Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eupa0 Unicode version

Theorem eupa0 23913
Description: There is an Eulerian path on the empty graph. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
eupa0  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  -> 
(/) ( V EulPaths  (/) ) {
<. 0 ,  A >. } )

Proof of Theorem eupa0
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 umgra0 23892 . . 3  |-  ( V  e.  W  ->  V UMGrph  (/) )
21adantr 451 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  V UMGrph  (/) )
3 0nn0 9996 . . . 4  |-  0  e.  NN0
43a1i 10 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  0  e.  NN0 )
5 f1o0 5526 . . . 4  |-  (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
65a1i 10 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  -> 
(/) : (/) -1-1-onto-> (/) )
7 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  A  e.  V )
8 f1osng 5530 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  A  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } -1-1-onto-> { A } )
93, 7, 8sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } -1-1-onto-> { A } )
10 f1of 5488 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  A >. } : { 0 } -1-1-onto-> { A }  ->  {
<. 0 ,  A >. } : { 0 } --> { A }
)
119, 10syl 15 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> { A }
)
127snssd 3776 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  { A }  C_  V )
13 fss 5413 . . . 4  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> { A }  /\  { A }  C_  V )  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> V )
1411, 12, 13syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> V )
15 ral0 3571 . . . 4  |-  A. k  e.  (/)  ( (/) `  ( (/) `  k ) )  =  { ( { <. 0 ,  A >. } `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( { <. 0 ,  A >. } `  k
) }
1615a1i 10 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  A. k  e.  (/)  ( (/) `  ( (/) `  k ) )  =  { ( { <. 0 ,  A >. } `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( { <. 0 ,  A >. } `  k
) } )
17 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... 0
) )
18 fz10 10830 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
1917, 18syl6eq 2344 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
1 ... n )  =  (/) )
20 f1oeq2 5480 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... n )  =  (/)  ->  ( (/) : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> (/)  <->  (/) :
(/)
-1-1-onto-> (/) ) )
2119, 20syl 15 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  ( (/)
: ( 1 ... n ) -1-1-onto-> (/)  <->  (/) : (/) -1-1-onto-> (/) ) )
22 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... 0
) )
23 0z 10051 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
24 fzsn 10849 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
2523, 24ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
2622, 25syl6eq 2344 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
0 ... n )  =  { 0 } )
2726feq2d 5396 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  ( { <. 0 ,  A >. } : ( 0 ... n ) --> V  <->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> V ) )
2819raleqdv 2755 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  ( A. k  e.  (
1 ... n ) (
(/) `  ( (/) `  k
) )  =  {
( { <. 0 ,  A >. } `  (
k  -  1 ) ) ,  ( {
<. 0 ,  A >. } `  k ) }  <->  A. k  e.  (/)  ( (/) `  ( (/) `  k ) )  =  { ( { <. 0 ,  A >. } `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( { <. 0 ,  A >. } `  k
) } ) )
2921, 27, 283anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  (
( (/) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> (/)  /\  { <. 0 ,  A >. } : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) (
(/) `  ( (/) `  k
) )  =  {
( { <. 0 ,  A >. } `  (
k  -  1 ) ) ,  ( {
<. 0 ,  A >. } `  k ) } )  <->  ( (/) : (/) -1-1-onto-> (/)  /\  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> V  /\  A. k  e.  (/)  ( (/) `  ( (/) `  k ) )  =  { ( { <. 0 ,  A >. } `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( { <. 0 ,  A >. } `  k
) } ) ) )
3029rspcev 2897 . . 3  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( (/) : (/) -1-1-onto-> (/)  /\  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> V  /\  A. k  e.  (/)  ( (/) `  ( (/) `  k ) )  =  { ( { <. 0 ,  A >. } `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( { <. 0 ,  A >. } `  k
) } ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( (/) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> (/)  /\  { <. 0 ,  A >. } : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) (
(/) `  ( (/) `  k
) )  =  {
( { <. 0 ,  A >. } `  (
k  -  1 ) ) ,  ( {
<. 0 ,  A >. } `  k ) } ) )
314, 6, 14, 16, 30syl13anc 1184 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  E. n  e.  NN0  ( (/) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> (/)  /\  { <. 0 ,  A >. } : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) (
(/) `  ( (/) `  k
) )  =  {
( { <. 0 ,  A >. } `  (
k  -  1 ) ) ,  ( {
<. 0 ,  A >. } `  k ) } ) )
32 dm0 4908 . . 3  |-  dom  (/)  =  (/)
33 iseupa 23896 . . 3  |-  ( dom  (/)  =  (/)  ->  ( (/) ( V EulPaths  (/) ) { <. 0 ,  A >. }  <-> 
( V UMGrph  (/)  /\  E. n  e.  NN0  ( (/) : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> (/) 
/\  { <. 0 ,  A >. } : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( (/) `  ( (/) `  k ) )  =  { ( { <. 0 ,  A >. } `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( { <. 0 ,  A >. } `  k
) } ) ) ) )
3432, 33ax-mp 8 . 2  |-  ( (/) ( V EulPaths  (/) ) { <. 0 ,  A >. }  <-> 
( V UMGrph  (/)  /\  E. n  e.  NN0  ( (/) : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> (/) 
/\  { <. 0 ,  A >. } : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( (/) `  ( (/) `  k ) )  =  { ( { <. 0 ,  A >. } `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( { <. 0 ,  A >. } `  k
) } ) ) )
352, 31, 34sylanbrc 645 1  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  -> 
(/) ( V EulPaths  (/) ) {
<. 0 ,  A >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   {cpr 3654   <.cop 3656   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754    - cmin 9053   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ...cfz 10798   UMGrph cumg 23875   EulPaths ceup 23876
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-umgra 23878  df-eupa 23879
  Copyright terms: Public domain W3C validator