MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupacl Unicode version

Theorem eupacl 21541
Description: An Eulerian path has length  # ( F ), which is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
eupacl  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem eupacl
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupagra 21538 . . . . 5  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  V UMGrph  E )
2 umgraf2 21221 . . . . 5  |-  ( V UMGrph  E  ->  E : dom  E --> { k  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  k )  <_  2 } )
3 ffn 5533 . . . . 5  |-  ( E : dom  E --> { k  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  k
)  <_  2 }  ->  E  Fn  dom  E
)
41, 2, 33syl 19 . . . 4  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  E  Fn  dom  E )
5 eupai 21539 . . . 4  |-  ( ( F ( V EulPaths  E ) P  /\  E  Fn  dom  E )  ->  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) )
64, 5mpdan 650 . . 3  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) -1-1-onto-> dom 
E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) )
76simpld 446 . 2  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V ) )
87simp1d 969 1  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   {crab 2655    \ cdif 3262   (/)c0 3573   ~Pcpw 3744   {csn 3759   {cpr 3760   class class class wbr 4155   dom cdm 4820    Fn wfn 5391   -->wf 5392   -1-1-onto->wf1o 5395   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   0cc0 8925   1c1 8926    <_ cle 9056    - cmin 9225   2c2 9983   NN0cn0 10155   ...cfz 10977   #chash 11547   UMGrph cumg 21216   EulPaths ceup 21534
This theorem is referenced by:  eupap1  21548  eupath2lem3  21551  eupath2  21552
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-er 6843  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-hash 11548  df-umgra 21217  df-eupa 21535
  Copyright terms: Public domain W3C validator