Theorem eulerid 10903

Description: Euler's identity. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
eulerid	|- ((exp` (_i x. pi)) + 1) = 0

Proof of Theorem eulerid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 10897	. . . . . 6 |- pi e. RR
2	1	recni 6818	. . . . 5 |- pi e. CC
3		efival 9110	. . . . 5 |- (pi e. CC -> (exp` (_i x. pi)) = ((cos` pi) + (_i x. (sin` pi))))
4	2, 3	ax-mp 7	. . . 4 |- (exp` (_i x. pi)) = ((cos` pi) + (_i x. (sin` pi)))
5		cospi 10902	. . . . 5 |- (cos` pi) = -u1
6		sinpi 10896	. . . . . . 7 |- (sin` pi) = 0
7	6	opreq2i 4990	. . . . . 6 |- (_i x. (sin` pi)) = (_i x. 0)
8		axicn 6788	. . . . . . 7 |- _i e. CC
9	8	mul01i 6976	. . . . . 6 |- (_i x. 0) = 0
10	7, 9	eqtri 2161	. . . . 5 |- (_i x. (sin` pi)) = 0
11	5, 10	opreq12i 4991	. . . 4 |- ((cos` pi) + (_i x. (sin` pi))) = (-u1 + 0)
12		ax1cn 6787	. . . . . 6 |- 1 e. CC
13	12	negcli 7022	. . . . 5 |- -u1 e. CC
14	13	addid1i 6978	. . . 4 |- (-u1 + 0) = -u1
15	4, 11, 14	3eqtri 2165	. . 3 |- (exp` (_i x. pi)) = -u1
16	15	opreq1i 4989	. 2 |- ((exp` (_i x. pi)) + 1) = (-u1 + 1)
17	12, 12	negsubdii 7086	. 2 |- -u(1 - 1) = (-u1 + 1)
18	12	subidi 7044	. . . 4 |- (1 - 1) = 0
19	18	negeqi 7013	. . 3 |- -u(1 - 1) = -u0
20		neg0 7068	. . 3 |- -u0 = 0
21	19, 20	eqtri 2161	. 2 |- -u(1 - 1) = 0
22	16, 17, 21	3eqtr2i 2167	1 |- ((exp` (_i x. pi)) + 1) = 0

Syntax hints:   = wceq 1586   e. wcel 1588  ` cfv 4131  (class class class)co 4981  CCcc 6750  0cc0 6752  1c1 6753  _ici 6754   + caddc 6755   x. cmul 6757   - cmin 6989  -ucneg 6990  expce 8953  sincsin 8955  cosccos 8956  picpi 8957

This theorem is referenced by:  pilog 10993

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1590  ax-7 1592  ax-gen 1593  ax-8 1594  ax-9 1595  ax-10 1596  ax-11 1597  ax-12 1598  ax-13 1599  ax-14 1600  ax-17 1605  ax-4 1608  ax-5o 1610  ax-6o 1613  ax-9o 1763  ax-10o 1781  ax-16 1854  ax-11o 1864  ax-ext 2123  ax-rep 3596  ax-sep 3606  ax-nul 3613  ax-pow 3649  ax-pr 3687  ax-un 3929  ax-reg 5928  ax-inf2 5964  ax-ac 6314

This theorem depends on definitions:  df-bi 220  df-or 338  df-an 339  df-3or 1103  df-3an 1104  df-ex 1616  df-sb 1816  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2129  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-ne 2268  df-nel 2269  df-ral 2359  df-rex 2360  df-reu 2361  df-rab 2362  df-v 2540  df-sbc 2700  df-csb 2774  df-dif 2830  df-un 2832  df-in 2834  df-ss 2836  df-pss 2838  df-nul 3083  df-if 3181  df-pw 3229  df-sn 3242  df-pr 3243  df-tp 3245  df-op 3246  df-uni 3367  df-int 3401  df-iun 3438  df-iin 3439  df-br 3508  df-opab 3566  df-tr 3580  df-eprel 3744  df-id 3747  df-po 3752  df-so 3764  df-fr 3782  df-we 3798  df-ord 3814  df-on 3815  df-lim 3816  df-suc 3817  df-om 4086  df-xp 4133  df-rel 4134  df-cnv 4135  df-co 4136  df-dm 4137  df-rn 4138  df-res 4139  df-ima 4140  df-fun 4141  df-fn 4142  df-f 4143  df-f1 4144  df-fo 4145  df-f1o 4146  df-fv 4147  df-opr 4983  df-oprab 4984  df-mpt 5099  df-1st 5126  df-2nd 5127  df-iota 5219  df-rdg 5304  df-1o 5344  df-oadd 5346  df-omul 5347  df-er 5479  df-ec 5481  df-qs 5484  df-map 5544  df-en 5588  df-dom 5589  df-sdom 5590  df-undef 5725  df-riota 5729  df-sup 5888  df-r1 5986  df-rank 5987  df-ni 6518  df-pli 6519  df-mi 6520  df-lti 6521  df-plpq 6553  df-mpq 6554  df-enq 6555  df-nq 6556  df-plq 6557  df-mq 6558  df-rq 6559  df-ltq 6560  df-1q 6561  df-np 6604  df-1p 6605  df-plp 6606  df-mp 6607  df-ltp 6608  df-plpr 6682  df-mpr 6683  df-enr 6684  df-nr 6685  df-plr 6686  df-mr 6687  df-ltr 6688  df-0r 6689  df-1r 6690  df-m1r 6691  df-c 6758  df-0 6759  df-1 6760  df-i 6761  df-r 6762  df-plus 6763  df-mul 6764  df-lt 6765  df-pnf 6846  df-mnf 6847  df-xr 6848  df-ltxr 6849  df-le 6850  df-sub 7009  df-neg 7011  df-div 7223  df-n 7441  df-2 7487  df-3 7488  df-4 7489  df-5 7490  df-6 7491  df-7 7492  df-8 7493  df-9 7494  df-rp 7572  df-n0 7649  df-z 7686  df-q 7782  df-fl 7809  df-ioo 7874  df-ioc 7875  df-ico 7876  df-icc 7877  df-uz 7934  df-fz 7999  df-seq1 8094  df-shft 8129  df-seqz 8151  df-seq0 8152  df-exp 8196  df-sqr 8304  df-re 8385  df-im 8386  df-cj 8387  df-abs 8388  df-fac 8569  df-bc 8594  df-clim 8631  df-sum 8636  df-cncf 8923  df-ef 8958  df-sin 8960  df-cos 8961  df-pi 8962  df-top 9692  df-cn 9896  df-cnp 9897  df-met 9936  df-bl 9938  df-opn 9939  df-lm 10066

Copyright terms: Public domain