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Theorem esumpcvgval 23448
Description: The value of the extended sum when the corresponding series sum is convergent. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpcvgval.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
esumpcvgval.2  |-  ( k  =  l  ->  A  =  B )
esumpcvgval.3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  )
Assertion
Ref Expression
esumpcvgval  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  NN A  = 
sum_ k  e.  NN  A )
Distinct variable groups:    k, l, n    A, l, n    B, k, n    ph, k, n
Allowed substitution hints:    ph( l)    A( k)    B( l)

Proof of Theorem esumpcvgval
Dummy variables  s  x  y  z  b  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 10477 . . . 4  |-  <  Or  RR*
21a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  <  Or  RR* )
3 nnuz 10265 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4 1z 10055 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
54a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
6 esumpcvgval.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  l  ->  A  =  B )
7 eqcom 2287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  l  <->  l  =  k )
87imbi1i 315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  =  l  ->  A  =  B )  <->  ( l  =  k  ->  A  =  B )
)
9 eqcom 2287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  B  <->  B  =  A )
109imbi2i 303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( l  =  k  ->  A  =  B )  <->  ( l  =  k  ->  B  =  A )
)
118, 10bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  =  l  ->  A  =  B )  <->  ( l  =  k  ->  B  =  A )
)
126, 11mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  k  ->  B  =  A )
1312cbvmptv 4113 . . . . . . . 8  |-  ( l  e.  NN  |->  B )  =  ( k  e.  NN  |->  A )
1413eqcomi 2289 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  |->  A )  =  ( l  e.  NN  |->  B )
15 seqeq3 11053 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  |->  A )  =  ( l  e.  NN  |->  B )  ->  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  A ) )  =  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  A ) )  =  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) )
17 esumpcvgval.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
1817, 13fmptd 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( l  e.  NN  |->  B ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
1918ffvelrnda 5667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  x )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
20 elrege0 10748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  x
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( (
( l  e.  NN  |->  B ) `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `
 x ) ) )
2120simplbi 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  x
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  (
( l  e.  NN  |->  B ) `  x
)  e.  RR )
2219, 21syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  x )  e.  RR )
23 readdcl 8822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
2423adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  +  y )  e.  RR )
253, 5, 22, 24seqf 11069 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) : NN --> RR )
2618adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( l  e.  NN  |->  B ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
27 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
2827peano2nnd 9765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
2926, 28ffvelrnd 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  ( n  +  1 ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
30 elrege0 10748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( (
( l  e.  NN  |->  B ) `  (
n  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
3130simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  0  <_  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  ( n  +  1
) ) )
3229, 31syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( l  e.  NN  |->  B ) `  ( n  +  1
) ) )
3325ffvelrnda 5667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  e.  RR )
3430simplbi 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  (
( l  e.  NN  |->  B ) `  (
n  +  1 ) )  e.  RR )
3529, 34syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
3633, 35addge01d 9362 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0  <_  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `
 ( n  + 
1 ) )  <->  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  (
(  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  +  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
3732, 36mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  (
(  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  +  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
3827, 3syl6eleq 2375 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
39 seqp1 11063 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  +  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
4038, 39syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  +  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
4137, 40breqtrrd 4051 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  ( n  +  1
) ) )
42 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
4313fvmpt2 5610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( l  e.  NN  |->  B ) `  k )  =  A )
4442, 17, 43syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  k )  =  A )
45 mnfxr 10458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -oo  e.  RR*
46 pnfxr 10457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  +oo  e.  RR*
47 0re 8840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
48 mnflt 10466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
4947, 48ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -oo  <  0
50 pnfge 10471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  +oo  e.  RR*  ->  +oo  <_  +oo )
5146, 50ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  +oo  <_  +oo
52 icossioo 23264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  0  /\  +oo 
<_  +oo ) )  -> 
( 0 [,)  +oo )  C_  (  -oo (,)  +oo ) )
5345, 46, 49, 51, 52mp4an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (  -oo (,)  +oo )
54 ioomax 10726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  RR
5553, 54sseqtri 3212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
5655, 17sseldi 3180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
5756recnd 8863 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
5825feqmptd 5577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) ) )
59 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
60 elfznn 10821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  k  e.  NN )
6160adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
6259, 61, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( l  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
6359, 61, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  CC )
6462, 38, 63fsumser 12205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  =  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )
6564eqcomd 2290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
6665mpteq2dva 4108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
6758, 66eqtr2d 2318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) )
68 esumpcvgval.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  )
6967, 68eqeltrrd 2360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  e.  dom  ~~>  )
703, 5, 44, 57, 69isumclim2 12223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  ~~> 
sum_ k  e.  NN  A )
713, 5, 70, 33climrecl 12059 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  A  e.  RR )
