MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1addd Structured version   Unicode version

Theorem evl1addd 19954
Description: Polynomial evaluation builder for addition of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1addd.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1addd.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1addd.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
evl1addd.1  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1addd.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
evl1addd.3  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
evl1addd.4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  U  /\  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W ) )
evl1addd.g  |-  .+b  =  ( +g  `  P )
evl1addd.a  |-  .+  =  ( +g  `  R )
Assertion
Ref Expression
evl1addd  |-  ( ph  ->  ( ( M  .+b  N )  e.  U  /\  ( ( O `  ( M  .+b  N ) ) `  Y )  =  ( V  .+  W ) ) )

Proof of Theorem evl1addd
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
2 evl1addd.q . . . . . . 7  |-  O  =  (eval1 `  R )
3 evl1addd.p . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( R  ^s  B )  =  ( R  ^s  B )
5 evl1addd.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
62, 3, 4, 5evl1rhm 19949 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B
) ) )
71, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  ( P RingHom 
( R  ^s  B ) ) )
8 rhmghm 15826 . . . . 5  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B ) )  ->  O  e.  ( P  GrpHom  ( R  ^s  B )
) )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  ( P 
GrpHom  ( R  ^s  B ) ) )
10 ghmgrp1 15008 . . . 4  |-  ( O  e.  ( P  GrpHom  ( R  ^s  B ) )  ->  P  e.  Grp )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Grp )
12 evl1addd.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
1312simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  U )
14 evl1addd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  U  /\  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W ) )
1514simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  U )
16 evl1addd.u . . . 4  |-  U  =  ( Base `  P
)
17 evl1addd.g . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  P )
1816, 17grpcl 14818 . . 3  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  M  e.  U  /\  N  e.  U )  ->  ( M  .+b  N
)  e.  U )
1911, 13, 15, 18syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  .+b  N
)  e.  U )
20 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  ( R  ^s  B ) )  =  ( +g  `  ( R  ^s  B ) )
2116, 17, 20ghmlin 15011 . . . . . 6  |-  ( ( O  e.  ( P 
GrpHom  ( R  ^s  B ) )  /\  M  e.  U  /\  N  e.  U )  ->  ( O `  ( M  .+b 
N ) )  =  ( ( O `  M ) ( +g  `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) ) )
229, 13, 15, 21syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  ( M  .+b  N ) )  =  ( ( O `
 M ) ( +g  `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) ) )
23 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( R  ^s  B ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  B ) )
24 fvex 5742 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
255, 24eqeltri 2506 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
2625a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
2716, 23rhmf 15827 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B ) )  ->  O : U --> ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
287, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O : U --> ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
2928, 13ffvelrnd 5871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  M
)  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
3028, 15ffvelrnd 5871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  N
)  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
31 evl1addd.a . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  R )
324, 23, 1, 26, 29, 30, 31, 20pwsplusgval 13712 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( O `  M ) ( +g  `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) )  =  ( ( O `  M )  o F 
.+  ( O `  N ) ) )
3322, 32eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  ( M  .+b  N ) )  =  ( ( O `
 M )  o F  .+  ( O `
 N ) ) )
3433fveq1d 5730 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( M  .+b  N ) ) `  Y )  =  ( ( ( O `  M )  o F  .+  ( O `  N )
) `  Y )
)
354, 5, 23, 1, 26, 29pwselbas 13711 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  M
) : B --> B )
36 ffn 5591 . . . . 5  |-  ( ( O `  M ) : B --> B  -> 
( O `  M
)  Fn  B )
3735, 36syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  M
)  Fn  B )
384, 5, 23, 1, 26, 30pwselbas 13711 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  N
) : B --> B )
39 ffn 5591 . . . . 5  |-  ( ( O `  N ) : B --> B  -> 
( O `  N
)  Fn  B )
4038, 39syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  N
)  Fn  B )
41 evl1addd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
42 fnfvof 6317 . . . 4  |-  ( ( ( ( O `  M )  Fn  B  /\  ( O `  N
)  Fn  B )  /\  ( B  e. 
_V  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( O `
 M )  o F  .+  ( O `
 N ) ) `
 Y )  =  ( ( ( O `
 M ) `  Y )  .+  (
( O `  N
) `  Y )
) )
4337, 40, 26, 41, 42syl22anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 M )  o F  .+  ( O `
 N ) ) `
 Y )  =  ( ( ( O `
 M ) `  Y )  .+  (
( O `  N
) `  Y )
) )
4412simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V )
4514simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W )
4644, 45oveq12d 6099 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 M ) `  Y )  .+  (
( O `  N
) `  Y )
)  =  ( V 
.+  W ) )
4734, 43, 463eqtrd 2472 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( M  .+b  N ) ) `  Y )  =  ( V  .+  W ) )
4819, 47jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( M  .+b  N )  e.  U  /\  ( ( O `  ( M  .+b  N ) ) `  Y )  =  ( V  .+  W ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303   Basecbs 13469   +g cplusg 13529    ^s cpws 13670   Grpcgrp 14685    GrpHom cghm 15003   CRingccrg 15661   RingHom crh 15817  Poly1cpl1 16571  eval1ce1 16573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-hom 13553  df-cco 13554  df-prds 13671  df-pws 13673  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-rnghom 15819  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-assa 16372  df-asp 16373  df-ascl 16374  df-psr 16417  df-mvr 16418  df-mpl 16419  df-evls 16420  df-evl 16421  df-opsr 16425  df-psr1 16576  df-ply1 16578  df-evl1 16580
  Copyright terms: Public domain W3C validator