Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1addd Unicode version

 Description: Polynomial evaluation builder for addition of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression

StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . . 6
2 evl1addd.q . . . . . . 7 eval1
3 evl1addd.p . . . . . . 7 Poly1
4 eqid 2358 . . . . . . 7 s s
5 evl1addd.b . . . . . . 7
62, 3, 4, 5evl1rhm 19516 . . . . . 6 RingHom s
71, 6syl 15 . . . . 5 RingHom s
8 rhmghm 15602 . . . . 5 RingHom s s
97, 8syl 15 . . . 4 s
10 ghmgrp1 14784 . . . 4 s
119, 10syl 15 . . 3
12 evl1addd.3 . . . 4
1312simpld 445 . . 3
14 evl1addd.4 . . . 4
1514simpld 445 . . 3
16 evl1addd.u . . . 4
17 evl1addd.g . . . 4
1816, 17grpcl 14594 . . 3
1911, 13, 15, 18syl3anc 1182 . 2
20 eqid 2358 . . . . . . 7 s s
2116, 17, 20ghmlin 14787 . . . . . 6 s s
229, 13, 15, 21syl3anc 1182 . . . . 5 s
23 eqid 2358 . . . . . 6 s s
24 fvex 5622 . . . . . . . 8
255, 24eqeltri 2428 . . . . . . 7
2625a1i 10 . . . . . 6
2716, 23rhmf 15603 . . . . . . . 8 RingHom s s
287, 27syl 15 . . . . . . 7 s
29 ffvelrn 5746 . . . . . . 7 s s
3028, 13, 29syl2anc 642 . . . . . 6 s
31 ffvelrn 5746 . . . . . . 7 s s
3228, 15, 31syl2anc 642 . . . . . 6 s
33 evl1addd.a . . . . . 6
344, 23, 1, 26, 30, 32, 33, 20pwsplusgval 13488 . . . . 5 s
3522, 34eqtrd 2390 . . . 4
3635fveq1d 5610 . . 3
374, 5, 23, 1, 26, 30pwselbas 13487 . . . . 5
38 ffn 5472 . . . . 5
3937, 38syl 15 . . . 4
404, 5, 23, 1, 26, 32pwselbas 13487 . . . . 5
41 ffn 5472 . . . . 5
4240, 41syl 15 . . . 4
43 evl1addd.2 . . . 4
44 fnfvof 6177 . . . 4
4539, 42, 26, 43, 44syl22anc 1183 . . 3
4612simprd 449 . . . 4
4714simprd 449 . . . 4
4846, 47oveq12d 5963 . . 3
4936, 45, 483eqtrd 2394 . 2
5019, 49jca 518 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1642   wcel 1710  cvv 2864   wfn 5332  wf 5333  cfv 5337  (class class class)co 5945   cof 6163  cbs 13245   cplusg 13305   s cpws 13446  cgrp 14461   cghm 14779  ccrg 15437   RingHom crh 15593  Poly1cpl1 16351  eval1ce1 16353 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-ofr 6166  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-hash 11431  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-hom 13329  df-cco 13330  df-prds 13447  df-pws 13449  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-mhm 14514  df-submnd 14515  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-mulg 14591  df-subg 14717  df-ghm 14780  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-abl 15191  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-cring 15440  df-ur 15441  df-rnghom 15595  df-subrg 15642  df-lmod 15728  df-lss 15789  df-lsp 15828  df-assa 16152  df-asp 16153  df-ascl 16154  df-psr 16197  df-mvr 16198  df-mpl 16199  df-evls 16200  df-evl 16201  df-opsr 16205  df-psr1 16356  df-ply1 16358  df-evl1 16360
 Copyright terms: Public domain W3C validator