Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupath Unicode version

Theorem eupath 21214
 Description: A graph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
eupath EulPaths VDeg
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem eupath
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 releupa 21198 . . . . 5 EulPaths
2 reldm0 4999 . . . . 5 EulPaths EulPaths EulPaths
31, 2ax-mp 8 . . . 4 EulPaths EulPaths
43necon3bii 2561 . . 3 EulPaths EulPaths
5 n0 3552 . . 3 EulPaths EulPaths
64, 5bitri 240 . 2 EulPaths EulPaths
7 vex 2876 . . . . 5
87eldm 4979 . . . 4 EulPaths EulPaths
9 eupagra 21200 . . . . . . . . 9 EulPaths UMGrph
10 umgraf2 21030 . . . . . . . . 9 UMGrph
11 ffn 5495 . . . . . . . . 9
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . 8 EulPaths
13 id 19 . . . . . . . 8 EulPaths EulPaths
1412, 13eupath2 21213 . . . . . . 7 EulPaths VDeg
1514fveq2d 5636 . . . . . 6 EulPaths VDeg
16 fveq2 5632 . . . . . . . 8
1716eleq1d 2432 . . . . . . 7
18 fveq2 5632 . . . . . . . 8
1918eleq1d 2432 . . . . . . 7
20 hash0 11533 . . . . . . . . 9
21 c0ex 8979 . . . . . . . . . 10
2221prid1 3827 . . . . . . . . 9
2320, 22eqeltri 2436 . . . . . . . 8
2423a1i 10 . . . . . . 7 EulPaths
25 simpr 447 . . . . . . . . . 10 EulPaths
26 df-ne 2531 . . . . . . . . . 10
2725, 26sylibr 203 . . . . . . . . 9 EulPaths
28 fvex 5646 . . . . . . . . . 10
29 fvex 5646 . . . . . . . . . 10
30 hashprg 11553 . . . . . . . . . 10
3128, 29, 30mp2an 653 . . . . . . . . 9
3227, 31sylib 188 . . . . . . . 8 EulPaths
33 2cn 9963 . . . . . . . . . 10
3433elexi 2882 . . . . . . . . 9
3534prid2 3828 . . . . . . . 8
3632, 35syl6eqel 2454 . . . . . . 7 EulPaths
3717, 19, 24, 36ifbothda 3684 . . . . . 6 EulPaths
3815, 37eqeltrd 2440 . . . . 5 EulPaths VDeg
3938exlimiv 1639 . . . 4 EulPaths VDeg
408, 39sylbi 187 . . 3 EulPaths VDeg
4140exlimiv 1639 . 2 EulPaths VDeg
426, 41sylbi 187 1 EulPaths VDeg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358  wex 1546   wceq 1647   wcel 1715   wne 2529  crab 2632  cvv 2873   cdif 3235  c0 3543  cif 3654  cpw 3714  csn 3729  cpr 3730   class class class wbr 4125   cdm 4792   wrel 4797   wfn 5353  wf 5354  cfv 5358  (class class class)co 5981  cc 8882  cc0 8884   cle 9015  c2 9942  chash 11505   cdivides 12739   UMGrph cumg 21025   VDeg cvdg 21176   EulPaths ceup 21196 This theorem is referenced by:  konigsberg  21220 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-card 7719  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-rp 10506  df-xadd 10604  df-fz 10936  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-dvds 12740  df-prm 12967  df-umgra 21026  df-vdgr 21177  df-eupa 21197
 Copyright terms: Public domain W3C validator