Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eupaseg Unicode version

Theorem eupaseg 23903
Description: The  N-th edge in an eulerian path is the edge from  P ( N  -  1 ) to  P ( N ). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
eupaseg  |-  ( ( F ( V EulPaths  E ) P  /\  N  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) )  ->  ( E `  ( F `  N
) )  =  {
( P `  ( N  -  1 ) ) ,  ( P `
 N ) } )

Proof of Theorem eupaseg
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupagra 23897 . . . . 5  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  V UMGrph  E )
2 umgraf2 23884 . . . . 5  |-  ( V UMGrph  E  ->  E : dom  E --> { k  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  k )  <_  2 } )
3 ffn 5405 . . . . 5  |-  ( E : dom  E --> { k  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  k
)  <_  2 }  ->  E  Fn  dom  E
)
41, 2, 33syl 18 . . . 4  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  E  Fn  dom  E )
5 eupai 23898 . . . 4  |-  ( ( F ( V EulPaths  E ) P  /\  E  Fn  dom  E )  ->  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) )
64, 5mpdan 649 . . 3  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) -1-1-onto-> dom 
E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) )
76simprd 449 . 2  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } )
8 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  ( F `  k )  =  ( F `  N ) )
98fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( k  =  N  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  N )
) )
10 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  (
k  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
1110fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  ( P `  ( k  -  1 ) )  =  ( P `  ( N  -  1
) ) )
12 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  ( P `  k )  =  ( P `  N ) )
1311, 12preq12d 3727 . . . 4  |-  ( k  =  N  ->  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  =  { ( P `  ( N  -  1
) ) ,  ( P `  N ) } )
149, 13eqeq12d 2310 . . 3  |-  ( k  =  N  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  N
) )  =  {
( P `  ( N  -  1 ) ) ,  ( P `
 N ) } ) )
1514rspccva 2896 . 2  |-  ( ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) }  /\  N  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) )  ->  ( E `  ( F `  N
) )  =  {
( P `  ( N  -  1 ) ) ,  ( P `
 N ) } )
167, 15sylan 457 1  |-  ( ( F ( V EulPaths  E ) P  /\  N  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) )  ->  ( E `  ( F `  N
) )  =  {
( P `  ( N  -  1 ) ) ,  ( P `
 N ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560    \ cdif 3162   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   {cpr 3654   class class class wbr 4039   dom cdm 4705    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754    <_ cle 8884    - cmin 9053   2c2 9811   NN0cn0 9981   ...cfz 10798   #chash 11353   UMGrph cumg 23875   EulPaths ceup 23876
This theorem is referenced by:  eupares  23914  eupap1  23915  eupath2lem3  23918
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354  df-umgra 23878  df-eupa 23879
  Copyright terms: Public domain W3C validator