Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eucalg Unicode version

Theorem eucalg 12757
 Description: Euclid's Algorithm computes the greatest common divisor of two nonnegative integers by repeatedly replacing the larger of them with its remainder modulo the smaller until the remainder is 0. Upon halting, the 1st member of the final state is equal to the gcd of the values comprising the input state . (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eucalgval.1
eucalg.2
eucalg.3
Assertion
Ref Expression
eucalg
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)

Proof of Theorem eucalg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10262 . . . . . . . 8
2 eucalg.2 . . . . . . . 8
3 0z 10035 . . . . . . . . 9
43a1i 10 . . . . . . . 8
5 eucalg.3 . . . . . . . . 9
6 opelxpi 4721 . . . . . . . . 9
75, 6syl5eqel 2367 . . . . . . . 8
8 eucalgval.1 . . . . . . . . . 10
98eucalgf 12753 . . . . . . . . 9
109a1i 10 . . . . . . . 8
111, 2, 4, 7, 10algrf 12743 . . . . . . 7
12 ffvelrn 5663 . . . . . . 7
1311, 12sylancom 648 . . . . . 6
14 1st2nd2 6159 . . . . . 6
1513, 14syl 15 . . . . 5
1615fveq2d 5529 . . . 4
17 df-ov 5861 . . . 4
1816, 17syl6eqr 2333 . . 3
195fveq2i 5528 . . . . . . . 8
20 op2ndg 6133 . . . . . . . 8
2119, 20syl5eq 2327 . . . . . . 7
2221fveq2d 5529 . . . . . 6
2322fveq2d 5529 . . . . 5
24 xp2nd 6150 . . . . . . . . 9
2524nn0zd 10115 . . . . . . . 8
26 uzid 10242 . . . . . . . 8
2725, 26syl 15 . . . . . . 7
28 eqid 2283 . . . . . . . 8
298, 2, 28eucalgcvga 12756 . . . . . . 7
3027, 29mpd 14 . . . . . 6
317, 30syl 15 . . . . 5
3223, 31eqtr3d 2317 . . . 4
3332oveq2d 5874 . . 3
34 xp1st 6149 . . . 4
35 nn0gcdid0 12704 . . . 4
3613, 34, 353syl 18 . . 3
3718, 33, 363eqtrrd 2320 . 2
38 gcdf 12698 . . . . . . 7
39 ffn 5389 . . . . . . 7
4038, 39ax-mp 8 . . . . . 6
41 nn0ssz 10044 . . . . . . 7
42 xpss12 4792 . . . . . . 7
4341, 41, 42mp2an 653 . . . . . 6
44 fnssres 5357 . . . . . 6
4540, 43, 44mp2an 653 . . . . 5
468eucalginv 12754 . . . . . 6
479ffvelrni 5664 . . . . . . 7
48 fvres 5542 . . . . . . 7
4947, 48syl 15 . . . . . 6
50 fvres 5542 . . . . . 6
5146, 49, 503eqtr4d 2325 . . . . 5
522, 9, 45, 51alginv 12745 . . . 4
537, 52sylancom 648 . . 3
54 fvres 5542 . . . 4
5513, 54syl 15 . . 3
56 0nn0 9980 . . . . 5
57 ffvelrn 5663 . . . . 5
5811, 56, 57sylancl 643 . . . 4
59 fvres 5542 . . . 4
6058, 59syl 15 . . 3
6153, 55, 603eqtr3d 2323 . 2
621, 2, 4, 7algr0 12742 . . . . 5
6362, 5syl6eq 2331 . . . 4
6463fveq2d 5529 . . 3
65 df-ov 5861 . . 3
6664, 65syl6eqr 2333 . 2
6737, 61, 663eqtrd 2319 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   wss 3152  cif 3565  csn 3640  cop 3643   cxp 4687   cres 4691   ccom 4693   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmpt2 5860  c1st 6120  c2nd 6121  cc0 8737  cn0 9965  cz 10024  cuz 10230   cmo 10973   cseq 11046   cgcd 12685 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686
 Copyright terms: Public domain W3C validator