724a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
73 fzfid 11037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
74 fzssuz 10834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... n )  C_  ( ZZ>= `  1 )
7574, 3sseqtr4i 3213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
7675a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n )  C_  NN )
7744adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( l  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
7856adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
7917adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
80 elrege0 10748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
8180simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  A )
8279, 81syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  A )
8369adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  e.  dom  ~~>  )
843, 72, 73, 76, 77, 78, 82, 83isumless 12306 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  <_  sum_ k  e.  NN  A )
8565, 84eqbrtrd 4045 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  sum_ k  e.  NN  A )
8685ralrimiva 2628 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n )  <_  sum_ k  e.  NN  A
)
87 breq2 4029 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  sum_ k  e.  NN  A  ->  ( (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  s  <->  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n )  <_  sum_ k  e.  NN  A
) )
8887ralbidv 2565 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  sum_ k  e.  NN  A  ->  ( A. n  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
)  <_  s  <->  A. n  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
)  <_  sum_ k  e.  NN  A ) )
8988rspcev 2886 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ k  e.  NN  A  e.  RR  /\  A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  sum_ k  e.  NN  A )  ->  E. s  e.  RR  A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  s
)
9071, 86, 89syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. s  e.  RR  A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  s
)
913, 5, 25, 41, 90climsup 12145 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  ~~>  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)
9216, 91syl5eqbr 4058 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  A ) )  ~~>  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)
93 eqid 2285 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  |->  A )  =  ( k  e.  NN  |->  A )
9456, 93fmptd 5686 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  A ) : NN --> RR )
9594ffvelrnda 5667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  A ) `  n )  e.  RR )
9624caovclg 6014 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( n  +  m
)  e.  RR )
973, 5, 95, 96seqf 11069 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  A ) ) : NN --> RR )
9897ffvelrnda 5667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  A ) ) `  n )  e.  RR )
993, 5, 92, 98climrecl 12059 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
10099rexrd 8883 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
101 eqid 2285 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A )  =  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A )
102 sumex 12162 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  b  A  e.  _V
103101, 102elrnmpti 4932 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A )  <->  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
x  =  sum_ k  e.  b  A )
104 ssnnssfz 23279 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  E. m  e.  NN  b  C_  (
1 ... m ) )
105 fzfid 11037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1 ... m
)  e.  Fin )
106105adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  b  C_  ( 1 ... m
) )  ->  (
1 ... m )  e. 
Fin )
107 elfznn 10821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... m )  ->  k  e.  NN )
108107adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  k  e.  NN )
109108, 17syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
11080simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  A  e.  RR )
111109, 110syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  A  e.  RR )
112111adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  b  C_  ( 1 ... m
) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  A  e.  RR )
113109, 81syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  0  <_  A )
114113adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  b  C_  ( 1 ... m
) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  0  <_  A )
115 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  b  C_  ( 1 ... m
) )  ->  b  C_  ( 1 ... m
) )
116106, 112, 114, 115fsumless 12256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  b  C_  ( 1 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  b  A  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A )
117116ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( b  C_  (
1 ... m )  ->  sum_ k  e.  b  A  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A ) )
118117reximdv 2656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  b  C_  (
1 ... m )  ->  E. m  e.  NN  sum_ k  e.  b  A  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A ) )
119118imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  b  C_  (
1 ... m ) )  ->  E. m  e.  NN  sum_ k  e.  b  A  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A )
120104, 119sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  E. m  e.  NN  sum_ k  e.  b  A  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A )
121 breq1 4028 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  sum_ k  e.  b  A  ->  ( x  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  <->  sum_ k  e.  b  A  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )
122121rexbidv 2566 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sum_ k  e.  b  A  ->  ( E. m  e.  NN  x  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  <->  E. m  e.  NN  sum_ k  e.  b  A  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A ) )
123120, 122syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
x  =  sum_ k  e.  b  A  ->  E. m  e.  NN  x  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A ) )
124123rexlimdva 2669 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  =  sum_ k  e.  b  A  ->  E. m  e.  NN  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A ) )
125124imp 418 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  =  sum_ k  e.  b  A
)  ->  E. m  e.  NN  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A )
126103, 125sylan2b 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  ->  E. m  e.  NN  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A )
127 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  x  =  sum_ k  e.  b  A )  ->  x  =  sum_ k  e.  b  A )
128 inss2 3392 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
Fin
129 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
130128, 129sseldi 3180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  b  e.  Fin )
131 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  b )  ->  ph )
132 inss1 3391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
~P NN
133 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  b )  ->  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
134132, 133sseldi 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  b )  ->  b  e.  ~P NN )
135 elpwi 3635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  ~P NN  ->  b 
C_  NN )
136134, 135syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  b )  ->  b  C_  NN )
137 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  b )  ->  k  e.  b )
