Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupap1 Structured version   Unicode version

Theorem eupap1 21698
 Description: Append one path segment to an Eulerian path (enlarging the graph to add the new edge). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eupap1.e
eupap1.a
eupap1.b
eupap1.c
eupap1.d
eupap1.g EulPaths
eupap1.n
eupap1.f
eupap1.h
eupap1.q
Assertion
Ref Expression
eupap1 EulPaths

Proof of Theorem eupap1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupap1.e . . . 4
2 eupap1.b . . . . . 6
3 prex 4406 . . . . . 6
4 f1osng 5716 . . . . . 6
52, 3, 4sylancl 644 . . . . 5
6 f1ofn 5675 . . . . 5
75, 6syl 16 . . . 4
8 eupap1.d . . . . 5
9 disjsn 3868 . . . . 5
108, 9sylibr 204 . . . 4
11 eupap1.g . . . . 5 EulPaths
12 eupagra 21688 . . . . 5 EulPaths UMGrph
1311, 12syl 16 . . . 4 UMGrph
14 relumgra 21349 . . . . . . 7 UMGrph
1514brrelexi 4918 . . . . . 6 UMGrph
1613, 15syl 16 . . . . 5
17 eupapf 21694 . . . . . . 7 EulPaths
1811, 17syl 16 . . . . . 6
19 eupap1.n . . . . . . . . . 10
20 eupacl 21691 . . . . . . . . . . 11 EulPaths
2111, 20syl 16 . . . . . . . . . 10
2219, 21eqeltrd 2510 . . . . . . . . 9
23 nn0uz 10520 . . . . . . . . 9
2422, 23syl6eleq 2526 . . . . . . . 8
25 eluzfz2 11065 . . . . . . . 8
2624, 25syl 16 . . . . . . 7
2719oveq2d 6097 . . . . . . 7
2826, 27eleqtrd 2512 . . . . . 6
2918, 28ffvelrnd 5871 . . . . 5
30 eupap1.c . . . . 5
31 umgra1 21361 . . . . 5 UMGrph
3216, 2, 29, 30, 31syl22anc 1185 . . . 4 UMGrph
331, 7, 10, 13, 32umgraun 21363 . . 3 UMGrph
34 eupap1.f . . 3
3533, 34syl6breqr 4252 . 2 UMGrph
36 peano2nn0 10260 . . . 4
3722, 36syl 16 . . 3
38 eupaf1o 21692 . . . . . . . 8 EulPaths
3911, 1, 38syl2anc 643 . . . . . . 7
4019oveq2d 6097 . . . . . . . 8
41 f1oeq2 5666 . . . . . . . 8
4240, 41syl 16 . . . . . . 7
4339, 42mpbird 224 . . . . . 6
44 f1osng 5716 . . . . . . 7
4537, 2, 44syl2anc 643 . . . . . 6
46 fzp1disj 11105 . . . . . . 7
4746a1i 11 . . . . . 6
48 f1oun 5694 . . . . . 6
4943, 45, 47, 10, 48syl22anc 1185 . . . . 5
50 eupap1.h . . . . . 6
51 f1oeq1 5665 . . . . . 6
5250, 51ax-mp 8 . . . . 5
5349, 52sylibr 204 . . . 4
54 1z 10311 . . . . . 6
55 1m1e0 10068 . . . . . . . 8
5655fveq2i 5731 . . . . . . 7
5724, 56syl6eleqr 2527 . . . . . 6
58 fzsuc2 11104 . . . . . 6
5954, 57, 58sylancr 645 . . . . 5
60 f1oeq2 5666 . . . . 5
6159, 60syl 16 . . . 4
6253, 61mpbird 224 . . 3
6327feq2d 5581 . . . . . 6
6418, 63mpbird 224 . . . . 5
65 f1osng 5716 . . . . . . . 8
6637, 30, 65syl2anc 643 . . . . . . 7
67 f1of 5674 . . . . . . 7
6866, 67syl 16 . . . . . 6
6930snssd 3943 . . . . . 6
70 fss 5599 . . . . . 6
7168, 69, 70syl2anc 643 . . . . 5
72 fzp1disj 11105 . . . . . 6
7372a1i 11 . . . . 5
74 fun2 5608 . . . . 5
7564, 71, 73, 74syl21anc 1183 . . . 4
76 eupap1.q . . . . . 6
7776a1i 11 . . . . 5
78 fzsuc 11096 . . . . . 6
7924, 78syl 16 . . . . 5
8077, 79feq12d 5582 . . . 4
8175, 80mpbird 224 . . 3
8234fveq1i 5729 . . . . . . . 8
83 f1of 5674 . . . . . . . . . . . . 13
8443, 83syl 16 . . . . . . . . . . . 12
8584ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . 11
868adantr 452 . . . . . . . . . . 11
87 nelne2 2694 . . . . . . . . . . 11
8885, 86, 87syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
8988necomd 2687 . . . . . . . . 9
