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Theorem esumpcvgval 24265
Description: The value of the extended sum when the corresponding series sum is convergent. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpcvgval.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
esumpcvgval.2  |-  ( k  =  l  ->  A  =  B )
esumpcvgval.3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  )
Assertion
Ref Expression
esumpcvgval  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  NN A  = 
sum_ k  e.  NN  A )
Distinct variable groups:    k, l, n    A, l, n    B, k, n    ph, k, n
Allowed substitution hints:    ph( l)    A( k)    B( l)

Proof of Theorem esumpcvgval
Dummy variables  s  x  y  z  b  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 10667 . . . 4  |-  <  Or  RR*
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  <  Or  RR* )
3 nnuz 10454 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4 1z 10244 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
6 esumpcvgval.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
7 esumpcvgval.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  l  ->  A  =  B )
8 eqcom 2390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  l  <->  l  =  k )
9 eqcom 2390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  B  <->  B  =  A )
107, 8, 93imtr3i 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  B  =  A )
1110cbvmptv 4242 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  e.  NN  |->  B )  =  ( k  e.  NN  |->  A )
126, 11fmptd 5833 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( l  e.  NN  |->  B ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
1312ffvelrnda 5810 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  x )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
14 elrege0 10940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  x
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( (
( l  e.  NN  |->  B ) `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `
 x ) ) )
1514simplbi 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  x
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  (
( l  e.  NN  |->  B ) `  x
)  e.  RR )
1613, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  x )  e.  RR )
173, 5, 16serfre 11280 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) : NN --> RR )
1812adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( l  e.  NN  |->  B ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
19 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
2019peano2nnd 9950 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
2118, 20ffvelrnd 5811 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  ( n  +  1 ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
22 elrege0 10940 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( (
( l  e.  NN  |->  B ) `  (
n  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
2322simprbi 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  0  <_  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  ( n  +  1
) ) )
2421, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( l  e.  NN  |->  B ) `  ( n  +  1
) ) )
2517ffvelrnda 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  e.  RR )
2622simplbi 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  (
( l  e.  NN  |->  B ) `  (
n  +  1 ) )  e.  RR )
2721, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
2825, 27addge01d 9547 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0  <_  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `
 ( n  + 
1 ) )  <->  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  (
(  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  +  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
2924, 28mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  (
(  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  +  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
3019, 3syl6eleq 2478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
31 seqp1 11266 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  +  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  +  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
3329, 32breqtrrd 4180 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  ( n  +  1
) ) )
34 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
3511fvmpt2 5752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( l  e.  NN  |->  B ) `  k )  =  A )
3634, 6, 35syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( l  e.  NN  |->  B ) `  k )  =  A )
37 mnfxr 10647 . . . . . . . . . . 11  |-  -oo  e.  RR*
38 pnfxr 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e.  RR*
39 0re 9025 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
40 mnflt 10655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
4139, 40ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  -oo  <  0
42 pnfge 10660 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  +oo  e.  RR*  ->  +oo  <_  +oo )
4338, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  <_  +oo
44 icossioo 23970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  0  /\  +oo 
<_  +oo ) )  -> 
( 0 [,)  +oo )  C_  (  -oo (,)  +oo ) )
4537, 38, 41, 43, 44mp4an 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (  -oo (,)  +oo )
46 ioomax 10918 . . . . . . . . . 10  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  RR
4745, 46sseqtri 3324 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
4847, 6sseldi 3290 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
4917feqmptd 5719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) ) )
50 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
51 elfznn 11013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  k  e.  NN )
5251adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
5350, 52, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( l  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
5448recnd 9048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
5550, 52, 54syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  CC )
5653, 30, 55fsumser 12452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  =  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )
5756eqcomd 2393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
5857mpteq2dva 4237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
5949, 58eqtr2d 2421 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) )
60 esumpcvgval.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  )
6159, 60eqeltrrd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  e.  dom  ~~>  )
623, 5, 36, 48, 61isumrecl 12477 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  A  e.  RR )
634a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
64 fzfid 11240 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
65 fzssuz 11026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... n )  C_  ( ZZ>= `  1 )
6665, 3sseqtr4i 3325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
6766a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n )  C_  NN )
6836adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( l  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
6948adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
706adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
71 elrege0 10940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
7271simprbi 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  A )
7370, 72syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  A )
7461adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  e.  dom  ~~>  )
753, 63, 64, 67, 68, 69, 73, 74isumless 12553 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  <_  sum_ k  e.  NN  A )
7656, 75eqbrtrrd 4176 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  sum_ k  e.  NN  A )
7776ralrimiva 2733 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n )  <_  sum_ k  e.  NN  A
)
78 breq2 4158 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  sum_ k  e.  NN  A  ->  ( (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  s  <->  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n )  <_  sum_ k  e.  NN  A
) )
7978ralbidv 2670 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  sum_ k  e.  NN  A  ->  ( A. n  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
)  <_  s  <->  A. n  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
)  <_  sum_ k  e.  NN  A ) )
8079rspcev 2996 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ k  e.  NN  A  e.  RR  /\  A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  sum_ k  e.  NN  A )  ->  E. s  e.  RR  A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  s
)
8162, 77, 80syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. s  e.  RR  A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  s
)
823, 5, 17, 33, 81climsup 12391 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  ~~>  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)
833, 5, 82, 25climrecl 12305 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
8483rexrd 9068 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
85 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A )  =  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A )
86 sumex 12409 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  b  A  e.  _V
8785, 86elrnmpti 5062 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A )  <->  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
x  =  sum_ k  e.  b  A )
88 ssnnssfz 23985 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  E. m  e.  NN  b  C_  (
1 ... m ) )
89 fzfid 11240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  b  C_  ( 1 ... m
) )  ->  (
1 ... m )  e. 