138136, 137sseldd 3183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  b )  ->  k  e.  NN )
139131, 138, 17syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  b )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
140139, 110syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  b )  ->  A  e.  RR )
141130, 140fsumrecl 12209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  b  A  e.  RR )
142141adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  x  =  sum_ k  e.  b  A )  ->  sum_ k  e.  b  A  e.  RR )
143127, 142eqeltrd 2359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  x  =  sum_ k  e.  b  A )  ->  x  e.  RR )
144143ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
x  =  sum_ k  e.  b  A  ->  x  e.  RR ) )
145144rexlimdva 2669 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  =  sum_ k  e.  b  A  ->  x  e.  RR ) )
146145imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  =  sum_ k  e.  b  A
)  ->  x  e.  RR )
147103, 146sylan2b 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  ->  x  e.  RR )
148147adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  x  e.  RR )
149105, 111fsumrecl 12209 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  e.  RR )
150149ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  e.  RR )
15199adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  ->  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
152151adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
153 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A )
154 frn 5397 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) : NN --> RR  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) )  C_  RR )
15525, 154syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  C_  RR )
156155ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  C_  RR )
157 1nn 9759 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
158 ne0i 3463 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
159157, 158ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  NN  =/=  (/)
160 dm0rn0 4897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =  (/)  <->  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =  (/) )
161 fdm 5395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) : NN --> RR  ->  dom  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) )  =  NN )
16225, 161syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =  NN )
163 eqeq1 2291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =  NN  ->  ( dom  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =  (/)  <->  NN  =  (/) ) )
164162, 163syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( dom  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =  (/)  <->  NN  =  (/) ) )
165160, 164syl5bbr 250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =  (/)  <->  NN  =  (/) ) )
166165necon3bid 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =/=  (/)  <->  NN  =/=  (/) ) )
167159, 166mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =/=  (/) )
168167ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =/=  (/) )
169 seqfn 11060 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
1704, 169ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
1713fneq2i 5341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN  <->  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
172170, 171mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN
173 dffn5 5570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN  <->  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) ) )
174172, 173mpbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )
175 fvex 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  e.  _V
176174, 175elrnmpti 4932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  <->  E. n  e.  NN  z  =  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )
177 r19.29 2685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n )  <_ 
s  /\  E. n  e.  NN  z  =  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )  ->  E. n  e.  NN  ( (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
)  <_  s  /\  z  =  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n ) ) )
178 breq1 4028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
)  ->  ( z  <_  s  <->  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
)  <_  s )
)
179178biimparc 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  s  /\  z  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )  ->  z  <_  s )
180179rexlimivw 2665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. n  e.  NN  (
(  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  s  /\  z  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )  ->  z  <_  s )
181177, 180syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n )  <_ 
s  /\  E. n  e.  NN  z  =  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )  ->  z  <_  s
)
182176, 181sylan2b 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n )  <_ 
s  /\  z  e.  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) )  ->  z  <_  s )
183182ralrimiva 2628 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  s  ->  A. z  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) z  <_  s )
184183reximi 2652 . . . . . . . . 9  |-  ( E. s  e.  RR  A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  s  ->  E. s  e.  RR  A. z  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) z  <_  s )
18590, 184syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. s  e.  RR  A. z  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) z  <_  s )
186185ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  E. s  e.  RR  A. z  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) z  <_  s )
187 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  ph )
188 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
189188ad2ant2r 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  m  e.  NN )
190 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ph )
191107adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  k  e.  NN )
192190, 191, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( l  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
193188, 3syl6eleq 2375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
194190, 191, 17syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
195194, 110syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  A  e.  RR )
196195recnd 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  A  e.  CC )
197192, 193, 196fsumser 12205 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A  =  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 m ) )
198 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 m ) )
199198eqeq2d 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
)  <->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  =  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  m ) ) )
200199rspcev 2886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  m
) )  ->  E. n  e.  NN  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  =  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n ) )
201188, 197, 200syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  =  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n ) )
202174, 175elrnmpti 4932 . . . . . . . . 9  |-  ( sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  e.  ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  <->  E. n  e.  NN  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  =  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n ) )
203201, 202sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) )
204187, 189, 203syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) )
205 suprub 9717 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  C_  RR  /\ 
ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =/=  (/)  /\  E. s  e.  RR  A. z  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) z  <_  s )  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) )
206156, 168, 186, 204, 205syl31anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) )
207148, 150, 152, 153, 206letrd 8975 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  x  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) )
208126, 207rexlimddv 2673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  ->  x  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)
209147, 151lenltd 8967 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  -> 
( x  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  <->  -.  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  <  x ) )
210208, 209mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  ->  -.  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  <  x )
211 simpr1r 1013 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)  /\  0  <_  x  /\  x  =  +oo ) )  ->  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)
2122113anassrs 1173 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  =  +oo )  ->  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)
213100ad3antrrr 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  =  +oo )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
214 pnfnlt 10469 . . . . . . . 8  |-  ( sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) )
215213, 214syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  =  +oo )  ->  -.  +oo 
<  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)
216 breq1 4028 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  +oo  ->  (
x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  <->  +oo  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )
217216notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  +oo  ->  ( -.  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  <->  -.  +oo  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
218217adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  =  +oo )  ->  ( -.  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  <->  -.  +oo  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
219215, 218mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  =  +oo )  ->  -.  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)
220212, 219pm2.21dd 99 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  =  +oo )  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y )
221 simplll 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  <  +oo )  ->  ph )
222 simpr1l 1012 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)  /\  0  <_  x  /\  x  <  +oo ) )  ->  x  e.  RR* )
2232223anassrs 1173 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  <  +oo )  ->  x  e.  RR* )
224 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  <  +oo )  ->  0  <_  x )
225 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  <  +oo )  ->  x  <  +oo )
226 0xr 8880 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
227 elico1 10701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x  /\  x  <  +oo ) ) )
228226, 46, 227mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x  /\  x  <  +oo ) )
229228biimpri 197 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x  /\  x  <  +oo )  ->  x  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
230223, 224, 225, 229syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  <  +oo )  ->  x  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
231 simpr1r 1013 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)  /\  0  <_  x  /\  x  <  +oo ) )  ->  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)
2322313anassrs 1173 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  <  +oo )  ->  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)
233155adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) 
C_  RR )
234167adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =/=  (/) )
235185adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  E. s  e.  RR  A. z  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) z  <_  s )
236233, 234, 2353jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  -> 
( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  C_  RR  /\ 
ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =/=  (/)  /\  E. s  e.  RR  A. z  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) z  <_  s )
)
237 icossxr 10736 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
238 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  x  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
239237, 238sseldi 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  x  e.  RR* )
240 suprcl 9716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  C_  RR  /\  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) )  =/=  (/)  /\  E. s  e.  RR  A. z  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) z  <_  s )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
241236, 240syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
242 elrege0 10748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
243242simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  x )
244238, 243syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  -> 
0  <_  x )
245100adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
246 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)
247 xrltle 10485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  ->  x  <_  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
248247imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\ 
sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)  ->  x  <_  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) )
249239, 245, 246, 248syl21anc 1181 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  x  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)
250 xrrege0 10505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\ 
sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  ->  x  e.  RR )
251239, 241, 244, 249, 250syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  x  e.  RR )
252 suprlub 9718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  C_  RR  /\ 
ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =/=  (/)  /\  E. s  e.  RR  A. z  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) z  <_  s )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  <->  E. y  e.  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) x  <  y
) )
253252biimpd 198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  C_  RR  /\ 
ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =/=  (/)  /\  E. s  e.  RR  A. z  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) z  <_  s )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  ->  E. y  e.  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) x  <  y
) )
254253imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) )  C_  RR  /\  ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =/=  (/)  /\  E. s  e.  RR  A. z  e.  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) z  <_  s
)  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)  ->  E. y  e.  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) x  <  y
)
255236, 251, 246, 254syl21anc 1181 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  E. y  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) x  <  y )
25660ssriv 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
257 ovex 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
258257elpw 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1 ... n )  e.  ~P NN  <->  ( 1 ... n )  C_  NN )
259256, 258mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... n )  e. 
