Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1expd Structured version   Unicode version

Theorem evl1expd 19960
 Description: Polynomial evaluation builder for an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1expd.f .gmulGrp
evl1expd.e .gmulGrp
evl1expd.4
Assertion
Ref Expression
evl1expd

Proof of Theorem evl1expd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . 5
2 crngrng 15676 . . . . 5
31, 2syl 16 . . . 4
4 evl1addd.p . . . . 5 Poly1
54ply1rng 16644 . . . 4
6 eqid 2438 . . . . 5 mulGrp mulGrp
76rngmgp 15672 . . . 4 mulGrp
83, 5, 73syl 19 . . 3 mulGrp
9 evl1expd.4 . . 3
10 evl1addd.3 . . . 4
1110simpld 447 . . 3
12 evl1addd.u . . . . 5
136, 12mgpbas 15656 . . . 4 mulGrp
14 evl1expd.f . . . 4 .gmulGrp
1513, 14mulgnn0cl 14908 . . 3 mulGrp
168, 9, 11, 15syl3anc 1185 . 2
17 evl1addd.q . . . . . . . . 9 eval1
18 eqid 2438 . . . . . . . . 9 s s
19 evl1addd.b . . . . . . . . 9
2017, 4, 18, 19evl1rhm 19951 . . . . . . . 8 RingHom s
211, 20syl 16 . . . . . . 7 RingHom s
22 eqid 2438 . . . . . . . 8 mulGrp s mulGrp s
236, 22rhmmhm 15827 . . . . . . 7 RingHom s mulGrp MndHom mulGrp s
2421, 23syl 16 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrp s
25 eqid 2438 . . . . . . 7 .gmulGrp s .gmulGrp s
2613, 14, 25mhmmulg 14924 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrp s .gmulGrp s
2724, 9, 11, 26syl3anc 1185 . . . . 5 .gmulGrp s
28 eqid 2438 . . . . . . 7 .gmulGrp s .gmulGrp s
29 eqidd 2439 . . . . . . 7 mulGrp s mulGrp s
30 fvex 5744 . . . . . . . . . 10
3119, 30eqeltri 2508 . . . . . . . . 9
32 eqid 2438 . . . . . . . . . 10 mulGrp mulGrp
33 eqid 2438 . . . . . . . . . 10 mulGrp s mulGrp s
34 eqid 2438 . . . . . . . . . 10 mulGrp s mulGrp s
35 eqid 2438 . . . . . . . . . 10 mulGrp s mulGrp s
36 eqid 2438 . . . . . . . . . 10 mulGrp s mulGrp s
37 eqid 2438 . . . . . . . . . 10 mulGrp s mulGrp s
3818, 32, 33, 22, 34, 35, 36, 37pwsmgp 15726 . . . . . . . . 9 mulGrp s mulGrp s mulGrp s mulGrp s
391, 31, 38sylancl 645 . . . . . . . 8 mulGrp s mulGrp s mulGrp s mulGrp s
4039simpld 447 . . . . . . 7 mulGrp s mulGrp s
41 ssv 3370 . . . . . . . 8 mulGrp s
4241a1i 11 . . . . . . 7 mulGrp s
43 ovex 6108 . . . . . . . 8 mulGrp s
4443a1i 11 . . . . . . 7 mulGrp s
4539simprd 451 . . . . . . . 8 mulGrp s mulGrp s
4645proplem3 13918 . . . . . . 7 mulGrp s mulGrp s
4725, 28, 29, 40, 42, 44, 46mulgpropd 14925 . . . . . 6 .gmulGrp s .gmulGrp s
4847oveqd 6100 . . . . 5 .gmulGrp s .gmulGrp s
4927, 48eqtrd 2470 . . . 4 .gmulGrp s
5049fveq1d 5732 . . 3 .gmulGrp s
5132rngmgp 15672 . . . . . 6 mulGrp
523, 51syl 16 . . . . 5 mulGrp
5331a1i 11 . . . . 5
54 eqid 2438 . . . . . . . . 9 s s
5512, 54rhmf 15829 . . . . . . . 8 RingHom s s
5621, 55syl 16 . . . . . . 7 s
5756, 11ffvelrnd 5873 . . . . . 6 s
5822, 54mgpbas 15656 . . . . . . 7 s mulGrp s
5958, 40syl5eq 2482 . . . . . 6 s mulGrp s
6057, 59eleqtrd 2514 . . . . 5 mulGrp s
61 evl1addd.2 . . . . 5
62 evl1expd.e . . . . . 6 .gmulGrp
6333, 35, 28, 62pwsmulg 14934 . . . . 5 mulGrp mulGrp s .gmulGrp s
6452, 53, 9, 60, 61, 63syl23anc 1192 . . . 4 .gmulGrp s
6510simprd 451 . . . . 5
6665oveq2d 6099 . . . 4
6764, 66eqtrd 2470 . . 3 .gmulGrp s
6850, 67eqtrd 2470 . 2
6916, 68jca 520 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   wss 3322  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cn0 10223  cbs 13471   cplusg 13531   s cpws 13672  cmnd 14686  .gcmg 14691   MndHom cmhm 14738  mulGrpcmgp 15650  crg 15662  ccrg 15663   RingHom crh 15819  Poly1cpl1 16573  eval1ce1 16575 This theorem is referenced by:  plypf1  20133  lgsqrlem1  21127  idomrootle  27490 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-ofr 6308  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-pws 13675  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-rnghom 15821  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-assa 16374  df-asp 16375  df-ascl 16376  df-psr 16419  df-mvr 16420  df-mpl 16421  df-evls 16422  df-evl 16423  df-opsr 16427  df-psr1 16578  df-ply1 16580  df-evl1 16582
 Copyright terms: Public domain W3C validator