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Theorem esumnul 24435
Description: Extended sum over the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
esumnul  |- Σ* x  e.  (/) A  =  0

Proof of Theorem esumnul
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1563 . . . 4  |-  F/ x  T.
2 nfcv 2571 . . . 4  |-  F/_ x (/)
3 0ex 4331 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
43a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  (/)  e.  _V )
5 ral0 3724 . . . . . 6  |-  A. x  e.  (/)  A  e.  ( 0 [,]  +oo )
65a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  A. x  e.  (/)  A  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
76r19.21bi 2796 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  (/) )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
8 pw0 3937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
98ineq1i 3530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P (/)  i^i  Fin )  =  ( { (/) }  i^i  Fin )
10 0fin 7328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  Fin
11 snssi 3934 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  e.  Fin  ->  { (/) }  C_  Fin )
12 df-ss 3326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( {
(/) }  C_  Fin  <->  ( { (/)
}  i^i  Fin )  =  { (/) } )
1311, 12sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  e.  Fin  ->  ( { (/)
}  i^i  Fin )  =  { (/) } )
1410, 13ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
(/) }  i^i  Fin )  =  { (/) }
159, 14eqtri 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P (/)  i^i  Fin )  =  { (/) }
1615eleq2i 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin ) 
<->  y  e.  { (/) } )
17 elsn 3821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { (/) }  <->  y  =  (/) )
1816, 17bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin ) 
<->  y  =  (/) )
1918biimpi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  y  =  (/) )
2019mpteq1d 4282 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  ( x  e.  y  |->  A )  =  ( x  e.  (/)  |->  A ) )
21 mpt0 5564 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  (/)
2220, 21syl6eq 2483 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  ( x  e.  y  |->  A )  =  (/) )
2322oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  ( ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  gsumg  ( x  e.  y 
|->  A ) )  =  ( ( RR* ss  (
0 [,]  +oo ) ) 
gsumg  (/) ) )
24 xrge00 24200 . . . . . . 7  |-  0  =  ( 0g `  ( RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) ) )
2524gsum0 14772 . . . . . 6  |-  ( (
RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )  gsumg  (/) )  =  0
2623, 25syl6eq 2483 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  ( ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  gsumg  ( x  e.  y 
|->  A ) )  =  0 )
2726adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )  gsumg  ( x  e.  y  |->  A ) )  =  0 )
281, 2, 4, 7, 27esumval 24433 . . 3  |-  (  T. 
-> Σ* x  e.  (/) A  =  sup ( ran  (
y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 ) ,  RR* ,  <  ) )
2928trud 1332 . 2  |- Σ* x  e.  (/) A  =  sup ( ran  (
y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 ) ,  RR* ,  <  )
30 fconstmpt 4913 . . . . 5  |-  ( ( ~P (/)  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  =  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )
3130eqcomi 2439 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P (/)  i^i  Fin )  X.  { 0 } )
32 0xr 9123 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
3332rgenw 2765 . . . . . 6  |-  A. y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin ) 0  e.  RR*
34 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )
3534fnmpt 5563 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( ~P (/) 
i^i  Fin ) 0  e. 
RR*  ->  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P (/)  i^i  Fin ) )
3633, 35ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P (/)  i^i  Fin )
373snnz 3914 . . . . . 6  |-  { (/) }  =/=  (/)
3815, 37eqnetri 2615 . . . . 5  |-  ( ~P (/)  i^i  Fin )  =/=  (/)
39 fconst5 5941 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P (/)  i^i  Fin )  /\  ( ~P (/)  i^i  Fin )  =/=  (/) )  ->  (
( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P (/)  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  <->  ran  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  { 0 } ) )
4036, 38, 39mp2an 654 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P (/)  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  <->  ran  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  {
0 } )
4131, 40mpbi 200 . . 3  |-  ran  (
y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  { 0 }
4241supeq1i 7444 . 2  |-  sup ( ran  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )
43 xrltso 10726 . . 3  |-  <  Or  RR*
44 supsn 7466 . . 3  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
4543, 32, 44mp2an 654 . 2  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
4629, 42, 453eqtri 2459 1  |- Σ* x  e.  (/) A  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806    e. cmpt 4258    Or wor 4494    X. cxp 4868   ran crn 4871    Fn wfn 5441  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   supcsup 7437   0cc0 8982    +oocpnf 9109   RR*cxr 9111    < clt 9112   [,]cicc 10911   ↾s cress 13462   RR* scxrs 13714    gsumg cgsu 13716  Σ*cesum 24416
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-xadd 10703  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-ordt 13717  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-ps 14621  df-tsr 14622  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-ntr 17076  df-nei 17154  df-cn 17283  df-haus 17371  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-tsms 18148  df-esum 24417
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