~P NN
260 fzfi 11036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... n )  e. 
Fin
261 elin 3360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ... n )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  <->  ( (
1 ... n )  e. 
~P NN  /\  (
1 ... n )  e. 
Fin ) )
262259, 260, 261mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
263262a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )  ->  (
1 ... n )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
264 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )  ->  y  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )
26564adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  =  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )
266264, 265eqtr4d 2320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )  ->  y  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
267 sumeq1 12164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( 1 ... n )  ->  sum_ k  e.  b  A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
268267eqeq2d 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( 1 ... n )  ->  (
y  =  sum_ k  e.  b  A  <->  y  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
269268rspcev 2886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  y  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  ->  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) y  =  sum_ k  e.  b  A
)
270263, 266, 269syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )  ->  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) y  =  sum_ k  e.  b  A
)
271270ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
)  ->  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) y  =  sum_ k  e.  b  A
) )
272271rexlimdva 2669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n )  ->  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
y  =  sum_ k  e.  b  A )
)
273174, 175elrnmpti 4932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  <->  E. n  e.  NN  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )
274273a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) )  <->  E. n  e.  NN  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) ) )
275101, 102elrnmpti 4932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A )  <->  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
y  =  sum_ k  e.  b  A )
276275a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A )  <->  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) y  =  sum_ k  e.  b  A
) )
277272, 274, 2763imtr4d 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) )  -> 
y  e.  ran  (
b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  b  A ) ) )
278277ssrdv 3187 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  C_  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A )
)
279 ssrexv 3240 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) 
C_  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A )  ->  ( E. y  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) x  <  y  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y ) )
280278, 279syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. y  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) x  <  y  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y ) )
281280imp 418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. y  e.  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) x  <  y
)  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y )
282255, 281syldan 456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y )
283221, 230, 232, 282syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  <  +oo )  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y )
284 simplrl 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  ->  x  e.  RR* )
285 xrlelttric 23252 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
+oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (  +oo  <_  x  \/  x  <  +oo ) )
28646, 285mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR*  ->  (  +oo  <_  x  \/  x  <  +oo ) )
287 xgtpnf 23116 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  ->  (  +oo  <_  x  <->  x  =  +oo ) )
288287orbi1d 683 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( 
+oo  <_  x  \/  x  <  +oo )  <->  ( x  =  +oo  \/  x  <  +oo ) ) )
289286, 288mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x  =  +oo  \/  x  <  +oo ) )
290284, 289syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  ->  (
x  =  +oo  \/  x  <  +oo ) )
291220, 283, 290mpjaodan 761 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y )
292 0elpw 4182 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  ~P NN
293 0fin 7089 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  Fin
294 elin 3360 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P NN  /\  (/)  e.  Fin )
)
295292, 293, 294mpbir2an 886 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
296 sum0 12196 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  (/)  A  =  0
297296eqcomi 2289 . . . . . . . 8  |-  0  =  sum_ k  e.  (/)  A
298 sumeq1 12164 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  (/)  ->  sum_ k  e.  b  A  =  sum_ k  e.  (/)  A )
299298eqeq2d 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  (/)  ->  ( 0  =  sum_ k  e.  b  A  <->  0  =  sum_ k  e.  (/)  A ) )