Fin )
90 elfznn 11013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... m )  ->  k  e.  NN )
9190, 6sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
9271simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  A  e.  RR )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  A  e.  RR )
9493adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  b  C_  ( 1 ... m
) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  A  e.  RR )
9591, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  0  <_  A )
9695adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  b  C_  ( 1 ... m
) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  0  <_  A )
97 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  b  C_  ( 1 ... m
) )  ->  b  C_  ( 1 ... m
) )
9889, 94, 96, 97fsumless 12503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  b  C_  ( 1 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  b  A  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A )
9998ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( b  C_  (
1 ... m )  ->  sum_ k  e.  b  A  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A ) )
10099reximdv 2761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  b  C_  (
1 ... m )  ->  E. m  e.  NN  sum_ k  e.  b  A  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A ) )
101100imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  b  C_  (
1 ... m ) )  ->  E. m  e.  NN  sum_ k  e.  b  A  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A )
10288, 101sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  E. m  e.  NN  sum_ k  e.  b  A  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A )
103 breq1 4157 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  sum_ k  e.  b  A  ->  ( x  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  <->  sum_ k  e.  b  A  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )
104103rexbidv 2671 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sum_ k  e.  b  A  ->  ( E. m  e.  NN  x  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  <->  E. m  e.  NN  sum_ k  e.  b  A  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A ) )
105102, 104syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
x  =  sum_ k  e.  b  A  ->  E. m  e.  NN  x  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A ) )
106105rexlimdva 2774 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  =  sum_ k  e.  b  A  ->  E. m  e.  NN  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A ) )
107106imp 419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  =  sum_ k  e.  b  A
)  ->  E. m  e.  NN  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A )
10887, 107sylan2b 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  ->  E. m  e.  NN  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A )
109 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  x  =  sum_ k  e.  b  A )  ->  x  =  sum_ k  e.  b  A )
110 inss2 3506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
Fin
111 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
112110, 111sseldi 3290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  b  e.  Fin )
113 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  b )  ->  ph )
114 inss1 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
~P NN
115 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  b )  ->  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
116114, 115sseldi 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  b )  ->  b  e.  ~P NN )
117116elpwid 3752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  b )  ->  b  C_  NN )
118 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  b )  ->  k  e.  b )
119117, 118sseldd 3293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  b )  ->  k  e.  NN )
120113, 119, 6syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  b )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
121120, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  b )  ->  A  e.  RR )
122112, 121fsumrecl 12456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  b  A  e.  RR )
123122adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  x  =  sum_ k  e.  b  A )  ->  sum_ k  e.  b  A  e.  RR )
124109, 123eqeltrd 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  x  =  sum_ k  e.  b  A )  ->  x  e.  RR )
125124ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
x  =  sum_ k  e.  b  A  ->  x  e.  RR ) )
126125rexlimdva 2774 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  =  sum_ k  e.  b  A  ->  x  e.  RR ) )
127126imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  =  sum_ k  e.  b  A
)  ->  x  e.  RR )
12887, 127sylan2b 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  ->  x  e.  RR )
129128adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  x  e.  RR )
130 fzfid 11240 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ... m
)  e.  Fin )
131130, 93fsumrecl 12456 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  e.  RR )
132131ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  e.  RR )
13383ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
134 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A )
135 frn 5538 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) : NN --> RR  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) )  C_  RR )
13617, 135syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  C_  RR )
137136ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  C_  RR )
138 1nn 9944 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
139 ne0i 3578 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
140138, 139ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  NN  =/=  (/)
141 dm0rn0 5027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =  (/)  <->  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =  (/) )
142 fdm 5536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) : NN --> RR  ->  dom  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) )  =  NN )
14317, 142syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =  NN )
144143eqeq1d 2396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( dom  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =  (/)  <->  NN  =  (/) ) )
145141, 144syl5bbr 251 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =  (/)  <->  NN  =  (/) ) )
146145necon3bid 2586 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =/=  (/)  <->  NN  =/=  (/) ) )
147140, 146mpbiri 225 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =/=  (/) )
148147ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =/=  (/) )
149 seqfn 11263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
1504, 149ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
1513fneq2i 5481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN  <->  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
