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Theorem eupap1 21698
Description: Append one path segment to an Eulerian path (enlarging the graph to add the new edge). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eupap1.e  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
eupap1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
eupap1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
eupap1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
eupap1.d  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  A
)
eupap1.g  |-  ( ph  ->  G ( V EulPaths  E ) P )
eupap1.n  |-  ( ph  ->  N  =  ( # `  G ) )
eupap1.f  |-  F  =  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )
eupap1.h  |-  H  =  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )
eupap1.q  |-  Q  =  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
Assertion
Ref Expression
eupap1  |-  ( ph  ->  H ( V EulPaths  F ) Q )

Proof of Theorem eupap1
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupap1.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
2 eupap1.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
3 prex 4406 . . . . . 6  |-  { ( P `  N ) ,  C }  e.  _V
4 f1osng 5716 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  { ( P `  N
) ,  C }  e.  _V )  ->  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } : { B } -1-1-onto-> { { ( P `
 N ) ,  C } } )
52, 3, 4sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } : { B }
-1-1-onto-> { { ( P `  N ) ,  C } } )
6 f1ofn 5675 . . . . 5  |-  ( {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } : { B } -1-1-onto-> { { ( P `  N ) ,  C } }  ->  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. }  Fn  { B } )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. }  Fn  { B } )
8 eupap1.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  A
)
9 disjsn 3868 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  A )
108, 9sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  { B } )  =  (/) )
11 eupap1.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G ( V EulPaths  E ) P )
12 eupagra 21688 . . . . 5  |-  ( G ( V EulPaths  E ) P  ->  V UMGrph  E )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  V UMGrph  E )
14 relumgra 21349 . . . . . . 7  |-  Rel UMGrph
1514brrelexi 4918 . . . . . 6  |-  ( V UMGrph  E  ->  V  e.  _V )
1613, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
17 eupapf 21694 . . . . . . 7  |-  ( G ( V EulPaths  E ) P  ->  P : ( 0 ... ( # `  G ) ) --> V )
1811, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V )
19 eupap1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  =  ( # `  G ) )
20 eupacl 21691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G ( V EulPaths  E ) P  ->  ( # `  G
)  e.  NN0 )
2111, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  G
)  e.  NN0 )
2219, 21eqeltrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
23 nn0uz 10520 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2422, 23syl6eleq 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
25 eluzfz2 11065 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
2624, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
2719oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( 0 ... ( # `  G
) ) )
2826, 27eleqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `  G
) ) )
2918, 28ffvelrnd 5871 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  e.  V )
30 eupap1.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
31 umgra1 21361 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( ( P `  N )  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  V UMGrph  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )
3216, 2, 29, 30, 31syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  V UMGrph  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } )
331, 7, 10, 13, 32umgraun 21363 . . 3  |-  ( ph  ->  V UMGrph  ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) )
34 eupap1.f . . 3  |-  F  =  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )
3533, 34syl6breqr 4252 . 2  |-  ( ph  ->  V UMGrph  F )
36 peano2nn0 10260 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
3722, 36syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
38 eupaf1o 21692 . . . . . . . 8  |-  ( ( G ( V EulPaths  E ) P  /\  E  Fn  A )  ->  G : ( 1 ... ( # `  G
) ) -1-1-onto-> A )
3911, 1, 38syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( # `  G
) ) -1-1-onto-> A )
4019oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  =  ( 1 ... ( # `  G
) ) )
41 f1oeq2 5666 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... N )  =  ( 1 ... ( # `  G
) )  ->  ( G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  <->  G : ( 1 ... ( # `  G
) ) -1-1-onto-> A ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  <-> 
G : ( 1 ... ( # `  G
) ) -1-1-onto-> A ) )
4339, 42mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
44 f1osng 5716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  B  e.  _V )  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { B } )
4537, 2, 44syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { B } )
46 fzp1disj 11105 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)
4746a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... N )  i^i  {
( N  +  1 ) } )  =  (/) )
48 f1oun 5694 . . . . . 6  |-  ( ( ( G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } : { ( N  + 
1 ) } -1-1-onto-> { B } )  /\  ( ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)  /\  ( A  i^i  { B }
)  =  (/) ) )  ->  ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) )
4943, 45, 47, 10, 48syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) )
50 eupap1.h . . . . . 6  |-  H  =  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )
51 f1oeq1 5665 . . . . . 6  |-  ( H  =  ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } )  ->  ( H : ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  ( G  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) ) )
5250, 51ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( H : ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  ( G  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) )
5349, 52sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) )
54 1z 10311 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
55 1m1e0 10068 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5655fveq2i 5731 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) )  =  (
ZZ>= `  0 )
5724, 56syl6eleqr 2527 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) ) )
58 fzsuc2 11104 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) ) )  -> 
( 1 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) )
5954, 57, 58sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) )
60 f1oeq2 5666 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } )  ->  ( H :
( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  H :
( ( 1 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
) ) )
