Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eupath2 Unicode version

Theorem eupath2 23904
 Description: The only vertices of odd degree in a graph with an Eulerian path are the endpoints, and then only if the endpoints are distinct. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eupath2.1
eupath2.3 EulPaths
Assertion
Ref Expression
eupath2 VDeg
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem eupath2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupath2.3 . . . . . . . . . . 11 EulPaths
2 eupath2.1 . . . . . . . . . . 11
3 eupaf1o 23885 . . . . . . . . . . 11 EulPaths
41, 2, 3syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
5 f1ofo 5479 . . . . . . . . . 10
6 foima 5456 . . . . . . . . . 10
74, 5, 63syl 18 . . . . . . . . 9
87reseq2d 4955 . . . . . . . 8
9 fnresdm 5353 . . . . . . . . 9
102, 9syl 15 . . . . . . . 8
118, 10eqtrd 2315 . . . . . . 7
1211oveq2d 5874 . . . . . 6 VDeg VDeg
1312fveq1d 5527 . . . . 5 VDeg VDeg
1413breq2d 4035 . . . 4 VDeg VDeg
1514notbid 285 . . 3 VDeg VDeg
1615rabbidv 2780 . 2 VDeg VDeg
17 eupacl 23884 . . . . 5 EulPaths
18 nn0re 9974 . . . . 5
191, 17, 183syl 18 . . . 4
2019leidd 9339 . . 3
211, 17syl 15 . . . 4
22 breq1 4026 . . . . . . 7
23 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24 fz10 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2523, 24syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2625imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . . . . 16
27 ima0 5030 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2826, 27syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . 15
2928reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . . . 14
30 res0 4959 . . . . . . . . . . . . . 14
3129, 30syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . 13
3231oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12 VDeg VDeg
3332fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11 VDeg VDeg
3433breq2d 4035 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
3534notbid 285 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
3635rabbidv 2780 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
37 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10
3837eqcomd 2288 . . . . . . . . 9
39 iftrue 3571 . . . . . . . . 9
4038, 39syl 15 . . . . . . . 8
4136, 40eqeq12d 2297 . . . . . . 7 VDeg VDeg
4222, 41imbi12d 311 . . . . . 6 VDeg VDeg
4342imbi2d 307 . . . . 5 VDeg VDeg
44 breq1 4026 . . . . . . 7
45 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . . 14
4746reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . . 13
4847oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12 VDeg VDeg
4948fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11 VDeg VDeg
5049breq2d 4035 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
5150notbid 285 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
5251rabbidv 2780 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
53 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10
5453eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9
5553preq2d 3713 . . . . . . . . 9
5654, 55ifbieq2d 3585 . . . . . . . 8
5752, 56eqeq12d 2297 . . . . . . 7 VDeg VDeg
5844, 57imbi12d 311 . . . . . 6 VDeg VDeg
5958imbi2d 307 . . . . 5 VDeg VDeg
60 breq1 4026 . . . . . . 7
61 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15
6261imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . . 14
6362reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . . 13
6463oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12 VDeg VDeg
6564fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11 VDeg VDeg
6665breq2d 4035 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
6766notbid 285 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
6867rabbidv 2780 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
69 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10
7069eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9
7169preq2d 3713 . . . . . . . . 9
7270, 71ifbieq2d 3585 . . . . . . . 8
7368, 72eqeq12d 2297 . . . . . . 7 VDeg VDeg
7460, 73imbi12d 311 . . . . . 6 VDeg VDeg
7574imbi2d 307 . . . . 5 VDeg VDeg
76 breq1 4026 . . . . . . 7
77 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15
7877imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . . 14
7978reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . . 13
8079oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12 VDeg VDeg
8180fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11 VDeg VDeg
8281breq2d 4035 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
8382notbid 285 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
8483rabbidv 2780 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
85 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10
8685eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9
8785preq2d 3713 . . . . . . . . 9
8886, 87ifbieq2d 3585 . . . . . . . 8
8984, 88eqeq12d 2297 . . . . . . 7 VDeg VDeg
9076, 89imbi12d 311 . . . . . 6 VDeg VDeg
9190imbi2d 307 . . . . 5 VDeg VDeg
92 2z 10054 . . . . . . . . . . 11
93 dvds0 12544 . . . . . . . . . . 11
9492, 93ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
95 eupagra 23882 . . . . . . . . . . . 12 EulPaths UMGrph
