumval 24238 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  -> Σ* k  e.  NN A  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  ) )
160159adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  ) )
161100, 133, 134lmdvg 24143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. y  e.  RR  E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
) )
162161r19.21bi 2748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
) )
163 nnz 10236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  NN  ->  l  e.  ZZ )
164 uzid 10433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  ZZ  ->  l  e.  ( ZZ>= `  l )
)
165163, 164syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  e.  NN  ->  l  e.  ( ZZ>= `  l )
)
166 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  n  =  l )
167166fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  ( F `  n
)  =  ( F `
 l ) )
168167breq2d 4166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  ( y  <  ( F `  n )  <->  y  <  ( F `  l ) ) )
169165, 168rspcdv 2999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  e.  NN  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  l ) y  <  ( F `  n )  ->  y  <  ( F `  l
) ) )
170169reximia 2755 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
)  ->  E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l )
)
171162, 170syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l ) )
172 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
173100ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  F : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
174 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  l  e.  NN )
175173, 174ffvelrnd 5811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
17615, 175sseldi 3290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  e.  RR )
177 ltle 9097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  l )  e.  RR )  -> 
( y  <  ( F `  l )  ->  y  <_  ( F `  l ) ) )
178172, 176, 177syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( y  < 
( F `  l
)  ->  y  <_  ( F `  l ) ) )
17927a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
180 oveq2 6029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  l  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... l
) )
181 esumeq1 24228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ... n )  =  ( 1 ... l )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )
182180, 181syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  l  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )
183182adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  n  =  l )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A )
184 esumex 24223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V
185184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V )
186179, 183, 174, 185fvmptd 5750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  = Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A )
187 fzfid 11240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( 1 ... l )  e.  Fin )
188 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )
189 elfznn 11013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... l )  ->  k  e.  NN )
190189adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  k  e.  NN )
191188, 190, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
192187, 191esumpfinval 24262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
193186, 192eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
194193breq2d 4166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( y  <_ 
( F `  l
)  <->  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A ) )
195178, 194sylibd 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( y  < 
( F `  l
)  ->  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
196195reximdva 2762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l )  ->  E. l  e.  NN  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
197171, 196mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
198 fzssuz 11026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... l )  C_  ( ZZ>= `  1 )
199198, 1sseqtr4i 3325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... l )  C_  NN
200 ovex 6046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... l )  e. 
_V
201200elpw 3749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... l )  e.  ~P NN  <->  ( 1 ... l )  C_  NN )
202199, 201mpbir 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... l )  e. 
~P NN
203 fzfi 11239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... l )  e. 
Fin
204 elin 3474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... l )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  <->  ( (
1 ... l )  e. 
~P NN  /\  (
1 ... l )  e. 
Fin ) )
205202, 203, 204mpbir2an 887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... l )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
206 sumex 12409 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A  e.  _V
207 eqid 2388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  =  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )
208 sumeq1 12411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 1 ... l )  ->  sum_ k  e.  x  A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
209207, 208elrnmpt1s 5059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... l
)  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) )
210205, 206, 209mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A )
211 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A
212 breq2 4158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  ( y  <_  z  <->  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A ) )
213211, 212rspce 2991 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A )  /\  y  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
214210, 213mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
215214rexlimivw 2770 . . . . . . . 8  |-  ( E. l  e.  NN  y  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
216197, 215syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
217216ralrimiva 2733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. y  e.  RR  E. z  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
218 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
219154, 218sseldi 3290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
220149adantllr 700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
22115, 220sseldi 3290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  RR )
222219, 221fsumrecl 12456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  A  e.  RR )
223222rexrd 9068 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  A  e.  RR* )
224223, 207fmptd 5833 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> 
( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
--> RR* )
225 frn 5538 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
--> RR*  ->  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  C_ 
RR* )
226 supxrunb1 10831 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  C_  RR*  ->  ( A. y  e.  RR  E. z  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z  <->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
227224, 225, 2263syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> 
( A. y  e.  RR  E. z  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z  <->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
228217, 227mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
229160, 228eqtrd 2420 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  =  +oo )
230135, 229breqtrrd 4180 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
23199, 230pm2.61dan 767 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A )
23227reseq1i 5083 . . . . . . . 8  |-  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
)
233 eleq1 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  k  ->  (
l  e.  NN  <->  k  e.  NN ) )
234233anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( ph  /\  l  e.  NN )  <->  ( ph  /\  k  e.  NN ) ) )
235 sbequ12r 1934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  ( [ l  /  k ] A  =  +oo  <->  A  =  +oo ) )
236234, 235anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo ) 
<->  ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  =  +oo ) ) )
237 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  k  ->  ( ZZ>=
`  l )  =  ( ZZ>= `  k )
)
238237reseq2d 5087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  l )
)  =  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
) )
239237xpeq1d 4842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( ZZ>= `  l )  X.  {  +oo } )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) )
240238, 239eqeq12d 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l
)  X.  {  +oo } )  <->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) ) )
241236, 240imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  l )
)  =  ( (
ZZ>= `  l )  X. 
