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Theorem eujustALT 2146
Description: A soundness justification theorem for df-eu 2147, showing that the definition is equivalent to itself with its dummy variable renamed. Note that  y and  z needn't be distinct variables. While this isn't strictly necessary for soundness, the proof provides an example of how it can be achieved through the use of dvelim 1956. (Contributed by NM, 11-Mar-2010.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
eujustALT  |-  ( E. y A. x (
ph 
<->  x  =  y )  <->  E. z A. x (
ph 
<->  x  =  z ) )
Distinct variable groups:    x, y    x, z    ph, y    ph, z
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem eujustALT
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 equequ2 1649 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
x  =  y  <->  x  =  z ) )
21bibi2d 309 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( ph  <->  x  =  y
)  <->  ( ph  <->  x  =  z ) ) )
32albidv 1611 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x ( ph  <->  x  =  y )  <->  A. x
( ph  <->  x  =  z
) ) )
43sps 1739 . . 3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x (
ph 
<->  x  =  y )  <->  A. x ( ph  <->  x  =  z ) ) )
54drex1 1907 . 2  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( E. y A. x ( ph  <->  x  =  y )  <->  E. z A. x ( ph  <->  x  =  z ) ) )
6 hbnae 1895 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  A. y  -.  A. y  y  =  z )
7 hbnae 1895 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  A. z  -.  A. y  y  =  z )
86, 7alrimih 1552 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  A. y A. z  -.  A. y 
y  =  z )
9 ax-17 1603 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x ( ph  <->  x  =  w )  ->  A. z  -.  A. x
( ph  <->  x  =  w
) )
10 equequ2 1649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
x  =  w  <->  x  =  y ) )
1110bibi2d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  <->  x  =  w
)  <->  ( ph  <->  x  =  y ) ) )
1211albidv 1611 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( A. x ( ph  <->  x  =  w )  <->  A. x
( ph  <->  x  =  y
) ) )
1312notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( -.  A. x ( ph  <->  x  =  w )  <->  -.  A. x
( ph  <->  x  =  y
) ) )
149, 13dvelim 1956 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( -.  A. x ( ph  <->  x  =  y )  ->  A. z  -.  A. x ( ph  <->  x  =  y ) ) )
1514naecoms 1888 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( -.  A. x ( ph  <->  x  =  y )  ->  A. z  -.  A. x ( ph  <->  x  =  y ) ) )
16 ax-17 1603 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x ( ph  <->  x  =  w )  ->  A. y  -.  A. x
( ph  <->  x  =  w
) )
17 equequ2 1649 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
x  =  w  <->  x  =  z ) )
1817bibi2d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
( ph  <->  x  =  w
)  <->  ( ph  <->  x  =  z ) ) )
1918albidv 1611 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  ( A. x ( ph  <->  x  =  w )  <->  A. x
( ph  <->  x  =  z
) ) )
2019notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  ( -.  A. x ( ph  <->  x  =  w )  <->  -.  A. x
( ph  <->  x  =  z
) ) )
2116, 20dvelim 1956 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( -.  A. x ( ph  <->  x  =  z )  ->  A. y  -.  A. x ( ph  <->  x  =  z ) ) )
223notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  A. x ( ph  <->  x  =  y )  <->  -.  A. x
( ph  <->  x  =  z
) ) )
2322a1i 10 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( y  =  z  ->  ( -. 
A. x ( ph  <->  x  =  y )  <->  -.  A. x
( ph  <->  x  =  z
) ) ) )
2415, 21, 23cbv2h 1920 . . . . 5  |-  ( A. y A. z  -.  A. y  y  =  z  ->  ( A. y  -. 
A. x ( ph  <->  x  =  y )  <->  A. z  -.  A. x ( ph  <->  x  =  z ) ) )
258, 24syl 15 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. y  -.  A. x (
ph 
<->  x  =  y )  <->  A. z  -.  A. x
( ph  <->  x  =  z
) ) )
2625notbid 285 . . 3  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( -.  A. y  -.  A. x
( ph  <->  x  =  y
)  <->  -.  A. z  -.  A. x ( ph  <->  x  =  z ) ) )
27 df-ex 1529 . . 3  |-  ( E. y A. x (
ph 
<->  x  =  y )  <->  -.  A. y  -.  A. x ( ph  <->  x  =  y ) )
28 df-ex 1529 . . 3  |-  ( E. z A. x (
ph 
<->  x  =  z )  <->  -.  A. z  -.  A. x ( ph  <->  x  =  z ) )
2926, 27, 283bitr4g 279 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( E. y A. x ( ph  <->  x  =  y )  <->  E. z A. x ( ph  <->  x  =  z ) ) )
305, 29pm2.61i 156 1  |-  ( E. y A. x (
ph 
<->  x  =  y )  <->  E. z A. x (
ph 
<->  x  =  z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1527   E.wex 1528
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-ex 1529  df-nf 1532
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