MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupa0 Structured version   Unicode version

Theorem eupa0 21696
Description: There is an Eulerian path on the empty graph. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
eupa0  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  -> 
(/) ( V EulPaths  (/) ) {
<. 0 ,  A >. } )

Proof of Theorem eupa0
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 umgra0 21360 . . 3  |-  ( V  e.  W  ->  V UMGrph  (/) )
21adantr 452 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  V UMGrph  (/) )
3 0nn0 10236 . . . 4  |-  0  e.  NN0
43a1i 11 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  0  e.  NN0 )
5 f1o0 5712 . . . 4  |-  (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  -> 
(/) : (/) -1-1-onto-> (/) )
7 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  A  e.  V )
8 f1osng 5716 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  A  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } -1-1-onto-> { A } )
93, 7, 8sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } -1-1-onto-> { A } )
10 f1of 5674 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  A >. } : { 0 } -1-1-onto-> { A }  ->  {
<. 0 ,  A >. } : { 0 } --> { A }
)
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> { A }
)
127snssd 3943 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  { A }  C_  V )
13 fss 5599 . . . 4  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> { A }  /\  { A }  C_  V )  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> V )
1411, 12, 13syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> V )
15 ral0 3732 . . . 4  |-  A. k  e.  (/)  ( (/) `  ( (/) `  k ) )  =  { ( { <. 0 ,  A >. } `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( { <. 0 ,  A >. } `  k
) }
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  A. k  e.  (/)  ( (/) `  ( (/) `  k ) )  =  { ( { <. 0 ,  A >. } `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( { <. 0 ,  A >. } `  k
) } )
17 oveq2 6089 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... 0
) )
18 fz10 11075 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
1917, 18syl6eq 2484 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
1 ... n )  =  (/) )
20 f1oeq2 5666 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... n )  =  (/)  ->  ( (/) : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> (/)  <->  (/) :
(/)
-1-1-onto-> (/) ) )
2119, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  ( (/)
: ( 1 ... n ) -1-1-onto-> (/)  <->  (/) : (/) -1-1-onto-> (/) ) )
22 oveq2 6089 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... 0
) )
23 0z 10293 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
24 fzsn 11094 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
2523, 24ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
2622, 25syl6eq 2484 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
0 ... n )  =  { 0 } )
2726feq2d 5581 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  ( { <. 0 ,  A >. } : ( 0 ... n ) --> V  <->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> V ) )
2819raleqdv 2910 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  ( A. k  e.  (
1 ... n ) (
(/) `  ( (/) `  k
) )  =  {
( { <. 0 ,  A >. } `  (
k  -  1 ) ) ,  ( {
<. 0 ,  A >. } `  k ) }  <->  A. k  e.  (/)  ( (/) `  ( (/) `  k ) )  =  { ( { <. 0 ,  A >. } `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( { <. 0 ,  A >. } `  k
) } ) )
2921, 27, 283anbi123d 1254 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  (
( (/) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> (/)  /\  { <. 0 ,  A >. } : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) (
(/) `  ( (/) `  k
) )  =  {
( { <. 0 ,  A >. } `  (
k  -  1 ) ) ,  ( {
<. 0 ,  A >. } `  k ) } )  <->  ( (/) : (/) -1-1-onto-> (/)  /\  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> V  /\  A. k  e.  (/)  ( (/) `  ( (/) `  k ) )  =  { ( { <. 0 ,  A >. } `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( { <. 0 ,  A >. } `  k
) } ) ) )
3029rspcev 3052 . . 3  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( (/) : (/) -1-1-onto-> (/)  /\  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> V  /\  A. k  e.  (/)  ( (/) `  ( (/) `  k ) )  =  { ( { <. 0 ,  A >. } `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( { <. 0 ,  A >. } `  k
) } ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( (/) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> (/)  /\  { <. 0 ,  A >. } : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) (
(/) `  ( (/) `  k
) )  =  {
( { <. 0 ,  A >. } `  (
k  -  1 ) ) ,  ( {
<. 0 ,  A >. } `  k ) } ) )
314, 6, 14, 16, 30syl13anc 1186 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  E. n  e.  NN0  ( (/) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> (/)  /\  { <. 0 ,  A >. } : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) (
(/) `  ( (/) `  k
) )  =  {
( { <. 0 ,  A >. } `  (
k  -  1 ) ) ,  ( {
<. 0 ,  A >. } `  k ) } ) )
32 dm0 5083 . . 3  |-  dom  (/)  =  (/)
33 iseupa 21687 . . 3  |-  ( dom  (/)  =  (/)  ->  ( (/) ( V EulPaths  (/) ) { <. 0 ,  A >. }  <-> 
( V UMGrph  (/)  /\  E. n  e.  NN0  ( (/) : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> (/) 
/\  { <. 0 ,  A >. } : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( (/) `  ( (/) `  k ) )  =  { ( { <. 0 ,  A >. } `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( { <. 0 ,  A >. } `  k
) } ) ) ) )
3432, 33ax-mp 8 . 2  |-  ( (/) ( V EulPaths  (/) ) { <. 0 ,  A >. }  <-> 
( V UMGrph  (/)  /\  E. n  e.  NN0  ( (/) : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> (/) 
/\  { <. 0 ,  A >. } : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( (/) `  ( (/) `  k ) )  =  { ( { <. 0 ,  A >. } `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( { <. 0 ,  A >. } `  k
) } ) ) )
352, 31, 34sylanbrc 646 1  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  -> 
(/) ( V EulPaths  (/) ) {
<. 0 ,  A >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814   {cpr 3815   <.cop 3817   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   -->wf 5450   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   0cc0 8990   1c1 8991    - cmin 9291   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ...cfz 11043   UMGrph cumg 21347   EulPaths ceup 21684
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-umgra 21348  df-eupa 21685
  Copyright terms: Public domain W3C validator