152150, 151mpbir 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN
153 dffn5 5712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN  <->  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) ) )
154152, 153mpbi 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )
155 fvex 5683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  e.  _V
156154, 155elrnmpti 5062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  <->  E. n  e.  NN  z  =  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )
157 r19.29 2790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n )  <_ 
s  /\  E. n  e.  NN  z  =  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )  ->  E. n  e.  NN  ( (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
)  <_  s  /\  z  =  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n ) ) )
158 breq1 4157 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
)  ->  ( z  <_  s  <->  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
)  <_  s )
)
159158biimparc 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  s  /\  z  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )  ->  z  <_  s )
160159rexlimivw 2770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. n  e.  NN  (
(  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  s  /\  z  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )  ->  z  <_  s )
161157, 160syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n )  <_ 
s  /\  E. n  e.  NN  z  =  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )  ->  z  <_  s
)
162156, 161sylan2b 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n )  <_ 
s  /\  z  e.  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) )  ->  z  <_  s )
163162ralrimiva 2733 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  s  ->  A. z  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) z  <_  s )
164163reximi 2757 . . . . . . . . 9  |-  ( E. s  e.  RR  A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  <_  s  ->  E. s  e.  RR  A. z  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) z  <_  s )
16581, 164syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. s  e.  RR  A. z  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) z  <_  s )
166165ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  E. s  e.  RR  A. z  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) z  <_  s )
167 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
168 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ph )
16990adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  k  e.  NN )
170168, 169, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( l  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
171167, 3syl6eleq 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
172168, 169, 6syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
173172, 92syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  A  e.  RR )
174173recnd 9048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  A  e.  CC )
175170, 171, 174fsumser 12452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A  =  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 m ) )
176 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 m ) )
177176eqeq2d 2399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
)  <->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  =  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  m ) ) )
178177rspcev 2996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  m
) )  ->  E. n  e.  NN  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  =  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n ) )
179167, 175, 178syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  =  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n ) )
180154, 155elrnmpti 5062 . . . . . . . . 9  |-  ( sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  e.  ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  <->  E. n  e.  NN  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  =  (  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n ) )
181179, 180sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) )
182181ad2ant2r 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) )
183 suprub 9902 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  C_  RR  /\ 
ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =/=  (/)  /\  E. s  e.  RR  A. z  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) z  <_  s )  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) )
184137, 148, 166, 182, 183syl31anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) A  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) )
185129, 132, 133, 134, 184letrd 9160 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) A ) )  ->  x  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) )
186108, 185rexlimddv 2778 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  ->  x  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)
18783adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  ->  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
188128, 187lenltd 9152 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  -> 
( x  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  <->  -.  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  <  x ) )
189186, 188mpbid 202 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) )  ->  -.  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  <  x )
190 simpr1r 1015 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)  /\  0  <_  x  /\  x  =  +oo ) )  ->  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)
1911903anassrs 1175 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  =  +oo )  ->  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)
19284ad3antrrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  =  +oo )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
193 pnfnlt 10658 . . . . . . . 8  |-  ( sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) )
194192, 193syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  =  +oo )  ->  -.  +oo 
<  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)
195 breq1 4157 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  +oo  ->  (
x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  <->  +oo  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )
196195notbid 286 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  +oo  ->  ( -.  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  <->  -.  +oo  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
197196adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  =  +oo )  ->  ( -.  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  <->  -.  +oo  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
198194, 197mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  =  +oo )  ->  -.  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)
