Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eupap1 Unicode version

Theorem eupap1 23915
 Description: Append one path segment to an Eulerian path (enlarging the graph to add the new edge). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eupap1.e
eupap1.a
eupap1.b
eupap1.c
eupap1.d
eupap1.g EulPaths
eupap1.n
eupap1.f
eupap1.h
eupap1.q
Assertion
Ref Expression
eupap1 EulPaths

Proof of Theorem eupap1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupap1.e . . . 4
2 eupap1.b . . . . . 6
3 prex 4233 . . . . . 6
4 f1osng 5530 . . . . . 6
52, 3, 4sylancl 643 . . . . 5
6 f1ofn 5489 . . . . 5
75, 6syl 15 . . . 4
8 eupap1.d . . . . 5
9 disjsn 3706 . . . . 5
108, 9sylibr 203 . . . 4
11 eupap1.g . . . . 5 EulPaths
12 eupagra 23897 . . . . 5 EulPaths UMGrph
1311, 12syl 15 . . . 4 UMGrph
14 relumgra 23881 . . . . . . 7 UMGrph
1514brrelexi 4745 . . . . . 6 UMGrph
1613, 15syl 15 . . . . 5
17 eupapf 23902 . . . . . . 7 EulPaths
1811, 17syl 15 . . . . . 6
19 eupap1.n . . . . . . . . . 10
20 eupacl 23899 . . . . . . . . . . 11 EulPaths
2111, 20syl 15 . . . . . . . . . 10
2219, 21eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9
23 nn0uz 10278 . . . . . . . . 9
2422, 23syl6eleq 2386 . . . . . . . 8
25 eluzfz2 10820 . . . . . . . 8
2624, 25syl 15 . . . . . . 7
2719oveq2d 5890 . . . . . . 7
2826, 27eleqtrd 2372 . . . . . 6
29 ffvelrn 5679 . . . . . 6
3018, 28, 29syl2anc 642 . . . . 5
31 eupap1.c . . . . 5
32 umgra1 23893 . . . . 5 UMGrph
3316, 2, 30, 31, 32syl22anc 1183 . . . 4 UMGrph
341, 7, 10, 13, 33umgraun 23894 . . 3 UMGrph
35 eupap1.f . . 3
3634, 35syl6breqr 4079 . 2 UMGrph
37 peano2nn0 10020 . . . 4
3822, 37syl 15 . . 3
39 eupaf1o 23900 . . . . . . . 8 EulPaths
4011, 1, 39syl2anc 642 . . . . . . 7
4119oveq2d 5890 . . . . . . . 8
42 f1oeq2 5480 . . . . . . . 8
4341, 42syl 15 . . . . . . 7
4440, 43mpbird 223 . . . . . 6
45 f1osng 5530 . . . . . . 7
4638, 2, 45syl2anc 642 . . . . . 6
47 fzp1disj 10859 . . . . . . 7
4847a1i 10 . . . . . 6
49 f1oun 5508 . . . . . 6
5044, 46, 48, 10, 49syl22anc 1183 . . . . 5
51 eupap1.h . . . . . 6
52 f1oeq1 5479 . . . . . 6
5351, 52ax-mp 8 . . . . 5
5450, 53sylibr 203 . . . 4
55 1z 10069 . . . . . 6
56 1m1e0 9830 . . . . . . . 8
5756fveq2i 5544 . . . . . . 7
5824, 57syl6eleqr 2387 . . . . . 6
59 fzsuc2 10858 . . . . . 6
6055, 58, 59sylancr 644 . . . . 5
61 f1oeq2 5480 . . . . 5
6260, 61syl 15 . . . 4
6354, 62mpbird 223 . . 3
6427feq2d 5396 . . . . . 6
6518, 64mpbird 223 . . . . 5
66 f1osng 5530 . . . . . . . 8
6738, 31, 66syl2anc 642 . . . . . . 7
68 f1of 5488 . . . . . . 7
6967, 68syl 15 . . . . . 6
7031snssd 3776 . . . . . 6
71 fss 5413 . . . . . 6
7269, 70, 71syl2anc 642 . . . . 5
73 fzp1disj 10859 . . . . . 6
7473a1i 10 . . . . 5
75 fun2 5422 . . . . 5
7665, 72, 74, 75syl21anc 1181 . . . 4
77 eupap1.q . . . . . 6
7877a1i 10 . . . . 5
79 fzsuc 10851 . . . . . 6
8024, 79syl 15 . . . . 5
8178, 80feq12d 5397 . . . 4
8276, 81mpbird 223 . . 3
8335fveq1i 5542 . . . . . . . 8
84 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . 13
8544, 84syl 15 . . . . . . . . . . . 12
86 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12
8785, 86sylan 457 . . . . . . . . . . 11
888adantr 451 . . . . . . . . . . 11
89 nelne2 2549 . . . . . . . . . . 11
9087, 88, 89syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
