MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  euclemma Unicode version

Theorem euclemma 12995
Description: Euclid's lemma. A prime number divides the product of two integers iff it divides at least one of them. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
euclemma  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( M  x.  N )  <->  ( P  ||  M  \/  P  ||  N ) ) )

Proof of Theorem euclemma
StepHypRef Expression
1 coprm 12987 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  M  <->  ( P  gcd  M )  =  1 ) )
213adant3 976 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  M  <->  ( P  gcd  M )  =  1 ) )
32anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( P  ||  ( M  x.  N )  /\  -.  P  ||  M
)  <->  ( P  ||  ( M  x.  N
)  /\  ( P  gcd  M )  =  1 ) ) )
4 prmz 12970 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
5 coprmdvds 12989 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( P  ||  ( M  x.  N )  /\  ( P  gcd  M
)  =  1 )  ->  P  ||  N
) )
64, 5syl3an1 1216 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( P  ||  ( M  x.  N )  /\  ( P  gcd  M
)  =  1 )  ->  P  ||  N
) )
73, 6sylbid 206 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( P  ||  ( M  x.  N )  /\  -.  P  ||  M
)  ->  P  ||  N
) )
87exp3a 425 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( M  x.  N )  ->  ( -.  P  ||  M  ->  P  ||  N ) ) )
9 df-or 359 . . 3  |-  ( ( P  ||  M  \/  P  ||  N )  <->  ( -.  P  ||  M  ->  P  ||  N ) )
108, 9syl6ibr 218 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( M  x.  N )  ->  ( P  ||  M  \/  P  ||  N ) ) )
11 ordvdsmul 12773 . . 3  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( P  ||  M  \/  P  ||  N )  ->  P  ||  ( M  x.  N )
) )
124, 11syl3an1 1216 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( P  ||  M  \/  P  ||  N )  ->  P  ||  ( M  x.  N )
) )
1310, 12impbid 183 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( M  x.  N )  <->  ( P  ||  M  \/  P  ||  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   class class class wbr 4125  (class class class)co 5981   1c1 8885    x. cmul 8889   ZZcz 10175    || cdivides 12739    gcd cgcd 12893   Primecprime 12966
This theorem is referenced by:  isprm6  12996  prmdvdsexp  13001  prmfac1  13005  pcpremul  13104  4sqlem11  13210  ablfac1eulem  15517  znfld  16731  wilthlem1  20529  mumul  20642  lgslem1  20758  lgsdir2  20790  lgsqrlem2  20804  2sqlem4  20829  2sqlem6  20831  pdivsq  24843
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-rp 10506  df-fl 11089  df-mod 11138  df-seq 11211  df-exp 11270  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-dvds 12740  df-gcd 12894  df-prm 12967
  Copyright terms: Public domain W3C validator