MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupaseg Structured version   Unicode version

Theorem eupaseg 21696
Description: The  N-th edge in an eulerian path is the edge from  P ( N  -  1 ) to  P ( N ). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
eupaseg  |-  ( ( F ( V EulPaths  E ) P  /\  N  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) )  ->  ( E `  ( F `  N
) )  =  {
( P `  ( N  -  1 ) ) ,  ( P `
 N ) } )

Proof of Theorem eupaseg
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupagra 21689 . . . . 5  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  V UMGrph  E )
2 umgraf2 21353 . . . . 5  |-  ( V UMGrph  E  ->  E : dom  E --> { k  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  k )  <_  2 } )
3 ffn 5592 . . . . 5  |-  ( E : dom  E --> { k  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  k
)  <_  2 }  ->  E  Fn  dom  E
)
41, 2, 33syl 19 . . . 4  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  E  Fn  dom  E )
5 eupai 21690 . . . 4  |-  ( ( F ( V EulPaths  E ) P  /\  E  Fn  dom  E )  ->  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) )
64, 5mpdan 651 . . 3  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) -1-1-onto-> dom 
E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) )
76simprd 451 . 2  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } )
8 fveq2 5729 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  ( F `  k )  =  ( F `  N ) )
98fveq2d 5733 . . . 4  |-  ( k  =  N  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  N )
) )
10 oveq1 6089 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  (
k  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
1110fveq2d 5733 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  ( P `  ( k  -  1 ) )  =  ( P `  ( N  -  1
) ) )
12 fveq2 5729 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  ( P `  k )  =  ( P `  N ) )
1311, 12preq12d 3892 . . . 4  |-  ( k  =  N  ->  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  =  { ( P `  ( N  -  1
) ) ,  ( P `  N ) } )
149, 13eqeq12d 2451 . . 3  |-  ( k  =  N  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  N
) )  =  {
( P `  ( N  -  1 ) ) ,  ( P `
 N ) } ) )
1514rspccva 3052 . 2  |-  ( ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) }  /\  N  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) )  ->  ( E `  ( F `  N
) )  =  {
( P `  ( N  -  1 ) ) ,  ( P `
 N ) } )
167, 15sylan 459 1  |-  ( ( F ( V EulPaths  E ) P  /\  N  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) )  ->  ( E `  ( F `  N
) )  =  {
( P `  ( N  -  1 ) ) ,  ( P `
 N ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   {crab 2710    \ cdif 3318   (/)c0 3629   ~Pcpw 3800   {csn 3815   {cpr 3816   class class class wbr 4213   dom cdm 4879    Fn wfn 5450   -->wf 5451   -1-1-onto->wf1o 5454   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   0cc0 8991   1c1 8992    <_ cle 9122    - cmin 9292   2c2 10050   NN0cn0 10222   ...cfz 11044   #chash 11619   UMGrph cumg 21348   EulPaths ceup 21685
This theorem is referenced by:  eupares  21698  eupap1  21699  eupath2lem3  21702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-er 6906  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-hash 11620  df-umgra 21349  df-eupa 21686
  Copyright terms: Public domain W3C validator