{  +oo } ) )  <-> 
( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  =  +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) ) ) )
242 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ph  /\  l  e.  NN )
243 nfs1v 2140 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k [ l  /  k ] A  =  +oo
244242, 243nfan 1836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )
245 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k  n  e.  ( ZZ>= `  l )
246244, 245nfan 1836 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)
24759a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( 1 ... n )  e.  _V )
248 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
24929adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
250248, 249, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
251 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  l  e.  NN )
252 elnnuz 10455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  NN  <->  l  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
253 eluzfz 10987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( l  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  l  e.  ( 1 ... n
) )
254252, 253sylanb 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l ) )  -> 
l  e.  ( 1 ... n ) )
255251, 254sylancom 649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  l  e.  ( 1 ... n ) )
256 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  [ l  / 
k ] A  = 
+oo )
257 sbequ12 1933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  l  ->  ( A  =  +oo  <->  [ l  /  k ] A  =  +oo ) )
258243, 257rspce 2991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  e.  ( 1 ... n )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  ->  E. k  e.  ( 1 ... n ) A  =  +oo )
259255, 256, 258syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  E. k  e.  ( 1 ... n ) A  =  +oo )
260246, 247, 250, 259esumpinfval 24260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  =  +oo )
261260ralrimiva 2733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  =  +oo )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )
262 eqidd 2389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  =  +oo )  ->  ( ZZ>= `  l )  =  ( ZZ>= `  l
) )
263 mpteq12 4230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ZZ>= `  l )  =  ( ZZ>= `  l
)  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> 
+oo ) )
264262, 263sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> 
+oo ) )
265 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  =  +oo )  ->  l  e.  NN )
266 uznnssnn 10457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  l )  C_  NN )
267 resmpt 5132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ZZ>= `  l )  C_  NN  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
268265, 266, 2673syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  =  +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
269268adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
270 fconstmpt 4862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ZZ>= `  l )  X. 
{  +oo } )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  l )  |->  +oo )
271270a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )  ->  ( ( ZZ>= `  l )  X.  {  +oo } )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |->  +oo )
)
272264, 269, 2713eqtr4d 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  =  +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  =  +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l )  X.  {  +oo } ) )
273261, 272mpdan 650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  =  +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l
)  X.  {  +oo } ) )
274241, 273chvarv 2048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  =  +oo )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{  +oo } ) )
275232, 274syl5eq 2432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  =  +oo )  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) )
276275ex 424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  =  +oo  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) ) )
277276reximdva 2762 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  NN  A  =  +oo  ->  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  {  +oo } ) ) )
278277imp 419 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  ->  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  {  +oo } ) )
279 xrge0topn 24134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )
28040, 279eqtri 2408 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo )
)
281 letopon 17192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
282 iccssxr 10926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
283 resttopon 17148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) ) )
284281, 282, 283mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] 
+oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )
285280, 284eqeltri 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )
286285a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) ) )
287 0xr 9065 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
288 pnfge 10660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_  +oo )
289287, 288ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  +oo
290 ubicc2 10947 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
291287, 6, 289, 290mp3an 1279 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )
292291a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
29351nnzd 10307 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
294 eqid 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  k )  =  (
ZZ>= `  k )
295294lmconst 17248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) ( ~~> t `  J )  +oo )
296286, 292, 293, 295syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{  +oo } ) ( ~~> t `  J ) 
+oo )
297 breq1 4157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  {  +oo } )  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) ) ( ~~> t `  J )  +oo  <->  ( ( ZZ>=
`  k )  X. 
