MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eucalgf Structured version   Unicode version

Theorem eucalgf 13076
Description: Domain and codomain of the step function  E for Euclid's Algorithm. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eucalgval.1  |-  E  =  ( x  e.  NN0 ,  y  e.  NN0  |->  if ( y  =  0 , 
<. x ,  y >. ,  <. y ,  ( x  mod  y )
>. ) )
Assertion
Ref Expression
eucalgf  |-  E :
( NN0  X.  NN0 ) --> ( NN0  X.  NN0 )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    E( x, y)

Proof of Theorem eucalgf
StepHypRef Expression
1 nnne0 10034 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
21adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN )  ->  y  =/=  0 )
32neneqd 2619 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN )  ->  -.  y  =  0 )
4 iffalse 3748 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  =  0  ->  if ( y  =  0 ,  <. x ,  y
>. ,  <. y ,  ( x  mod  y
) >. )  =  <. y ,  ( x  mod  y ) >. )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN )  ->  if ( y  =  0 ,  <. x ,  y >. ,  <. y ,  ( x  mod  y ) >. )  =  <. y ,  ( x  mod  y )
>. )
6 nnnn0 10230 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
76adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  NN0 )
8 nn0z 10306 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  ZZ )
9 zmodcl 11268 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  mod  y
)  e.  NN0 )
108, 9sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  mod  y
)  e.  NN0 )
11 opelxpi 4912 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( x  mod  y )  e.  NN0 )  ->  <. y ,  ( x  mod  y ) >.  e.  ( NN0  X.  NN0 ) )
127, 10, 11syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN )  -> 
<. y ,  ( x  mod  y ) >.  e.  ( NN0  X.  NN0 ) )
135, 12eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN )  ->  if ( y  =  0 ,  <. x ,  y >. ,  <. y ,  ( x  mod  y ) >. )  e.  ( NN0  X.  NN0 ) )
1413adantlr 697 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  /\  y  e.  NN )  ->  if ( y  =  0 ,  <. x ,  y >. ,  <. y ,  ( x  mod  y ) >. )  e.  ( NN0  X.  NN0 ) )
15 iftrue 3747 . . . . . 6  |-  ( y  =  0  ->  if ( y  =  0 ,  <. x ,  y
>. ,  <. y ,  ( x  mod  y
) >. )  =  <. x ,  y >. )
1615adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  /\  y  =  0
)  ->  if (
y  =  0 , 
<. x ,  y >. ,  <. y ,  ( x  mod  y )
>. )  =  <. x ,  y >. )
17 opelxpi 4912 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( NN0  X.  NN0 ) )
1817adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  /\  y  =  0
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( NN0  X.  NN0 ) )
1916, 18eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  /\  y  =  0
)  ->  if (
y  =  0 , 
<. x ,  y >. ,  <. y ,  ( x  mod  y )
>. )  e.  ( NN0  X.  NN0 ) )
20 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
y  e.  NN0 )
21 elnn0 10225 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN0  <->  ( y  e.  NN  \/  y  =  0 ) )
2220, 21sylib 190 . . . 4  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( y  e.  NN  \/  y  =  0
) )
2314, 19, 22mpjaodan 763 . . 3  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  ->  if ( y  =  0 ,  <. x ,  y
>. ,  <. y ,  ( x  mod  y
) >. )  e.  ( NN0  X.  NN0 )
)
2423rgen2a 2774 . 2  |-  A. x  e.  NN0  A. y  e. 
NN0  if ( y  =  0 ,  <. x ,  y >. ,  <. y ,  ( x  mod  y ) >. )  e.  ( NN0  X.  NN0 )
25 eucalgval.1 . . 3  |-  E  =  ( x  e.  NN0 ,  y  e.  NN0  |->  if ( y  =  0 , 
<. x ,  y >. ,  <. y ,  ( x  mod  y )
>. ) )
2625fmpt2 6420 . 2  |-  ( A. x  e.  NN0  A. y  e.  NN0  if ( y  =  0 ,  <. x ,  y >. ,  <. y ,  ( x  mod  y ) >. )  e.  ( NN0  X.  NN0 ) 
<->  E : ( NN0 
X.  NN0 ) --> ( NN0 
X.  NN0 ) )
2724, 26mpbi 201 1  |-  E :
( NN0  X.  NN0 ) --> ( NN0  X.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   ifcif 3741   <.cop 3819    X. cxp 4878   -->wf 5452  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085   0cc0 8992   NNcn 10002   NN0cn0 10223   ZZcz 10284    mod cmo 11252
This theorem is referenced by:  eucalgcvga  13079  eucalg  13080
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fl 11204  df-mod 11253
  Copyright terms: Public domain W3C validator