9190necomd 2542 . . . . . . . . 9
92 fvunsn 5728 . . . . . . . . 9
9391, 92syl 15 . . . . . . . 8
9483, 93syl5eq 2340 . . . . . . 7
9551fveq1i 5542 . . . . . . . . 9
96 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . 13
9796adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
9897nnred 9777 . . . . . . . . . . 11
9922nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . 13
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
10138nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . 13
102101adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
103 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . 13
104103adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
10599ltp1d 9703 . . . . . . . . . . . . 13
106105adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
10798, 100, 102, 104, 106lelttrd 8990 . . . . . . . . . . 11
10898, 107gtned 8970 . . . . . . . . . 10
109 fvunsn 5728 . . . . . . . . . 10
110108, 109syl 15 . . . . . . . . 9
11195, 110syl5eq 2340 . . . . . . . 8
112111fveq2d 5545 . . . . . . 7
11377fveq1i 5542 . . . . . . . . . 10
114 peano2rem 9129 . . . . . . . . . . . . 13
11598, 114syl 15 . . . . . . . . . . . 12
11698ltm1d 9705 . . . . . . . . . . . . 13
117115, 98, 102, 116, 107lttrd 8993 . . . . . . . . . . . 12
118115, 117gtned 8970 . . . . . . . . . . 11
119 fvunsn 5728 . . . . . . . . . . 11
120118, 119syl 15 . . . . . . . . . 10
121113, 120syl5eq 2340 . . . . . . . . 9
12277fveq1i 5542 . . . . . . . . . 10
123 fvunsn 5728 . . . . . . . . . . 11
124108, 123syl 15 . . . . . . . . . 10
125122, 124syl5eq 2340 . . . . . . . . 9
126121, 125preq12d 3727 . . . . . . . 8
12711adantr 451 . . . . . . . . 9 EulPaths
12841eleq2d 2363 . . . . . . . . . 10
129128biimpa 470 . . . . . . . . 9
130 eupaseg 23903 . . . . . . . . 9 EulPaths
131127, 129, 130syl2anc 642 . . . . . . . 8
132126, 131eqtr4d 2331 . . . . . . 7
13394, 112, 1323eqtr4d 2338 . . . . . 6
134133ralrimiva 2639 . . . . 5
13535fveq1i 5542 . . . . . . . . . 10
136 fnun 5366 . . . . . . . . . . . . 13
1371, 7, 10, 136syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . 12
138 fnfun 5357 . . . . . . . . . . . 12
139137, 138syl 15 . . . . . . . . . . 11
140 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . 12
141140a1i 10 . . . . . . . . . . 11
142 snidg 3678 . . . . . . . . . . . . 13
1432, 142syl 15 . . . . . . . . . . . 12
1443dmsnop 5163 . . . . . . . . . . . 12
145143, 144syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . . 11
146 funssfv 5559 . . . . . . . . . . 11
147139, 141, 145, 146syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10
148135, 147syl5eq 2340 . . . . . . . . 9
149 fvsng 5730 . . . . . . . . . 10
1502, 3, 149sylancl 643 . . . . . . . . 9
151148, 150eqtrd 2328 . . . . . . . 8
15251fveq1i 5542 . . . . . . . . . . 11
153 f1ofun 5490 . . . . . . . . . . . . 13
15450, 153syl 15 . . . . . . . . . . . 12
155 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . 13
156155a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
157 snidg 3678 . . . . . . . . . . . . . 14
15838, 157syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
159 dmsnopg 5160 . . . . . . . . . . . . . 14
1602, 159syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
161158, 160eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . 12