6159, 60syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  H :
( ( 1 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
) ) )
6253, 61mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
) )
6327feq2d 5581 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P : ( 0 ... N ) --> V  <->  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V ) )
6418, 63mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P : ( 0 ... N ) --> V )
65 f1osng 5716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  C  e.  V )  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { C } )
6637, 30, 65syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { C } )
67 f1of 5674 . . . . . . 7  |-  ( {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { C }  ->  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> { C } )
6866, 67syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } --> { C }
)
6930snssd 3943 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { C }  C_  V )
70 fss 5599 . . . . . 6  |-  ( ( { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } --> { C }  /\  { C }  C_  V )  ->  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> V )
7168, 69, 70syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } --> V )
72 fzp1disj 11105 . . . . . 6  |-  ( ( 0 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)
7372a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... N )  i^i  {
( N  +  1 ) } )  =  (/) )
74 fun2 5608 . . . . 5  |-  ( ( ( P : ( 0 ... N ) --> V  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> V )  /\  ( ( 0 ... N )  i^i 
{ ( N  + 
1 ) } )  =  (/) )  ->  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 0 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) --> V )
7564, 71, 73, 74syl21anc 1183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 0 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) --> V )
76 eupap1.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
7776a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  =  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) )
78 fzsuc 11096 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  =  ( ( 0 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) )
7924, 78syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) )
8077, 79feq12d 5582 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q : ( 0 ... ( N  +  1 ) ) --> V  <->  ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 0 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) --> V ) )
8175, 80mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) --> V )
8234fveq1i 5729 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 ( G `  k ) )  =  ( ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  ( G `
 k ) )
83 f1of 5674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  G :
( 1 ... N
) --> A )
8443, 83syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... N ) --> A )
8584ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( G `  k )  e.  A )
868adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  -.  B  e.  A )
87 nelne2 2694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  A  /\  -.  B  e.  A
)  ->  ( G `  k )  =/=  B
)
8885, 86, 87syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( G `  k )  =/=  B )
8988necomd 2687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  B  =/=  ( G `  k
) )
90 fvunsn 5925 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =/=  ( G `  k )  ->  (
( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  ( G `
 k ) )  =  ( E `  ( G `  k ) ) )
9189, 90syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  ( G `
 k ) )  =  ( E `  ( G `  k ) ) )
9282, 91syl5eq 2480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  ( G `  k ) )  =  ( E `  ( G `  k )
) )
9350fveq1i 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( H `
 k )  =  ( ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  k )
94 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
9594adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  NN )
9695nnred 10015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  RR )
9722nn0red 10275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
9897adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  N  e.  RR )
9937nn0red 10275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
10099adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
101 elfzle2 11061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  <_  N )
102101adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  <_  N )
10397ltp1d 9941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
104103adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
10596, 98, 100, 102, 104lelttrd 9228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  <  ( N  +  1 ) )
10696, 105gtned 9208 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( N  +  1 )  =/=  k )
107 fvunsn 5925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  k  ->  (
( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  k )  =  ( G `  k ) )
108106, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  k )  =  ( G `  k ) )
10993, 108syl5eq 2480 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( H `  k )  =  ( G `  k ) )
110109fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  ( H `  k ) )  =  ( F `  ( G `  k )
) )
11176fveq1i 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q `
 ( k  - 
1 ) )  =  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( k  -  1 ) )
112 peano2rem 9367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  -  1 )  e.  RR )
11396, 112syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
k  -  1 )  e.  RR )
11496ltm1d 9943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
k  -  1 )  <  k )
115113, 96, 100, 114, 105lttrd 9231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
k  -  1 )  <  ( N  + 
1 ) )
116113, 115gtned 9208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( N  +  1 )  =/=  ( k  - 
1 ) )
117 fvunsn 5925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  ( k  - 
1 )  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( k  -  1 ) )  =  ( P `  ( k  -  1 ) ) )
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( k  -  1 ) )  =  ( P `  ( k  -  1 ) ) )
119111, 118syl5eq 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( Q `  ( k  -  1 ) )  =  ( P `  ( k  -  1 ) ) )
12076fveq1i 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q `
 k )  =  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  k )
121 fvunsn 5925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  k  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  k )  =  ( P `  k ) )
122106, 121syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  k )  =  ( P `  k ) )
123120, 122syl5eq 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( Q `  k )  =  ( P `  k ) )
124119, 123preq12d 3891 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )
12511adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  G
( V EulPaths  E ) P )
12640eleq2d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... N )  <-> 
