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Theorem eupath2 23904
Description: The only vertices of odd degree in a graph with an Eulerian path are the endpoints, and then only if the endpoints are distinct. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eupath2.1  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
eupath2.3  |-  ( ph  ->  F ( V EulPaths  E ) P )
Assertion
Ref Expression
eupath2  |-  ( ph  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  ( # `
 F ) ) } ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, F    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    P( x)

Proof of Theorem eupath2
Dummy variables  m  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupath2.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F ( V EulPaths  E ) P )
2 eupath2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
3 eupaf1o 23885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F ( V EulPaths  E ) P  /\  E  Fn  A )  ->  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> A )
41, 2, 3syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> A )
5 f1ofo 5479 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> A  ->  F :
( 1 ... ( # `
 F ) )
-onto-> A )
6 foima 5456 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -onto-> A  -> 
( F " (
1 ... ( # `  F
) ) )  =  A )
74, 5, 63syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) )  =  A )
87reseq2d 4955 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  =  ( E  |`  A ) )
9 fnresdm 5353 . . . . . . . . 9  |-  ( E  Fn  A  ->  ( E  |`  A )  =  E )
102, 9syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  |`  A )  =  E )
118, 10eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  =  E )
1211oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) )  =  ( V VDeg 
E ) )
1312fveq1d 5527 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... ( # `
 F ) ) ) ) ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 x ) )
1413breq2d 4035 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) ) )
1514notbid 285 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... ( # `
 F ) ) ) ) ) `  x )  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x )
) )
1615rabbidv 2780 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )
17 eupacl 23884 . . . . 5  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
18 nn0re 9974 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  RR )
191, 17, 183syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  F
)  e.  RR )
2019leidd 9339 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  F
)  <_  ( # `  F
) )
211, 17syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
22 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  (
m  <_  ( # `  F
)  <->  0  <_  ( # `
 F ) ) )
23 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  0  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... 0
) )
24 fz10 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
2523, 24syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  0  ->  (
1 ... m )  =  (/) )
2625imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  0  ->  ( F " ( 1 ... m ) )  =  ( F " (/) ) )
27 ima0 5030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F
" (/) )  =  (/)
2826, 27syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  0  ->  ( F " ( 1 ... m ) )  =  (/) )
2928reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  0  ->  ( E  |`  ( F "
( 1 ... m
) ) )  =  ( E  |`  (/) ) )
30 res0 4959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  |`  (/) )  =  (/)
3129, 30syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  0  ->  ( E  |`  ( F "
( 1 ... m
) ) )  =  (/) )
3231oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  0  ->  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) )  =  ( V VDeg  (/) ) )
3332fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  0  ->  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( V VDeg  (/) ) `  x
) )
3433breq2d 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  0  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x
) ) )
3534notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x
)  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) ) )
3635rabbidv 2780 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) } )
37 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  0  ->  ( P `  m )  =  ( P ` 
0 ) )
3837eqcomd 2288 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  m ) )
39 iftrue 3571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P `  m )  ->  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  =  (/) )
4038, 39syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  =  (/) )
4136, 40eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  <->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  (/) ) `  x ) }  =  (/) ) )
4222, 41imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( m  <_  ( # `
 F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } ) )  <->  ( 0  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) }  =  (/) ) ) )
4342imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( ph  ->  ( m  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 m ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  m
) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) }  =  (/) ) ) ) )
44 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
m  <_  ( # `  F
)  <->  n  <_  ( # `  F ) ) )
45 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  n  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... n
) )
4645imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  ( F " ( 1 ... m ) )  =  ( F " (
1 ... n ) ) )
4746reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  ( E  |`  ( F "
( 1 ... m
) ) )  =  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) )
4847oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) )  =  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) )
4948fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) )
5049breq2d 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) ) )
5150notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x
)  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... n
) ) ) ) `
 x ) ) )
5251rabbidv 2780 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) } )
53 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( P `  m )  =  ( P `  n ) )
5453eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 m )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  n
) ) )
5553preq2d 3713 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } )
5654, 55ifbieq2d 3585 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } ) )
5752, 56eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  <->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )
5844, 57imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  <_  ( # `
 F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } ) )  <->  ( n  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... n
) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) ) )
5958imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  ( m  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 m ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  m
) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) ) ) )
