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Theorem eupath2 23919
Description: The only vertices of odd degree in a graph with an Eulerian path are the endpoints, and then only if the endpoints are distinct. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eupath2.1  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
eupath2.3  |-  ( ph  ->  F ( V EulPaths  E ) P )
Assertion
Ref Expression
eupath2  |-  ( ph  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  ( # `
 F ) ) } ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, F    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    P( x)

Proof of Theorem eupath2
Dummy variables  m  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupath2.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F ( V EulPaths  E ) P )
2 eupath2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
3 eupaf1o 23900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F ( V EulPaths  E ) P  /\  E  Fn  A )  ->  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> A )
41, 2, 3syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> A )
5 f1ofo 5495 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> A  ->  F :
( 1 ... ( # `
 F ) )
-onto-> A )
6 foima 5472 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -onto-> A  -> 
( F " (
1 ... ( # `  F
) ) )  =  A )
74, 5, 63syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) )  =  A )
87reseq2d 4971 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  =  ( E  |`  A ) )
9 fnresdm 5369 . . . . . . . . 9  |-  ( E  Fn  A  ->  ( E  |`  A )  =  E )
102, 9syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  |`  A )  =  E )
118, 10eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  =  E )
1211oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) )  =  ( V VDeg 
E ) )
1312fveq1d 5543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... ( # `
 F ) ) ) ) ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 x ) )
1413breq2d 4051 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) ) )
1514notbid 285 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... ( # `
 F ) ) ) ) ) `  x )  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x )
) )
1615rabbidv 2793 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )
17 eupacl 23899 . . . . 5  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
18 nn0re 9990 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  RR )
191, 17, 183syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  F
)  e.  RR )
2019leidd 9355 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  F
)  <_  ( # `  F
) )
211, 17syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
22 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  (
m  <_  ( # `  F
)  <->  0  <_  ( # `
 F ) ) )
23 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  0  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... 0
) )
24 fz10 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
2523, 24syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  0  ->  (
1 ... m )  =  (/) )
2625imaeq2d 5028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  0  ->  ( F " ( 1 ... m ) )  =  ( F " (/) ) )
27 ima0 5046 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F
" (/) )  =  (/)
2826, 27syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  0  ->  ( F " ( 1 ... m ) )  =  (/) )
2928reseq2d 4971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  0  ->  ( E  |`  ( F "
( 1 ... m
) ) )  =  ( E  |`  (/) ) )
30 res0 4975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  |`  (/) )  =  (/)
3129, 30syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  0  ->  ( E  |`  ( F "
( 1 ... m
) ) )  =  (/) )
3231oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  0  ->  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) )  =  ( V VDeg  (/) ) )
3332fveq1d 5543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  0  ->  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( V VDeg  (/) ) `  x
) )
3433breq2d 4051 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  0  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x
) ) )
3534notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x
)  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) ) )
3635rabbidv 2793 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) } )
37 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  0  ->  ( P `  m )  =  ( P ` 
0 ) )
3837eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  m ) )
39 iftrue 3584 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P `  m )  ->  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  =  (/) )
4038, 39syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  =  (/) )
4136, 40eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  <->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  (/) ) `  x ) }  =  (/) ) )
4222, 41imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( m  <_  ( # `
 F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } ) )  <->  ( 0  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) }  =  (/) ) ) )
4342imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( ph  ->  ( m  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 m ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  m
) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) }  =  (/) ) ) ) )
44 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
m  <_  ( # `  F
)  <->  n  <_  ( # `  F ) ) )
45 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  n  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... n
) )
4645imaeq2d 5028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  ( F " ( 1 ... m ) )  =  ( F " (
1 ... n ) ) )
4746reseq2d 4971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  ( E  |`  ( F "
( 1 ... m
) ) )  =  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) )
4847oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) )  =  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) )
4948fveq1d 5543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) )
5049breq2d 4051 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) ) )
5150notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x
)  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... n
) ) ) ) `
 x ) ) )
5251rabbidv 2793 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) } )
53 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( P `  m )  =  ( P `  n ) )
5453eqeq2d 2307 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 m )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  n
) ) )
5553preq2d 3726 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } )
5654, 55ifbieq2d 3598 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } ) )
5752, 56eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  <->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )
5844, 57imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  <_  ( # `
 F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } ) )  <->  ( n  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... n
) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) ) )
5958imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  ( m  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 m ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  m
) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) ) ) )
