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Theorem eujustALT 2286
Description: A soundness justification theorem for df-eu 2287, showing that the definition is equivalent to itself with its dummy variable renamed. Note that  y and  z needn't be distinct variables. While this isn't strictly necessary for soundness, the proof provides an example of how it can be achieved through the use of dvelim 2074. (Contributed by NM, 11-Mar-2010.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
eujustALT  |-  ( E. y A. x (
ph 
<->  x  =  y )  <->  E. z A. x (
ph 
<->  x  =  z ) )
Distinct variable groups:    x, y    x, z    ph, y    ph, z
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem eujustALT
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 equequ2 1699 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
x  =  y  <->  x  =  z ) )
21bibi2d 311 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( ph  <->  x  =  y
)  <->  ( ph  <->  x  =  z ) ) )
32albidv 1636 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x ( ph  <->  x  =  y )  <->  A. x
( ph  <->  x  =  z
) ) )
43sps 1771 . . 3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x (
ph 
<->  x  =  y )  <->  A. x ( ph  <->  x  =  z ) ) )
54drex1 2060 . 2  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( E. y A. x ( ph  <->  x  =  y )  <->  E. z A. x ( ph  <->  x  =  z ) ) )
6 hbnae 2044 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  A. y  -.  A. y  y  =  z )
7 hbnae 2044 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  A. z  -.  A. y  y  =  z )
86, 7alrimih 1575 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  A. y A. z  -.  A. y 
y  =  z )
9 ax-17 1627 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x ( ph  <->  x  =  w )  ->  A. z  -.  A. x
( ph  <->  x  =  w
) )
10 equequ2 1699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
x  =  w  <->  x  =  y ) )
1110bibi2d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  <->  x  =  w
)  <->  ( ph  <->  x  =  y ) ) )
1211albidv 1636 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( A. x ( ph  <->  x  =  w )  <->  A. x
( ph  <->  x  =  y
) ) )
1312notbid 287 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( -.  A. x ( ph  <->  x  =  w )  <->  -.  A. x
( ph  <->  x  =  y
) ) )
149, 13dvelim 2074 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( -.  A. x ( ph  <->  x  =  y )  ->  A. z  -.  A. x ( ph  <->  x  =  y ) ) )
1514naecoms 2038 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( -.  A. x ( ph  <->  x  =  y )  ->  A. z  -.  A. x ( ph  <->  x  =  y ) ) )
16 ax-17 1627 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x ( ph  <->  x  =  w )  ->  A. y  -.  A. x
( ph  <->  x  =  w
) )
17 equequ2 1699 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
x  =  w  <->  x  =  z ) )
1817bibi2d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
( ph  <->  x  =  w
)  <->  ( ph  <->  x  =  z ) ) )
1918albidv 1636 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  ( A. x ( ph  <->  x  =  w )  <->  A. x
( ph  <->  x  =  z
) ) )
2019notbid 287 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  ( -.  A. x ( ph  <->  x  =  w )  <->  -.  A. x
( ph  <->  x  =  z
) ) )
2116, 20dvelim 2074 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( -.  A. x ( ph  <->  x  =  z )  ->  A. y  -.  A. x ( ph  <->  x  =  z ) ) )
223notbid 287 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  A. x ( ph  <->  x  =  y )  <->  -.  A. x
( ph  <->  x  =  z
) ) )
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( y  =  z  ->  ( -. 
A. x ( ph  <->  x  =  y )  <->  -.  A. x
( ph  <->  x  =  z
) ) ) )
2415, 21, 23cbv2h 1980 . . . . 5  |-  ( A. y A. z  -.  A. y  y  =  z  ->  ( A. y  -. 
A. x ( ph  <->  x  =  y )  <->  A. z  -.  A. x ( ph  <->  x  =  z ) ) )
258, 24syl 16 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. y  -.  A. x (
ph 
<->  x  =  y )  <->  A. z  -.  A. x
( ph  <->  x  =  z
) ) )
2625notbid 287 . . 3  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( -.  A. y  -.  A. x
( ph  <->  x  =  y
)  <->  -.  A. z  -.  A. x ( ph  <->  x  =  z ) ) )
27 df-ex 1552 . . 3  |-  ( E. y A. x (
ph 
<->  x  =  y )  <->  -.  A. y  -.  A. x ( ph  <->  x  =  y ) )
28 df-ex 1552 . . 3  |-  ( E. z A. x (
ph 
<->  x  =  z )  <->  -.  A. z  -.  A. x ( ph  <->  x  =  z ) )
2926, 27, 283bitr4g 281 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( E. y A. x ( ph  <->  x  =  y )  <->  E. z A. x ( ph  <->  x  =  z ) ) )
305, 29pm2.61i 159 1  |-  ( E. y A. x (
ph 
<->  x  =  y )  <->  E. z A. x (
ph 
<->  x  =  z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178   A.wal 1550   E.wex 1551
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555
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