60 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  <_  ( # `  F
)  <->  ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F ) ) )
61 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )
6261imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F " ( 1 ... m ) )  =  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) )
6362reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( E  |`  ( F "
( 1 ... m
) ) )  =  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) )
6463oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) )  =  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
6564fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
) )
6665breq2d 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
) ) )
6766notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x
)  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) ) )
6867rabbidv 2780 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  x ) } )
69 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( P `  m )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) )
7069eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 m )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  (
n  +  1 ) ) ) )
7169preq2d 3713 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } )
7270, 71ifbieq2d 3585 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } ) )
7368, 72eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  <->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) ) )
7460, 73imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( m  <_  ( # `
 F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } ) )  <->  ( ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } ) ) ) )
7574imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( m  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 m ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  m
) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
76 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( m  <_  ( # `  F
)  <->  ( # `  F
)  <_  ( # `  F
) ) )
77 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( 1 ... m )  =  ( 1 ... ( # `
 F ) ) )
7877imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( F " ( 1 ... m
) )  =  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )
7978reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) )  =  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) )
8079oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( V VDeg  ( E  |`  ( F
" ( 1 ... m ) ) ) )  =  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) )
8180fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  =  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) )
8281breq2d 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( 2 
||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) ) )
8382notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) ) )
8483rabbidv 2780 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) } )
85 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( P `  m )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )
8685eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( ( P `  0 )  =  ( P `  m )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )
8785preq2d 3713 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } )
8886, 87ifbieq2d 3585 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  if (
( P `  0
)  =  ( P `
 m ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  m
) } )  =  if ( ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) )
8984, 88eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  <->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) ) )
9076, 89imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( (
m  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 m ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  m
) } ) )  <-> 
( ( # `  F
)  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) ) ) )
9190imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( ( ph  ->  ( m  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... m
) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  m ) } ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (
# `  F )  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) ) ) ) )
92 2z 10054 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
93 dvds0 12544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
9492, 93ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  2  ||  0
95 eupagra 23882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  V UMGrph  E )
96 relumgra 23866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel UMGrph
9796brrelexi 4729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V UMGrph  E  ->  V  e.  _V )
981, 95, 973syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
99 vdgr0 23892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  x  e.  V )  ->  ( ( V VDeg  (/) ) `  x )  =  0 )
10098, 99sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( V VDeg  (/) ) `  x )  =  0 )
10194, 100syl5breqr 4059 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) )
102 notnot1 114 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 
||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x )  ->  -.  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) )
103101, 102syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  -.  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x
) )
104103ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  -.  -.  2  ||  (
( V VDeg  (/) ) `  x ) )
105 rabeq0 3476 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x
) }  =  (/)  <->  A. x  e.  V  -.  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x
) )
106104, 105sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  (/) ) `  x ) }  =  (/) )
107106a1d 22 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( # `
 F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  (/) ) `  x ) }  =  (/) ) )
108 nn0re 9974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
109108adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  RR )
110109lep1d 9688 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  <_  ( n  +  1 ) )
111 peano2re 8985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  +  1 )  e.  RR )
112109, 111syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
11319adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( # `  F
)  e.  RR )
114 letr 8914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( n  +  1
)  e.  RR  /\  ( # `  F )  e.  RR )  -> 
( ( n  <_ 
( n  +  1 )  /\  ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F ) )  ->  n  <_  (
# `  F )
) )
115109, 112, 113, 114syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  <_  ( n  +  1 )  /\  ( n  +  1
)  <_  ( # `  F
) )  ->  n  <_  ( # `  F
) ) )
116110, 115mpand 656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  n  <_  (
# `  F )
) )
117116imim1d 69 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) )  ->  ( ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... n
) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) ) )
118 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
) )
119118breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
) ) )
120119notbid 285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
