MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupapf Structured version   Unicode version

Theorem eupapf 21694
Description: The  P function in an Eulerian path is a function from a zero-based finite sequence to the vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
eupapf  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V )

Proof of Theorem eupapf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupagra 21688 . . . . 5  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  V UMGrph  E )
2 umgraf2 21352 . . . . 5  |-  ( V UMGrph  E  ->  E : dom  E --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
3 ffn 5591 . . . . 5  |-  ( E : dom  E --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }  ->  E  Fn  dom  E
)
41, 2, 33syl 19 . . . 4  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  E  Fn  dom  E )
5 eupai 21689 . . . 4  |-  ( ( F ( V EulPaths  E ) P  /\  E  Fn  dom  E )  ->  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  A. x  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  ( x  -  1 ) ) ,  ( P `  x ) } ) )
64, 5mpdan 650 . . 3  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) -1-1-onto-> dom 
E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  /\  A. x  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  ( x  -  1
) ) ,  ( P `  x ) } ) )
76simpld 446 . 2  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V ) )
87simp3d 971 1  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   {crab 2709    \ cdif 3317   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {csn 3814   {cpr 3815   class class class wbr 4212   dom cdm 4878    Fn wfn 5449   -->wf 5450   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   0cc0 8990   1c1 8991    <_ cle 9121    - cmin 9291   2c2 10049   NN0cn0 10221   ...cfz 11043   #chash 11618   UMGrph cumg 21347   EulPaths ceup 21684
This theorem is referenced by:  eupares  21697  eupap1  21698  eupath2lem3  21701  eupath2  21702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-hash 11619  df-umgra 21348  df-eupa 21685
  Copyright terms: Public domain W3C validator