90 fvunsn 5925 . . . . . . . . 9
9189, 90syl 16 . . . . . . . 8
9282, 91syl5eq 2480 . . . . . . 7
9350fveq1i 5729 . . . . . . . . 9
94 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . . 13
9594adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
9695nnred 10015 . . . . . . . . . . 11
9722nn0red 10275 . . . . . . . . . . . . 13
9897adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
9937nn0red 10275 . . . . . . . . . . . . 13
10099adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
101 elfzle2 11061 . . . . . . . . . . . . 13
102101adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
10397ltp1d 9941 . . . . . . . . . . . . 13
104103adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
10596, 98, 100, 102, 104lelttrd 9228 . . . . . . . . . . 11
10696, 105gtned 9208 . . . . . . . . . 10
107 fvunsn 5925 . . . . . . . . . 10
108106, 107syl 16 . . . . . . . . 9
10993, 108syl5eq 2480 . . . . . . . 8
110109fveq2d 5732 . . . . . . 7
11176fveq1i 5729 . . . . . . . . . 10
112 peano2rem 9367 . . . . . . . . . . . . 13
11396, 112syl 16 . . . . . . . . . . . 12
11496ltm1d 9943 . . . . . . . . . . . . 13
115113, 96, 100, 114, 105lttrd 9231 . . . . . . . . . . . 12
116113, 115gtned 9208 . . . . . . . . . . 11
117 fvunsn 5925 . . . . . . . . . . 11
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . 10
119111, 118syl5eq 2480 . . . . . . . . 9
12076fveq1i 5729 . . . . . . . . . 10
121 fvunsn 5925 . . . . . . . . . . 11
122106, 121syl 16 . . . . . . . . . 10
123120, 122syl5eq 2480 . . . . . . . . 9
124119, 123preq12d 3891 . . . . . . . 8
12511adantr 452 . . . . . . . . 9 EulPaths
12640eleq2d 2503 . . . . . . . . . 10
127126biimpa 471 . . . . . . . . 9
128 eupaseg 21695 . . . . . . . . 9 EulPaths
129125, 127, 128syl2anc 643 . . . . . . . 8
130124, 129eqtr4d 2471 . . . . . . 7
13192, 110, 1303eqtr4d 2478 . . . . . 6
132131ralrimiva 2789 . . . . 5
13334fveq1i 5729 . . . . . . . . . 10
134 fnun 5551 . . . . . . . . . . . . 13
1351, 7, 10, 134syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . 12
136 fnfun 5542 . . . . . . . . . . . 12
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . 11
138 ssun2 3511 . . . . . . . . . . . 12
139138a1i 11 . . . . . . . . . . 11
140 snidg 3839 . . . . . . . . . . . . 13
1412, 140syl 16 . . . . . . . . . . . 12
1423dmsnop 5344 . . . . . . . . . . . 12
143141, 142syl6eleqr 2527 . . . . . . . . . . 11
144 funssfv 5746 . . . . . . . . . . 11
145137, 139, 143, 144syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
146133, 145syl5eq 2480 . . . . . . . . 9
147 fvsng 5927 . . . . . . . . . 10
1482, 3, 147sylancl 644 . . . . . . . . 9
149146, 148eqtrd 2468 . . . . . . . 8
15050fveq1i 5729 . . . . . . . . . . 11
151 f1ofun 5676 . . . . . . . . . . . . 13
15249, 151syl 16 . . . . . . . . . . . 12
153 ssun2 3511 . . . . . . . . . . . . 13
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
155 snidg 3839 . . . . . . . . . . . . . 14
15637, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
157 dmsnopg 5341 . . . . . . . . . . . . . 14
1582, 157syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
159156, 158eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . 12
160 funssfv 5746 . . . . . . . . . . . 12