96 relumgra 23866 . . . . . . . . . . . . 13 UMGrph
9796brrelexi 4729 . . . . . . . . . . . 12 UMGrph
981, 95, 973syl 18 . . . . . . . . . . 11
99 vdgr0 23892 . . . . . . . . . . 11 VDeg
10098, 99sylan 457 . . . . . . . . . 10 VDeg
10194, 100syl5breqr 4059 . . . . . . . . 9 VDeg
102 notnot1 114 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
103101, 102syl 15 . . . . . . . 8 VDeg
104103ralrimiva 2626 . . . . . . 7 VDeg
105 rabeq0 3476 . . . . . . 7 VDeg VDeg
106104, 105sylibr 203 . . . . . 6 VDeg
107106a1d 22 . . . . 5 VDeg
108 nn0re 9974 . . . . . . . . . . . 12
109108adantl 452 . . . . . . . . . . 11
110109lep1d 9688 . . . . . . . . . 10
111 peano2re 8985 . . . . . . . . . . . 12
112109, 111syl 15 . . . . . . . . . . 11
11319adantr 451 . . . . . . . . . . 11
114 letr 8914 . . . . . . . . . . 11
115109, 112, 113, 114syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10
116110, 115mpand 656 . . . . . . . . 9
117116imim1d 69 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
118 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15 VDeg VDeg
119118breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . 14 VDeg VDeg
120119notbid 285 . . . . . . . . . . . . 13 VDeg VDeg
121120elrab 2923 . . . . . . . . . . . 12 VDeg VDeg
1222ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 VDeg
1231ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 VDeg EulPaths
124 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15 VDeg
125 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15 VDeg
126 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15 VDeg
127 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15 VDeg VDeg
128122, 123, 124, 125, 126, 127eupath2lem3 23903 . . . . . . . . . . . . . 14 VDeg VDeg
129128pm5.32da 622 . . . . . . . . . . . . 13 VDeg VDeg
130 0elpw 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
131 eupapf 23887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 EulPaths
1321, 131syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
133132ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 VDeg
13421ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 VDeg
135 nn0uz 10262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
136134, 135syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 VDeg
137 eluzfz1 10803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
138136, 137syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 VDeg
139 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140133, 138, 139syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 VDeg
141 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 VDeg
142 peano2nn0 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
143142ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 VDeg
144143, 135syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 VDeg
145134nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 VDeg
146 elfz5 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
147144, 145, 146syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 VDeg
148141, 147mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 VDeg
149 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
150133, 148, 149syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 VDeg
151 prssi 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
152140, 150, 151syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 VDeg
153 prex 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
154153elpw 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
155152, 154sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 VDeg
156 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
157130, 155, 156sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 VDeg
158 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . . . 16
159157, 158syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 VDeg
160159sseld 3179 . . . . . . . . . . . . . 14 VDeg
161160pm4.71rd 616 . . . . . . . . . . . . 13 VDeg
162129, 161bitr4d 247 . . . . . . . . . . . 12 VDeg VDeg
163121, 162syl5bb 248 . . . . . . . . . . 11 VDeg VDeg
164163eqrdv 2281 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
165164exp32 588 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
166165a2d 23 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
167117, 166syld 40 . . . . . . 7 VDeg VDeg
168167expcom 424 . . . . . 6 VDeg VDeg
169168a2d 23 . . . . 5 VDeg VDeg
17043, 59, 75, 91, 107, 169nn0ind 10108 . . . 4 VDeg
17121, 170mpcom 32 . . 3 VDeg
17220, 171mpd 14 . 2 VDeg
17316, 172eqtr3d 2317 1 VDeg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  crab 2547  cvv 2788   wss 3152  c0 3455  cif 3565  cpw 3625  cpr 3641   class class class wbr 4023   cres 4691  cima 4692   wfn 5250  wf 5251  wfo 5253  wf1o 5254  cfv 5255  (class class class)co 5858  cr 8736  cc0 8737  c1 8738   caddc 8740   cle 8868  c2 9795  cn0 9965  cz 10024  cuz 10230  cfz 10782  chash 11337   cdivides 12531   UMGrph cumg 23860   EulPaths ceup 23861   VDeg cvdg 23862 This theorem is referenced by:  eupath  23905 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-prm 12759  df-umgra 23863  df-eupa 23864  df-vdgr 23865
 Copyright terms: Public domain W3C validator