300299rspcev 2886 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  0  =  sum_ k  e.  (/)  A )  ->  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) 0  =  sum_ k  e.  b  A
)
301295, 297, 300mp2an 653 . . . . . . 7  |-  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) 0  =  sum_ k  e.  b  A
302101, 102elrnmpti 4932 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A )  <->  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
0  =  sum_ k  e.  b  A )
303301, 302mpbir 200 . . . . . 6  |-  0  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A )
304 breq2 4029 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0  ->  (
x  <  y  <->  x  <  0 ) )
305304rspcev 2886 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ran  (
b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  b  A )  /\  x  <  0 )  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y )
306303, 305mpan 651 . . . . 5  |-  ( x  <  0  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y )
307306adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  x  <  0 )  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y )
308 xrlelttric 23252 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
0  <_  x  \/  x  <  0 ) )
309226, 308mpan 651 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( 0  <_  x  \/  x  <  0 ) )
310309ad2antrl 708 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ( 0  <_  x  \/  x  <  0 ) )
311291, 307, 310mpjaodan 761 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y )
3122, 100, 210, 311eqsupd 7210 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  b  A ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) )
313 nfv 1607 . . 3  |-  F/ k
ph
314 nfcv 2421 . . 3  |-  F/_ k NN
315 nnex 9754 . . . 4  |-  NN  e.  _V
316315a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
317 icossicc 23260 . . . 4  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
0 [,]  +oo )
318317, 17sseldi 3180 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
319 elex 2798 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  b  e.  _V )
320319adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  b  e.  _V )
321 eqid 2285 . . . . . 6  |-  ( k  e.  b  |->  A )  =  ( k  e.  b  |->  A )
322139, 321fmptd 5686 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
k  e.  b  |->  A ) : b --> ( 0 [,)  +oo )
)
323 esumpfinvallem 23444 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  _V  /\  ( k  e.  b 
|->  A ) : b --> ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  b 
|->  A ) )  =  ( ( RR* ss  (
0 [,]  +oo ) ) 
gsumg  ( k  e.  b 
|->  A ) ) )
324320, 322, 323syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  b 
|->  A ) )  =  ( ( RR* ss  (
0 [,]  +oo ) ) 
gsumg  ( k  e.  b 
|->  A ) ) )
325140recnd 8863 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  b )  ->  A  e.  CC )
326130, 325gsumfsum 16441 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  b 
|->  A ) )  = 
sum_ k  e.  b  A )
327324, 326eqtr3d 2319 . . 3  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )  gsumg  ( k  e.  b  |->  A ) )  =  sum_ k  e.  b  A )
328313, 314, 316, 318, 327esumval 23427 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  NN A  =  sup ( ran  (
b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  b  A ) ,  RR* ,  <  ) )
329 climuni 12028 . . 3  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  ~~> 
sum_ k  e.  NN  A  /\  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  ~~>  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)  ->  sum_ k  e.  NN  A  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) )
33070, 91, 329syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  A  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) )
331312, 328, 3303eqtr4d 2327 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  NN A  = 
sum_ k  e.  NN  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   A.wral 2545   E.wrex 2546   _Vcvv 2790    i^i cin 3153    C_ wss 3154   (/)c0 3457   ~Pcpw 3627   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079    Or wor 4315   dom cdm 4691   ran crn 4692    Fn wfn 5252   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   Fincfn 6865   supcsup 7195   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    + caddc 8742    +oocpnf 8866    -oocmnf 8867   RR*cxr 8868    < clt 8869    <_ cle 8870   NNcn 9748   ZZcz 10026   ZZ>=cuz 10232   (,)cioo 10658   [,)cico 10660   [,]cicc 10661   ...cfz 10784    seq cseq 11048    ~~> cli 11960   sum_csu 12160   ↾s cress 13151   RR* scxrs 13401    gsumg cgsu 13403  ℂfldccnfld 16379  Σ*cesum 23412
This theorem is referenced by:  esumcvg  23456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xadd 10455  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-seq 11049  df-exp 11107  df-hash 11340  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-ordt 13404  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-ps 14308  df-tsr 14309  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-abl 15094  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-cring 15343  df-ur 15344  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-ntr 16759  df-nei 16837  df-cn 16959  df-haus 17045  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-tsms 17811  df-esum 23413
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