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Theorem eusv2nf 4569
Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression  A ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
eusv2.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
eusv2nf  |-  ( E! y E. x  y  =  A  <->  F/_ x A )
Distinct variable groups:    x, y    y, A
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem eusv2nf
StepHypRef Expression
1 nfeu1 2186 . . . 4  |-  F/ y E! y E. x  y  =  A
2 nfe1 1723 . . . . . . 7  |-  F/ x E. x  y  =  A
32nfeu 2192 . . . . . 6  |-  F/ x E! y E. x  y  =  A
4 eusv2.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
_V
54isseti 2828 . . . . . . . 8  |-  E. y 
y  =  A
6 19.8a 1739 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  E. x  y  =  A )
76ancri 535 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  y  =  A  /\  y  =  A ) )
87eximi 1567 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  y  =  A  ->  E. y ( E. x  y  =  A  /\  y  =  A ) )
95, 8ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  E. y
( E. x  y  =  A  /\  y  =  A )
10 eupick 2239 . . . . . . 7  |-  ( ( E! y E. x  y  =  A  /\  E. y ( E. x  y  =  A  /\  y  =  A )
)  ->  ( E. x  y  =  A  ->  y  =  A ) )
119, 10mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( E! y E. x  y  =  A  ->  ( E. x  y  =  A  ->  y  =  A ) )
123, 11alrimi 1769 . . . . 5  |-  ( E! y E. x  y  =  A  ->  A. x
( E. x  y  =  A  ->  y  =  A ) )
13 nf3 1830 . . . . 5  |-  ( F/ x  y  =  A  <->  A. x ( E. x  y  =  A  ->  y  =  A ) )
1412, 13sylibr 203 . . . 4  |-  ( E! y E. x  y  =  A  ->  F/ x  y  =  A
)
151, 14alrimi 1769 . . 3  |-  ( E! y E. x  y  =  A  ->  A. y F/ x  y  =  A )
16 dfnfc2 3882 . . . 4  |-  ( A. x  A  e.  _V  ->  ( F/_ x A  <->  A. y F/ x  y  =  A ) )
1716, 4mpg 1539 . . 3  |-  ( F/_ x A  <->  A. y F/ x  y  =  A )
1815, 17sylibr 203 . 2  |-  ( E! y E. x  y  =  A  ->  F/_ x A )
19 eusvnfb 4567 . . . 4  |-  ( E! y A. x  y  =  A  <->  ( F/_ x A  /\  A  e. 
_V ) )
204, 19mpbiran2 885 . . 3  |-  ( E! y A. x  y  =  A  <->  F/_ x A )
21 eusv2i 4568 . . 3  |-  ( E! y A. x  y  =  A  ->  E! y E. x  y  =  A )
2220, 21sylbir 204 . 2  |-  ( F/_ x A  ->  E! y E. x  y  =  A )
2318, 22impbii 180 1  |-  ( E! y E. x  y  =  A  <->  F/_ x A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1531   E.wex 1532   F/wnf 1535    = wceq 1633    e. wcel 1701   E!weu 2176   F/_wnfc 2439   _Vcvv 2822
This theorem is referenced by:  eusv2  4570
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ral 2582  df-rex 2583  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-un 3191  df-sn 3680  df-pr 3681  df-uni 3865
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