60 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  <_  ( # `  F
)  <->  ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F ) ) )
61 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )
6261imaeq2d 5028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F " ( 1 ... m ) )  =  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) )
6362reseq2d 4971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( E  |`  ( F "
( 1 ... m
) ) )  =  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) )
6463oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) )  =  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
6564fveq1d 5543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
) )
6665breq2d 4051 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
) ) )
6766notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x
)  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) ) )
6867rabbidv 2793 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  x ) } )
69 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( P `  m )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) )
7069eqeq2d 2307 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 m )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  (
n  +  1 ) ) ) )
7169preq2d 3726 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } )
7270, 71ifbieq2d 3598 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } ) )
7368, 72eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  <->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) ) )
7460, 73imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( m  <_  ( # `
 F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } ) )  <->  ( ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } ) ) ) )
7574imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( m  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 m ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  m
) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
76 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( m  <_  ( # `  F
)  <->  ( # `  F
)  <_  ( # `  F
) ) )
77 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( 1 ... m )  =  ( 1 ... ( # `
 F ) ) )
7877imaeq2d 5028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( F " ( 1 ... m
) )  =  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )
7978reseq2d 4971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) )  =  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) )
8079oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( V VDeg  ( E  |`  ( F
" ( 1 ... m ) ) ) )  =  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) )
8180fveq1d 5543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  =  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) )
8281breq2d 4051 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( 2 
||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) ) )
8382notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) ) )
8483rabbidv 2793 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) } )
85 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( P `  m )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )
8685eqeq2d 2307 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( ( P `  0 )  =  ( P `  m )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )
8785preq2d 3726 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } )
8886, 87ifbieq2d 3598 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  if (
( P `  0
)  =  ( P `
 m ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  m
) } )  =  if ( ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) )
8984, 88eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  <->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) ) )
9076, 89imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( (
m  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 m ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  m
) } ) )  <-> 
( ( # `  F
)  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) ) ) )
9190imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( ( ph  ->  ( m  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... m
) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  m ) } ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (
# `  F )  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) ) ) ) )
92 2z 10070 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
93 dvds0 12560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
9492, 93ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  2  ||  0
95 eupagra 23897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  V UMGrph  E )
96 relumgra 23881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel UMGrph
9796brrelexi 4745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V UMGrph  E  ->  V  e.  _V )
981, 95, 973syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
99 vdgr0 23907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  x  e.  V )  ->  ( ( V VDeg  (/) ) `  x )  =  0 )
10098, 99sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( V VDeg  (/) ) `  x )  =  0 )
10194, 100syl5breqr 4075 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) )
102 notnot1 114 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 
||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x )  ->  -.  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) )
103101, 102syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  -.  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x
) )
104103ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  -.  -.  2  ||  (
( V VDeg  (/) ) `  x ) )
105 rabeq0 3489 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x
) }  =  (/)  <->  A. x  e.  V  -.  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x
) )
106104, 105sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  (/) ) `  x ) }  =  (/) )
107106a1d 22 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( # `
 F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  (/) ) `  x ) }  =  (/) ) )
108 nn0re 9990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
109108adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  RR )
110109lep1d 9704 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  <_  ( n  +  1 ) )
111 peano2re 9001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  +  1 )  e.  RR )
112109, 111syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
11319adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( # `  F
)  e.  RR )
114 letr 8930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( n  +  1
)  e.  RR  /\  ( # `  F )  e.  RR )  -> 
( ( n  <_ 
( n  +  1 )  /\  ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F ) )  ->  n  <_  (
# `  F )
) )
115109, 112, 113, 114syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  <_  ( n  +  1 )  /\  ( n  +  1
)  <_  ( # `  F
) )  ->  n  <_  ( # `  F
) ) )
116110, 115mpand 656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  n  <_  (
# `  F )
) )
117116imim1d 69 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) )  ->  ( ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... n
) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) ) )
118 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
) )
119118breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
) ) )
