MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1addd Unicode version

Theorem evl1addd 19911
Description: Polynomial evaluation builder for addition of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1addd.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1addd.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1addd.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
evl1addd.1  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1addd.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
evl1addd.3  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
evl1addd.4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  U  /\  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W ) )
evl1addd.g  |-  .+b  =  ( +g  `  P )
evl1addd.a  |-  .+  =  ( +g  `  R )
Assertion
Ref Expression
evl1addd  |-  ( ph  ->  ( ( M  .+b  N )  e.  U  /\  ( ( O `  ( M  .+b  N ) ) `  Y )  =  ( V  .+  W ) ) )

Proof of Theorem evl1addd
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
2 evl1addd.q . . . . . . 7  |-  O  =  (eval1 `  R )
3 evl1addd.p . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  ( R  ^s  B )  =  ( R  ^s  B )
5 evl1addd.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
62, 3, 4, 5evl1rhm 19906 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B
) ) )
71, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  ( P RingHom 
( R  ^s  B ) ) )
8 rhmghm 15785 . . . . 5  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B ) )  ->  O  e.  ( P  GrpHom  ( R  ^s  B )
) )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  ( P 
GrpHom  ( R  ^s  B ) ) )
10 ghmgrp1 14967 . . . 4  |-  ( O  e.  ( P  GrpHom  ( R  ^s  B ) )  ->  P  e.  Grp )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Grp )
12 evl1addd.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
1312simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  U )
14 evl1addd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  U  /\  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W ) )
1514simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  U )
16 evl1addd.u . . . 4  |-  U  =  ( Base `  P
)
17 evl1addd.g . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  P )
1816, 17grpcl 14777 . . 3  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  M  e.  U  /\  N  e.  U )  ->  ( M  .+b  N
)  e.  U )
1911, 13, 15, 18syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  .+b  N
)  e.  U )
20 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  ( R  ^s  B ) )  =  ( +g  `  ( R  ^s  B ) )
2116, 17, 20ghmlin 14970 . . . . . 6  |-  ( ( O  e.  ( P 
GrpHom  ( R  ^s  B ) )  /\  M  e.  U  /\  N  e.  U )  ->  ( O `  ( M  .+b 
N ) )  =  ( ( O `  M ) ( +g  `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) ) )
229, 13, 15, 21syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  ( M  .+b  N ) )  =  ( ( O `
 M ) ( +g  `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) ) )
23 eqid 2408 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( R  ^s  B ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  B ) )
24 fvex 5705 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
255, 24eqeltri 2478 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
2625a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
2716, 23rhmf 15786 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B ) )  ->  O : U --> ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
287, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O : U --> ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
2928, 13ffvelrnd 5834 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  M
)  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
3028, 15ffvelrnd 5834 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  N
)  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
31 evl1addd.a . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  R )
324, 23, 1, 26, 29, 30, 31, 20pwsplusgval 13671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( O `  M ) ( +g  `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) )  =  ( ( O `  M )  o F 
.+  ( O `  N ) ) )
3322, 32eqtrd 2440 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  ( M  .+b  N ) )  =  ( ( O `
 M )  o F  .+  ( O `
 N ) ) )
3433fveq1d 5693 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( M  .+b  N ) ) `  Y )  =  ( ( ( O `  M )  o F  .+  ( O `  N )
) `  Y )
)
354, 5, 23, 1, 26, 29pwselbas 13670 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  M
) : B --> B )
36 ffn 5554 . . . . 5  |-  ( ( O `  M ) : B --> B  -> 
( O `  M
)  Fn  B )
3735, 36syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  M
)  Fn  B )
384, 5, 23, 1, 26, 30pwselbas 13670 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  N
) : B --> B )
39 ffn 5554 . . . . 5  |-  ( ( O `  N ) : B --> B  -> 
( O `  N
)  Fn  B )
4038, 39syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  N
)  Fn  B )
41 evl1addd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
42 fnfvof 6280 . . . 4  |-  ( ( ( ( O `  M )  Fn  B  /\  ( O `  N
)  Fn  B )  /\  ( B  e. 
_V  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( O `
 M )  o F  .+  ( O `
 N ) ) `
 Y )  =  ( ( ( O `
 M ) `  Y )  .+  (
( O `  N
) `  Y )
) )
4337, 40, 26, 41, 42syl22anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 M )  o F  .+  ( O `
 N ) ) `
 Y )  =  ( ( ( O `
 M ) `  Y )  .+  (
( O `  N
) `  Y )
) )
4412simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V )
4514simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W )
4644, 45oveq12d 6062 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 M ) `  Y )  .+  (
( O `  N
) `  Y )
)  =  ( V 
.+  W ) )
4734, 43, 463eqtrd 2444 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( M  .+b  N ) ) `  Y )  =  ( V  .+  W ) )
4819, 47jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( M  .+b  N )  e.  U  /\  ( ( O `  ( M  .+b  N ) ) `  Y )  =  ( V  .+  W ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2920    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044    o Fcof 6266   Basecbs 13428   +g cplusg 13488    ^s cpws 13629   Grpcgrp 14644    GrpHom cghm 14962   CRingccrg 15620   RingHom crh 15776  Poly1cpl1 16530  eval1ce1 16532
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-ofr 6269  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-seq 11283  df-hash 11578  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-hom 13512  df-cco 13513  df-prds 13630  df-pws 13632  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-mhm 14697  df-submnd 14698  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-mulg 14774  df-subg 14900  df-ghm 14963  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-cring 15623  df-ur 15624  df-rnghom 15778  df-subrg 15825  df-lmod 15911  df-lss 15968  df-lsp 16007  df-assa 16331  df-asp 16332  df-ascl 16333  df-psr 16376  df-mvr 16377  df-mpl 16378  df-evls 16379  df-evl 16380  df-opsr 16384  df-psr1 16535  df-ply1 16537  df-evl1 16539
  Copyright terms: Public domain W3C validator