Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumfsupre Structured version   Unicode version

Theorem esumfsupre 24463
Description: Formulating an extended sum over integers using the recursive sequence builder. This version is limited to real valued functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esumfsup.1  |-  F/_ k F
Assertion
Ref Expression
esumfsupre  |-  ( F : NN --> ( 0 [,)  +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  F ) , 
RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem esumfsupre
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icossicc 24131 . . . 4  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
0 [,]  +oo )
2 fss 5601 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  F : NN --> ( 0 [,] 
+oo ) )
31, 2mpan2 654 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  F : NN --> ( 0 [,] 
+oo ) )
4 esumfsup.1 . . . 4  |-  F/_ k F
54esumfsup 24462 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  =  sup ( ran 
seq  1 ( + e ,  F ) ,  RR* ,  <  )
)
63, 5syl 16 . 2  |-  ( F : NN --> ( 0 [,)  +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  =  sup ( ran 
seq  1 ( + e ,  F ) ,  RR* ,  <  )
)
7 1z 10313 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( F : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  1  e.  ZZ )
9 elnnuz 10524 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  <->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
10 ffvelrn 5870 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,)  +oo )  /\  x  e.  NN )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
119, 10sylan2br 464 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,)  +oo )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
12 ge0addcl 11011 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
x  +  y )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
1312adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  -> 
( x  +  y )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
14 mnfxr 10716 . . . . . . . . 9  |-  -oo  e.  RR*
15 pnfxr 10715 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e.  RR*
16 0re 9093 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
17 mnflt 10724 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  -oo  <  0
19 pnfge 10729 . . . . . . . . . 10  |-  (  +oo  e.  RR*  ->  +oo  <_  +oo )
2015, 19ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  +oo  <_  +oo
21 icossioo 24135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  0  /\  +oo 
<_  +oo ) )  -> 
( 0 [,)  +oo )  C_  (  -oo (,)  +oo ) )
2214, 15, 18, 20, 21mp4an 656 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (  -oo (,)  +oo )
23 ioomax 10987 . . . . . . . 8  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  RR
2422, 23sseqtri 3382 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
25 simprl 734 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  ->  x  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2624, 25sseldi 3348 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  ->  x  e.  RR )
27 simprr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  -> 
y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2824, 27sseldi 3348 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  -> 
y  e.  RR )
29 rexadd 10820 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x + e
y )  =  ( x  +  y ) )
3029eqcomd 2443 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  =  ( x + e y ) )
3126, 28, 30syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  -> 
( x  +  y )  =  ( x + e y ) )
328, 11, 13, 31seqfeq3 11375 . . . 4  |-  ( F : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  =  seq  1 ( + e ,  F ) )
3332rneqd 5099 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  seq  1 (  +  ,  F )  =  ran  seq  1 ( + e ,  F ) )
3433supeq1d 7453 . 2  |-  ( F : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq  1 ( + e ,  F ) ,  RR* ,  <  ) )
356, 34eqtr4d 2473 1  |-  ( F : NN --> ( 0 [,)  +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  F ) , 
RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   F/_wnfc 2561    C_ wss 3322   class class class wbr 4214   ran crn 4881   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   supcsup 7447   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    +oocpnf 9119    -oocmnf 9120   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123   NNcn 10002   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   + ecxad 10710   (,)cioo 10918   [,)cico 10920   [,]cicc 10921    seq cseq 11325  Σ*cesum 24426
This theorem is referenced by:  voliune  24587
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-ordt 13727  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-ps 14631  df-tsr 14632  df-mnd 14692  df-plusf 14693  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-subrg 15868  df-abv 15907  df-lmod 15954  df-scaf 15955  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-tmd 18104  df-tgp 18105  df-tsms 18158  df-trg 18191  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-nm 18632  df-ngp 18633  df-nrg 18635  df-nlm 18636  df-ii 18909  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456  df-esum 24427
  Copyright terms: Public domain W3C validator