199191, 198pm2.21dd 101 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  =  +oo )  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y )
200 simplll 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  <  +oo )  ->  ph )
201 simpr1l 1014 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)  /\  0  <_  x  /\  x  <  +oo ) )  ->  x  e.  RR* )
2022013anassrs 1175 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  <  +oo )  ->  x  e.  RR* )
203 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  <  +oo )  ->  0  <_  x )
204 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  <  +oo )  ->  x  <  +oo )
205 0xr 9065 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
206 elico1 10892 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x  /\  x  <  +oo ) ) )
207205, 38, 206mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x  /\  x  <  +oo ) )
208202, 203, 204, 207syl3anbrc 1138 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  <  +oo )  ->  x  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
209 simpr1r 1015 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)  /\  0  <_  x  /\  x  <  +oo ) )  ->  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)
2102093anassrs 1175 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  <  +oo )  ->  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)
211136adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) 
C_  RR )
212147adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =/=  (/) )
213165adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  E. s  e.  RR  A. z  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) z  <_  s )
214211, 212, 2133jca 1134 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  -> 
( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  C_  RR  /\ 
ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =/=  (/)  /\  E. s  e.  RR  A. z  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) z  <_  s )
)
215 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  x  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
21647, 215sseldi 3290 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  x  e.  RR )
217 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)
218 suprlub 9903 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  C_  RR  /\ 
ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =/=  (/)  /\  E. s  e.  RR  A. z  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) z  <_  s )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )  <->  E. y  e.  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) x  <  y
) )
219218biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) )  C_  RR  /\  ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  =/=  (/)  /\  E. s  e.  RR  A. z  e.  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) z  <_  s
)  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
)  ->  E. y  e.  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) x  <  y
)
220214, 216, 217, 219syl21anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  E. y  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) x  <  y )
22151ssriv 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
222 ovex 6046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
223222elpw 3749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1 ... n )  e.  ~P NN  <->  ( 1 ... n )  C_  NN )
224221, 223mpbir 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... n )  e. 
~P NN
225 fzfi 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... n )  e. 
Fin
226 elin 3474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ... n )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  <->  ( (
1 ... n )  e. 
~P NN  /\  (
1 ... n )  e. 
Fin ) )
227224, 225, 226mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
228227a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )  ->  (
1 ... n )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
229 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )  ->  y  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )
23056adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  =  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )
231229, 230eqtr4d 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )  ->  y  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
232 sumeq1 12411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( 1 ... n )  ->  sum_ k  e.  b  A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
233232eqeq2d 2399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( 1 ... n )  ->  (
y  =  sum_ k  e.  b  A  <->  y  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
234233rspcev 2996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  y  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  ->  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) y  =  sum_ k  e.  b  A
)
235228, 231, 234syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )  ->  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) y  =  sum_ k  e.  b  A
)
236235ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  =  (  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `  n
)  ->  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) y  =  sum_ k  e.  b  A
) )
237236rexlimdva 2774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n )  ->  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
y  =  sum_ k  e.  b  A )
)
238154, 155elrnmpti 5062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  <->  E. n  e.  NN  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )
23985, 86elrnmpti 5062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A )  <->  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
y  =  sum_ k  e.  b  A )
240237, 238, 2393imtr4g 262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) )  -> 
y  e.  ran  (
b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  b  A ) ) )
241240ssrdv 3298 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) )  C_  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A )
)
242 ssrexv 3352 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) 
C_  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A )  ->  ( E. y  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) x  <  y  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y ) )
243241, 242syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. y  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) x  <  y  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y ) )
244243imp 419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. y  e.  ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) x  <  y
)  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y )
245220, 244syldan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y )