k  e.  ( 1 ... ( # `  G
) ) ) )
127126biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  ( 1 ... ( # `
 G ) ) )
128 eupaseg 21695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G ( V EulPaths  E ) P  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 G ) ) )  ->  ( E `  ( G `  k
) )  =  {
( P `  (
k  -  1 ) ) ,  ( P `
 k ) } )
129125, 127, 128syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( E `  ( G `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )
130124, 129eqtr4d 2471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  =  ( E `  ( G `
 k ) ) )
13192, 110, 1303eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
132131ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( F `  ( H `  k )
)  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
13334fveq1i 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 B )  =  ( ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  B )
134 fnun 5551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( E  Fn  A  /\  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. }  Fn  { B } )  /\  ( A  i^i  { B }
)  =  (/) )  -> 
( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )  Fn  ( A  u.  { B }
) )
1351, 7, 10, 134syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )  Fn  ( A  u.  { B }
) )
136 fnfun 5542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  u.  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } )  Fn  ( A  u.  { B } )  ->  Fun  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Fun  ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) )
138 ssun2 3511 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. }  C_  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } )
139138a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. }  C_  ( E  u.  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } ) )
140 snidg 3839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  _V  ->  B  e.  { B } )
1412, 140syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  { B } )
1423dmsnop 5344 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. }  =  { B }
143141, 142syl6eleqr 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )
144 funssfv 5746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )  /\  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. }  C_  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } )  /\  B  e.  dom  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )  ->  ( ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  B )  =  ( { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } `  B ) )
145137, 139, 143, 144syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  B )  =  ( { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } `  B ) )
146133, 145syl5eq 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  =  ( {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } `
 B ) )
147 fvsng 5927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  _V  /\  { ( P `  N
) ,  C }  e.  _V )  ->  ( { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } `  B )  =  { ( P `
 N ) ,  C } )
1482, 3, 147sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } `  B
)  =  { ( P `  N ) ,  C } )
149146, 148eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  =  { ( P `  N ) ,  C } )
15050fveq1i 5729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  ( N  +  1 ) )
151 f1ofun 5676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  ->  Fun  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) )
15249, 151syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Fun  ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) )
153 ssun2 3511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. }  C_  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. }  C_  ( G  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } ) )
155 snidg 3839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
{ ( N  + 
1 ) } )
15637, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  { ( N  +  1 ) } )
157 dmsnopg 5341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  _V  ->  dom  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. }  =  { ( N  +  1 ) } )
1582, 157syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. }  =  { ( N  + 
1 ) } )
159156, 158eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  dom  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )
160 funssfv 5746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } )  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. }  C_  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )  /\  ( N  + 
1 )  e.  dom  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } )  ->  ( ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } `  ( N  +  1
) ) )
161152, 154, 159, 160syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } `  ( N  +  1
) ) )
162150, 161syl5eq 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( H `  ( N  +  1 ) )  =  ( {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } `
 ( N  + 
1 ) ) )
163 fvsng 5927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  B  e.  _V )  ->  ( { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } `  ( N  +  1
) )  =  B )
16437, 2, 163syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } `  ( N  +  1
) )  =  B )
165162, 164eqtrd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H `  ( N  +  1 ) )  =  B )
166165fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  ( H `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( F `
 B ) )
16797recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
168 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
169 pncan 9311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
170167, 168, 169sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
171170fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( Q `
 N ) )
17276fveq1i 5729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q `
 N )  =  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  N )
17397, 103gtned 9208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  =/=  N )
174 fvunsn 5925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  N  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  N )  =  ( P `  N ) )
175173, 174syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  N )  =  ( P `  N ) )
176172, 175syl5eq 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  N
)  =  ( P `
 N ) )
177171, 176eqtrd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( P `
 N ) )
17876fveq1i 5729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( N  +  1 ) )
179 ffun 5593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 0 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) --> V  ->  Fun  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) )
18075, 179syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Fun  ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) )
181 ssun2 3511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. }  C_  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