)  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 y ) ) )
121120elrab 2923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) }  <-> 
( y  e.  V  /\  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
) ) )
1222ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  E  Fn  A )
1231ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  F
( V EulPaths  E ) P )
124 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  n  e.  NN0 )
125 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  (
n  +  1 )  <_  ( # `  F
) )
126 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  y  e.  V )
127 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) )
128122, 123, 124, 125, 126, 127eupath2lem3 23903 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
)  <->  y  e.  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) ) )
129128pm5.32da 622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( (
y  e.  V  /\  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
) )  <->  ( y  e.  V  /\  y  e.  if ( ( P `
 0 )  =  ( P `  (
n  +  1 ) ) ,  (/) ,  {
( P `  0
) ,  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) } ) ) ) )
130 0elpw 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (/)  e.  ~P V
131 eupapf 23887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V )
1321, 131syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
133132ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )
13421ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
135 nn0uz 10262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
136134, 135syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( # `  F
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
137 eluzfz1 10803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  0  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )
138136, 137syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  0  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
139 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  0  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( P `  0
)  e.  V )
140133, 138, 139syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( P `  0 )  e.  V )
141 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F ) )
142 peano2nn0 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
143142ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
144143, 135syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
145134nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( # `  F
)  e.  ZZ )
146 elfz5 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  ( # `
 F )  e.  ZZ )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  <->  ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F ) ) )
147144, 145, 146syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  <->  ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F ) ) )
148141, 147mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
149 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( P `  (
n  +  1 ) )  e.  V )
150133, 148, 149syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  e.  V
)
151 prssi 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P `  0
)  e.  V  /\  ( P `  ( n  +  1 ) )  e.  V )  ->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) }  C_  V )
152140, 150, 151syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) }  C_  V )
153 prex 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) }  e.  _V
154153elpw 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) }  e.  ~P V  <->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) }  C_  V )
155152, 154sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) }  e.  ~P V )
156 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
(/)  e.  ~P V  /\  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) }  e.  ~P V
)  ->  if (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } )  e. 
~P V )
157130, 155, 156sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  if (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } )  e. 
~P V )
158 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } )  e.  ~P V  ->  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) 
C_  V )
159157, 158syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  if (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } )  C_  V )
160159sseld 3179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( y  e.  if ( ( P `
 0 )  =  ( P `  (
n  +  1 ) ) ,  (/) ,  {
( P `  0
) ,  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) } )  ->  y  e.  V ) )
161160pm4.71rd 616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( y  e.  if ( ( P `
 0 )  =  ( P `  (
n  +  1 ) ) ,  (/) ,  {
( P `  0
) ,  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) } )  <->  ( y  e.  V  /\  y  e.  if ( ( P `
 0 )  =  ( P `  (
n  +  1 ) ) ,  (/) ,  {
( P `  0
) ,  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) } ) ) ) )
162129, 161bitr4d 247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( (
y  e.  V  /\  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
) )  <->  y  e.  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) ) )
163121, 162syl5bb 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( y  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
) }  <->  y  e.  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) ) )
164163eqrdv 2281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } ) )
165164exp32 588 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  ( {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } ) ) ) )
166165a2d 23 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) )  ->  ( ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } ) ) ) )
167117, 166syld 40 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) )  ->  ( ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } ) ) ) )
168167expcom 424 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( n  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... n
) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) ) ) ) )
169168a2d 23 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  ( n  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... n
) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
17043, 59, 75, 91, 107, 169nn0ind 10108 . . . 4  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( # `  F
)  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) ) ) )
17121, 170mpcom 32 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  F
)  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) ) )
17220, 171mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) )
17316, 172eqtr3d 2317 1  |-  ( ph  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  ( # `
 F ) ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   {cpr 3641   class class class wbr 4023    |` cres 4691   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    <_ cle 8868   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   #chash 11337    || cdivides 12531   UMGrph cumg 23860   EulPaths ceup 23861   VDeg cvdg 23862
This theorem is referenced by:  eupath  23905
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-prm 12759  df-umgra 23863  df-eupa 23864  df-vdgr 23865
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