246200, 208, 210, 245syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  /\  x  <  +oo )  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y )
247 simplrl 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  ->  x  e.  RR* )
248 xrlelttric 23958 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
+oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (  +oo  <_  x  \/  x  <  +oo ) )
24938, 248mpan 652 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR*  ->  (  +oo  <_  x  \/  x  <  +oo ) )
250 xgtpnf 24016 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  ->  (  +oo  <_  x  <->  x  =  +oo ) )
251250orbi1d 684 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( 
+oo  <_  x  \/  x  <  +oo )  <->  ( x  =  +oo  \/  x  <  +oo ) ) )
252249, 251mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x  =  +oo  \/  x  <  +oo ) )
253247, 252syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  ->  (
x  =  +oo  \/  x  <  +oo ) )
254199, 246, 253mpjaodan 762 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  0  <_  x )  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y )
255 0elpw 4311 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  ~P NN
256 0fin 7273 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  Fin
257 elin 3474 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P NN  /\  (/)  e.  Fin )
)
258255, 256, 257mpbir2an 887 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
259 sum0 12443 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  (/)  A  =  0
260259eqcomi 2392 . . . . . . . 8  |-  0  =  sum_ k  e.  (/)  A
261 sumeq1 12411 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  (/)  ->  sum_ k  e.  b  A  =  sum_ k  e.  (/)  A )
262261eqeq2d 2399 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  (/)  ->  ( 0  =  sum_ k  e.  b  A  <->  0  =  sum_ k  e.  (/)  A ) )
263262rspcev 2996 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  0  =  sum_ k  e.  (/)  A )  ->  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) 0  =  sum_ k  e.  b  A
)
264258, 260, 263mp2an 654 . . . . . . 7  |-  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) 0  =  sum_ k  e.  b  A
26585, 86elrnmpti 5062 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A )  <->  E. b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
0  =  sum_ k  e.  b  A )
266264, 265mpbir 201 . . . . . 6  |-  0  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A )
267 breq2 4158 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0  ->  (
x  <  y  <->  x  <  0 ) )
268267rspcev 2996 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ran  (
b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  b  A )  /\  x  <  0 )  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y )
269266, 268mpan 652 . . . . 5  |-  ( x  <  0  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y )
270269adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  )
) )  /\  x  <  0 )  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y )
271 xrlelttric 23958 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
0  <_  x  \/  x  <  0 ) )
272205, 271mpan 652 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( 0  <_  x  \/  x  <  0 ) )
273272ad2antrl 709 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ( 0  <_  x  \/  x  <  0 ) )
274254, 270, 273mpjaodan 762 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  E. y  e.  ran  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  b  A ) x  < 
y )
2752, 84, 189, 274eqsupd 7396 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  b  A ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) )
276 nfv 1626 . . 3  |-  F/ k
ph
277 nfcv 2524 . . 3  |-  F/_ k NN
278 nnex 9939 . . . 4  |-  NN  e.  _V
279278a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
280 icossicc 23966 . . . 4  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
0 [,]  +oo )
281280, 6sseldi 3290 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
282 elex 2908 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  b  e.  _V )
283282adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  b  e.  _V )
284 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( k  e.  b  |->  A )  =  ( k  e.  b  |->  A )
285120, 284fmptd 5833 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
k  e.  b  |->  A ) : b --> ( 0 [,)  +oo )
)
286 esumpfinvallem 24261 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  _V  /\  ( k  e.  b 
|->  A ) : b --> ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  b 
|->  A ) )  =  ( ( RR* ss  (
0 [,]  +oo ) ) 
gsumg  ( k  e.  b 
|->  A ) ) )
287283, 285, 286syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  b 
|->  A ) )  =  ( ( RR* ss  (
0 [,]  +oo ) ) 
gsumg  ( k  e.  b 
|->  A ) ) )
288121recnd 9048 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  b )  ->  A  e.  CC )
289112, 288gsumfsum 16690 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  b 
|->  A ) )  = 
sum_ k  e.  b  A )
290287, 289eqtr3d 2422 . . 3  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )  gsumg  ( k  e.  b  |->  A ) )  =  sum_ k  e.  b  A )
291276, 277, 279, 281, 290esumval 24238 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  NN A  =  sup ( ran  (
b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  b  A ) ,  RR* ,  <  ) )
2923, 5, 36, 54, 82isumclim 12469 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  A  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( l  e.  NN  |->  B ) ) ,  RR ,  <  ) )
293275, 291, 2923eqtr4d 2430 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  NN A  = 
sum_ k  e.  NN  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   E.wrex 2651   _Vcvv 2900    i^i cin 3263    C_ wss 3264   (/)c0 3572   ~Pcpw 3743   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208    Or wor 4444   dom cdm 4819   ran crn 4820    Fn wfn 5390   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Fincfn 7046   supcsup 7381   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    +oocpnf 9051    -oocmnf 9052   RR*cxr 9053    < clt 9054    <_ cle 9055   NNcn 9933   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421   (,)cioo 10849   [,)cico 10851   [,]cicc 10852   ...cfz 10976    seq cseq 11251    ~~> cli 12206   sum_csu 12407   ↾s cress 13398   RR* scxrs 13650    gsumg cgsu 13652  ℂfldccnfld 16627  Σ*cesum 24221
This theorem is referenced by:  esumcvg  24273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xadd 10644  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-ordt 13653  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-ps 14557  df-tsr 14558  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-cring 15592  df-ur 15593  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-ntr 17008  df-nei 17086  df-cn 17214  df-haus 17302  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-tsms 18078  df-esum 24222
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