182181a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. }  C_  ( P  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } ) )
183 dmsnopg 5341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  V  ->  dom  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. }  =  { ( N  +  1 ) } )
18430, 183syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. }  =  { ( N  + 
1 ) } )
185156, 184eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  dom  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
186 funssfv 5746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } )  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. }  C_  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )  /\  ( N  + 
1 )  e.  dom  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } )  ->  ( ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } `  ( N  +  1
) ) )
187180, 182, 185, 186syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } `  ( N  +  1
) ) )
188178, 187syl5eq 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( N  +  1 ) )  =  ( {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } `
 ( N  + 
1 ) ) )
189 fvsng 5927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } `  ( N  +  1
) )  =  C )
19037, 30, 189syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } `  ( N  +  1
) )  =  C )
191188, 190eqtrd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( N  +  1 ) )  =  C )
192177, 191preq12d 3891 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { ( Q `  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) ,  ( Q `  ( N  +  1 ) ) }  =  { ( P `  N ) ,  C } )
193149, 166, 1923eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( H `  ( N  +  1 ) ) )  =  { ( Q `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ,  ( Q `  ( N  +  1
) ) } )
194 elsni 3838 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  k  =  ( N  +  1 ) )
195194fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( H `  k )  =  ( H `  ( N  +  1 ) ) )
196195fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( F `  ( H `  k ) )  =  ( F `
 ( H `  ( N  +  1
) ) ) )
197194oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( k  - 
1 )  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
198197fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( Q `  ( k  -  1 ) )  =  ( Q `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
199194fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  ( N  +  1 ) ) )
200198, 199preq12d 3891 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) }  =  {
( Q `  (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ,  ( Q `
 ( N  + 
1 ) ) } )
201196, 200eqeq12d 2450 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( ( F `
 ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  <->  ( F `  ( H `  ( N  +  1 ) ) )  =  { ( Q `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ,  ( Q `  ( N  +  1
) ) } ) )
202193, 201syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  {
( N  +  1 ) }  ->  ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } ) )
203202ralrimiv 2788 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  {
( N  +  1 ) }  ( F `
 ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
204 ralun 3529 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  ( 1 ... N ) ( F `  ( H `  k )
)  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  /\  A. k  e.  { ( N  +  1 ) }  ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )  ->  A. k  e.  ( ( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) ( F `
 ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
205132, 203, 204syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) ( F `
 ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
20659raleqdv 2910 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  <->  A. k  e.  ( ( 1 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) )
207205, 206mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( F `  ( H `  k )
)  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
208 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
209 f1oeq2 5666 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... n )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  H :
( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) ) )
210208, 209syl 16 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  H :
( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) ) )
211 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
212211feq2d 5581 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( Q : ( 0 ... n ) --> V  <->  Q :
( 0 ... ( N  +  1 ) ) --> V ) )
213208raleqdv 2910 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) }  <->  A. k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } ) )
214210, 212, 2133anbi123d 1254 . . . 4  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  /\  Q : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } )  <->  ( H : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  /\  Q : ( 0 ... ( N  +  1 ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) ) )
215214rspcev 3052 . . 3  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  ( H : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
)  /\  Q :
( 0 ... ( N  +  1 ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
)  /\  Q :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) )
21637, 62, 81, 207, 215syl13anc 1186 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
)  /\  Q :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) )
21734fneq1i 5539 . . . . 5  |-  ( F  Fn  ( A  u.  { B } )  <->  ( E  u.  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } )  Fn  ( A  u.  { B } ) )
218135, 217sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( A  u.  { B }
) )
219 fndm 5544 . . . 4  |-  ( F  Fn  ( A  u.  { B } )  ->  dom  F  =  ( A  u.  { B }
) )
220218, 219syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  F  =  ( A  u.  { B } ) )
221 iseupa 21687 . . 3  |-  ( dom 
F  =  ( A  u.  { B }
)  ->  ( H
( V EulPaths  F ) Q 
<->  ( V UMGrph  F  /\  E. n  e.  NN0  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  /\  Q : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) ) ) )
222220, 221syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( H ( V EulPaths  F ) Q  <->  ( V UMGrph  F  /\  E. n  e. 
NN0  ( H :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  /\  Q : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) ) ) )
22335, 216, 222mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  H ( V EulPaths  F ) Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814   {cpr 3815   <.cop 3817   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   Fun wfun 5448    Fn wfn 5449   -->wf 5450   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043   #chash 11618   UMGrph cumg 21347   EulPaths ceup 21684
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-hash 11619  df-umgra 21348  df-eupa 21685
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