120119notbid 285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
)  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 y ) ) )
121120elrab 2936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) }  <-> 
( y  e.  V  /\  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
) ) )
1222ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  E  Fn  A )
1231ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  F
( V EulPaths  E ) P )
124 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  n  e.  NN0 )
125 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  (
n  +  1 )  <_  ( # `  F
) )
126 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  y  e.  V )
127 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) )
128122, 123, 124, 125, 126, 127eupath2lem3 23918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
)  <->  y  e.  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) ) )
129128pm5.32da 622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( (
y  e.  V  /\  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
) )  <->  ( y  e.  V  /\  y  e.  if ( ( P `
 0 )  =  ( P `  (
n  +  1 ) ) ,  (/) ,  {
( P `  0
) ,  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) } ) ) ) )
130 0elpw 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (/)  e.  ~P V
131 eupapf 23902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V )
1321, 131syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
133132ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )
13421ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
135 nn0uz 10278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
136134, 135syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( # `  F
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
137 eluzfz1 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  0  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )
138136, 137syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  0  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
139 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  0  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( P `  0
)  e.  V )
140133, 138, 139syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( P `  0 )  e.  V )
141 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F ) )
142 peano2nn0 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
143142ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
144143, 135syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
145134nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( # `  F
)  e.  ZZ )
146 elfz5 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  ( # `
 F )  e.  ZZ )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  <->  ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F ) ) )
147144, 145, 146syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  <->  ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F ) ) )
148141, 147mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
149 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( P `  (
n  +  1 ) )  e.  V )
150133, 148, 149syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  e.  V
)
151 prssi 3787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P `  0
)  e.  V  /\  ( P `  ( n  +  1 ) )  e.  V )  ->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) }  C_  V )
152140, 150, 151syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) }  C_  V )
153 prex 4233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) }  e.  _V
154153elpw 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) }  e.  ~P V  <->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) }  C_  V )
155152, 154sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) }  e.  ~P V )
156 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
(/)  e.  ~P V  /\  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) }  e.  ~P V
)  ->  if (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } )  e. 
~P V )
157130, 155, 156sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  if (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } )  e. 
~P V )
158 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } )  e.  ~P V  ->  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) 
C_  V )
159157, 158syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  if (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } )  C_  V )
160159sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( y  e.  if ( ( P `
 0 )  =  ( P `  (
n  +  1 ) ) ,  (/) ,  {
( P `  0
) ,  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) } )  ->  y  e.  V ) )
161160pm4.71rd 616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( y  e.  if ( ( P `
 0 )  =  ( P `  (
n  +  1 ) ) ,  (/) ,  {
( P `  0
) ,  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) } )  <->  ( y  e.  V  /\  y  e.  if ( ( P `
 0 )  =  ( P `  (
n  +  1 ) ) ,  (/) ,  {
( P `  0
) ,  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) } ) ) ) )
162129, 161bitr4d 247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( (
y  e.  V  /\  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
) )  <->  y  e.  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) ) )
163121, 162syl5bb 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( y  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
) }  <->  y  e.  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) ) )
164163eqrdv 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } ) )
165164exp32 588 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  ( {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } ) ) ) )
166165a2d 23 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) )  ->  ( ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } ) ) ) )
167117, 166syld 40 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) )  ->  ( ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } ) ) ) )
168167expcom 424 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( n  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... n
) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) ) ) ) )
169168a2d 23 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  ( n  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... n
) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
17043, 59, 75, 91, 107, 169nn0ind 10124 . . . 4  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( # `  F
)  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) ) ) )
17121, 170mpcom 32 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  F
)  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) ) )
17220, 171mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) )
17316, 172eqtr3d 2330 1  |-  ( ph  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  ( # `
 F ) ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578   ~Pcpw 3638   {cpr 3654   class class class wbr 4039    |` cres 4707   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    <_ cle 8884   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   #chash 11353    || cdivides 12547   UMGrph cumg 23875   EulPaths ceup 23876   VDeg cvdg 23877
This theorem is referenced by:  eupath  23920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-prm 12775  df-umgra 23878  df-eupa 23879  df-vdgr 23880
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