161152, 154, 159, 160syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
162150, 161syl5eq 2480 . . . . . . . . . 10
163 fvsng 5927 . . . . . . . . . . 11
16437, 2, 163syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
165162, 164eqtrd 2468 . . . . . . . . 9
166165fveq2d 5732 . . . . . . . 8
16797recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12
168 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . 12
169 pncan 9311 . . . . . . . . . . . 12
170167, 168, 169sylancl 644 . . . . . . . . . . 11
171170fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10
17276fveq1i 5729 . . . . . . . . . . 11
17397, 103gtned 9208 . . . . . . . . . . . 12
174 fvunsn 5925 . . . . . . . . . . . 12
175173, 174syl 16 . . . . . . . . . . 11
176172, 175syl5eq 2480 . . . . . . . . . 10
177171, 176eqtrd 2468 . . . . . . . . 9
17876fveq1i 5729 . . . . . . . . . . 11
179 ffun 5593 . . . . . . . . . . . . 13
18075, 179syl 16 . . . . . . . . . . . 12
181 ssun2 3511 . . . . . . . . . . . . 13
182181a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
183 dmsnopg 5341 . . . . . . . . . . . . . 14
18430, 183syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
185156, 184eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . 12
186 funssfv 5746 . . . . . . . . . . . 12
187180, 182, 185, 186syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
188178, 187syl5eq 2480 . . . . . . . . . 10
189 fvsng 5927 . . . . . . . . . . 11
19037, 30, 189syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
191188, 190eqtrd 2468 . . . . . . . . 9
192177, 191preq12d 3891 . . . . . . . 8
193149, 166, 1923eqtr4d 2478 . . . . . . 7
194 elsni 3838 . . . . . . . . . 10
195194fveq2d 5732 . . . . . . . . 9
196195fveq2d 5732 . . . . . . . 8
197194oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10
198197fveq2d 5732 . . . . . . . . 9
199194fveq2d 5732 . . . . . . . . 9
200198, 199preq12d 3891 . . . . . . . 8
201196, 200eqeq12d 2450 . . . . . . 7
202193, 201syl5ibrcom 214 . . . . . 6
203202ralrimiv 2788 . . . . 5
204 ralun 3529 . . . . 5
205132, 203, 204syl2anc 643 . . . 4
20659raleqdv 2910 . . . 4
207205, 206mpbird 224 . . 3
208 oveq2 6089 . . . . . 6
209 f1oeq2 5666 . . . . . 6
210208, 209syl 16 . . . . 5
211 oveq2 6089 . . . . . 6
212211feq2d 5581 . . . . 5
213208raleqdv 2910 . . . . 5
214210, 212, 2133anbi123d 1254 . . . 4
215214rspcev 3052 . . 3
21637, 62, 81, 207, 215syl13anc 1186 . 2
21734fneq1i 5539 . . . . 5
218135, 217sylibr 204 . . . 4
219 fndm 5544 . . . 4
220218, 219syl 16 . . 3
221 iseupa 21687 . . 3 EulPaths UMGrph
222220, 221syl 16 . 2 EulPaths UMGrph
22335, 216, 222mpbir2and 889 1 EulPaths
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wrex 2706  cvv 2956   cun 3318   cin 3319   wss 3320  c0 3628  csn 3814  cpr 3815  cop 3817   class class class wbr 4212   cdm 4878   wfun 5448   wfn 5449  wf 5450  wf1o 5453  cfv 5454  (class class class)co 6081  cfn 7109  cc 8988  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   clt 9120   cle 9121   cmin 9291  cn 10000  cn0 10221  cz 10282  cuz 10488  cfz 11043  chash 11618   UMGrph cumg 21347   EulPaths ceup 21684 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-hash 11619  df-umgra 21348  df-eupa 21685
 Copyright terms: Public domain W3C validator