{  +oo } ) ( ~~> t `  J ) 
+oo ) )
298297biimprd 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  {  +oo } )  ->  ( (
( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) ( ~~> t `  J
)  +oo  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J )  +oo )
)
299296, 298mpan9 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) )  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J )  +oo )
300286elfvexd 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0 [,]  +oo )  e.  _V )
301 cnex 9005 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
302301a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  CC  e.  _V )
30367adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN
--> ( 0 [,]  +oo ) )
304 nnsscn 9938 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  C_  CC
305304a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  NN  C_  CC )
306 elpm2r 6971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 0 [,] 
+oo )  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  NN  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( ( 0 [,] 
+oo )  ^pm  CC ) )
307300, 302, 303, 305, 306syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F  e.  ( ( 0 [,] 
+oo )  ^pm  CC ) )
308286, 307, 293lmres 17287 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F ( ~~> t `  J
)  +oo  <->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J )  +oo )
)
309308biimpar 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) ) ( ~~> t `  J )  +oo )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
310299, 309syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  {  +oo } ) )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
311310ex 424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  {  +oo } )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo ) )
312311rexlimdva 2774 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{  +oo } )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
)
313312imp 419 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{  +oo } ) )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
314278, 313syldan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  ->  F ( ~~> t `  J )  +oo )
315 nfv 1626 . . . . 5  |-  F/ k
ph
316 nfre1 2706 . . . . 5  |-  F/ k E. k  e.  NN  A  =  +oo
317315, 316nfan 1836 . . . 4  |-  F/ k ( ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )
318138a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  ->  NN  e.  _V )
31952adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
320 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  ->  E. k  e.  NN  A  =  +oo )
321317, 318, 319, 320esumpinfval 24260 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  -> Σ* k  e.  NN A  =  +oo )
322314, 321breqtrrd 4180 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
323 eleq1 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  NN  <->  m  e.  NN ) )
324323anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
( ph  /\  k  e.  NN )  <->  ( ph  /\  m  e.  NN ) ) )
32518eleq1d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  ( A  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
326324, 325imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  <->  ( ( ph  /\  m  e.  NN )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo )
) ) )
327326, 52chvarv 2048 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
328 eliccelico 23977 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  ( B  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  B  =  +oo ) ) )
329287, 6, 289, 328mp3an 1279 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  B  =  +oo ) )
330327, 329sylib 189 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  \/  B  =  +oo ) )
331330ralrimiva 2733 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( B  e.  (
0 [,)  +oo )  \/  B  =  +oo )
)
332 r19.30 2797 . . . 4  |-  ( A. m  e.  NN  ( B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  B  =  +oo )  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  E. m  e.  NN  B  =  +oo ) )
333331, 332syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  E. m  e.  NN  B  =  +oo ) )
33418eqeq1d 2396 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  ( A  =  +oo  <->  B  =  +oo ) )
335334cbvrexv 2877 . . . 4  |-  ( E. k  e.  NN  A  =  +oo  <->  E. m  e.  NN  B  =  +oo )
336335orbi2i 506 . . 3  |-  ( ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  E. k  e.  NN  A  =  +oo )  <->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  E. m  e.  NN  B  =  +oo ) )
337333, 336sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  \/  E. k  e.  NN  A  =  +oo ) )
338231, 322, 337mpjaodan 762 1  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649   [wsb 1655    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651   _Vcvv 2900    i^i cin 3263    C_ wss 3264   ~Pcpw 3743   {csn 3758   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208    X. cxp 4817   dom cdm 4819   ran crn 4820    |` cres 4821    Fn wfn 5390   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    ^pm cpm 6956   Fincfn 7046   supcsup 7381   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    +oocpnf 9051    -oocmnf 9052   RR*cxr 9053    < clt 9054    <_ cle 9055   NNcn 9933   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421   (,)cioo 10849   [,)cico 10851   [,]cicc 10852   ...cfz 10976    seq cseq 11251    ~~> cli 12206   sum_csu 12407   ↾s cress 13398   ↾t crest 13576   TopOpenctopn 13577  ordTopcordt 13649   RR* scxrs 13650    gsumg cgsu 13652  ℂfldccnfld 16627  TopOnctopon 16883   ~~> tclm 17213  Σ*cesum 24221
This theorem is referenced by:  esumcvg2  24274
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-fac 11495  df-bc 11522  df-hash 11547  df-shft 11810  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-limsup 12193  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-ef 12598  df-sin 12600  df-cos 12601  df-pi 12603  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-ordt 13653  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-ps 14557  df-tsr 14558  df-mnd 14618  df-plusf 14619  df-mhm 14666  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-mulg 14743  df-subg 14869  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-cring 15592  df-ur 15593  df-subrg 15794  df-abv 15833  df-lmod 15880  df-scaf 15881  df-sra 16172  df-rgmod 16173  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-lm 17216  df-haus 17302  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-tmd 18024  df-tgp 18025  df-tsms 18078  df-trg 18111  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-nm 18502  df-ngp 18503  df-nrg 18505  df-nlm 18506  df-ii 18779  df-cncf 18780  df-limc 19621  df-dv 19622  df-log 20322  df-esum 24222
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