162 funssfv 5559 . . . . . . . . . . . 12
163154, 156, 161, 162syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
164152, 163syl5eq 2340 . . . . . . . . . 10
165 fvsng 5730 . . . . . . . . . . 11
16638, 2, 165syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
167164, 166eqtrd 2328 . . . . . . . . 9
168167fveq2d 5545 . . . . . . . 8
16999recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12
170 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . 12
171 pncan 9073 . . . . . . . . . . . 12
172169, 170, 171sylancl 643 . . . . . . . . . . 11
173172fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10
17477fveq1i 5542 . . . . . . . . . . 11
17599, 105gtned 8970 . . . . . . . . . . . 12
176 fvunsn 5728 . . . . . . . . . . . 12
177175, 176syl 15 . . . . . . . . . . 11
178174, 177syl5eq 2340 . . . . . . . . . 10
179173, 178eqtrd 2328 . . . . . . . . 9
18077fveq1i 5542 . . . . . . . . . . 11
181 ffun 5407 . . . . . . . . . . . . 13
18276, 181syl 15 . . . . . . . . . . . 12
183 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . 13
184183a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
185 dmsnopg 5160 . . . . . . . . . . . . . 14
18631, 185syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
187158, 186eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . 12
188 funssfv 5559 . . . . . . . . . . . 12
189182, 184, 187, 188syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
190180, 189syl5eq 2340 . . . . . . . . . 10
191 fvsng 5730 . . . . . . . . . . 11
19238, 31, 191syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
193190, 192eqtrd 2328 . . . . . . . . 9
194179, 193preq12d 3727 . . . . . . . 8
195151, 168, 1943eqtr4d 2338 . . . . . . 7
196 elsni 3677 . . . . . . . . . 10
197196fveq2d 5545 . . . . . . . . 9
198197fveq2d 5545 . . . . . . . 8
199196oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10
200199fveq2d 5545 . . . . . . . . 9
201196fveq2d 5545 . . . . . . . . 9
202200, 201preq12d 3727 . . . . . . . 8
203198, 202eqeq12d 2310 . . . . . . 7
204195, 203syl5ibrcom 213 . . . . . 6
205204ralrimiv 2638 . . . . 5
206 ralun 3370 . . . . 5
207134, 205, 206syl2anc 642 . . . 4
20860raleqdv 2755 . . . 4
209207, 208mpbird 223 . . 3
210 oveq2 5882 . . . . . 6
211 f1oeq2 5480 . . . . . 6
212210, 211syl 15 . . . . 5
213 oveq2 5882 . . . . . 6
214213feq2d 5396 . . . . 5
215210raleqdv 2755 . . . . 5
216212, 214, 2153anbi123d 1252 . . . 4
217216rspcev 2897 . . 3
21838, 63, 82, 209, 217syl13anc 1184 . 2
21935fneq1i 5354 . . . . 5
220137, 219sylibr 203 . . . 4
221 fndm 5359 . . . 4
222220, 221syl 15 . . 3
223 iseupa 23896 . . 3 EulPaths UMGrph
224222, 223syl 15 . 2 EulPaths UMGrph
22536, 218, 224mpbir2and 888 1 EulPaths
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   cun 3163   cin 3164   wss 3165  c0 3468  csn 3653  cpr 3654  cop 3656   class class class wbr 4039   cdm 4705   wfun 5265   wfn 5266  wf 5267  wf1o 5270  cfv 5271  (class class class)co 5874  cfn 6879  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   clt 8883   cle 8884   cmin 9053  cn 9762  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246  cfz 10798  chash 11353   UMGrph cumg 23875   EulPaths ceup 23876 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354  df-umgra 23878  df-eupa 23879
 Copyright terms: Public domain W3C validator