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Theorem evl1fval 19410
Description: Value of the simple/same ring evalutation map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1fval.o  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1fval.q  |-  Q  =  ( 1o eval  R )
evl1fval.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
evl1fval  |-  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, Q    x, R
Allowed substitution hints:    Q( y)    R( y)    O( x, y)

Proof of Theorem evl1fval
Dummy variables  i 
r  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1fval.o . . 3  |-  O  =  (eval1 `  R )
2 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( Base `  r )  e.  _V
32a1i 10 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  e. 
_V )
4 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( Base `  r
)  ->  b  =  ( Base `  r )
)
5 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  ( Base `  R
) )
6 evl1fval.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  R
)
75, 6syl6eqr 2333 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  B )
84, 7sylan9eqr 2337 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
b  =  B )
98oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( b  ^m  1o )  =  ( B  ^m  1o ) )
108, 9oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( b  ^m  (
b  ^m  1o )
)  =  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) )
11 mpteq1 4100 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) )
128, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( y  e.  b 
|->  ( 1o  X.  {
y } ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )
1312coeq2d 4846 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( x  o.  (
y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )  =  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
1410, 13mpteq12dv 4098 . . . . . 6  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( x  e.  ( b  ^m  ( b  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) ) )
15 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
r  =  R )
1615oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( 1o eval  r )  =  ( 1o eval  R
) )
17 evl1fval.q . . . . . . 7  |-  Q  =  ( 1o eval  R )
1816, 17syl6eqr 2333 . . . . . 6  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( 1o eval  r )  =  Q )
1914, 18coeq12d 4848 . . . . 5  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( ( x  e.  ( b  ^m  (
b  ^m  1o )
)  |->  ( x  o.  ( y  e.  b 
|->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  ( 1o eval  r ) )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q ) )
203, 19csbied 3123 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  [_ ( Base `  r )  / 
b ]_ ( ( x  e.  ( b  ^m  ( b  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( 1o eval  r ) )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q ) )
21 df-evl1 16261 . . . 4  |- eval1  =  (
r  e.  _V  |->  [_ ( Base `  r )  /  b ]_ (
( x  e.  ( b  ^m  ( b  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( 1o eval 
r ) ) )
22 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  e.  _V
2322mptex 5746 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  e.  _V
24 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( 1o eval  R )  e.  _V
2517, 24eqeltri 2353 . . . . 5  |-  Q  e. 
_V
2623, 25coex 5216 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q )  e.  _V
2720, 21, 26fvmpt 5602 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  (eval1 `  R )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q ) )
281, 27syl5eq 2327 . 2  |-  ( R  e.  _V  ->  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  Q
) )
29 fvprc 5519 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (eval1 `  R )  =  (/) )
301, 29syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  O  =  (/) )
31 co02 5186 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  (/) )  =  (/)
3230, 31syl6eqr 2333 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  (/) ) )
33 df-evl 16102 . . . . . . 7  |- eval  =  ( i  e.  _V , 
r  e.  _V  |->  ( ( i evalSub  r ) `
 ( Base `  r
) ) )
3433reldmmpt2 5955 . . . . . 6  |-  Rel  dom eval
3534ovprc2 5887 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 1o eval  R )  =  (/) )
3617, 35syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  Q  =  (/) )
3736coeq2d 4846 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  (/) ) )
3832, 37eqtr4d 2318 . 2  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  Q
) )
3928, 38pm2.61i 156 1  |-  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   [_csb 3081   (/)c0 3455   {csn 3640    e. cmpt 4077    X. cxp 4687    o. ccom 4693   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1oc1o 6472    ^m cmap 6772   Basecbs 13148   evalSub ces 16090   eval cevl 16091  eval1ce1 16254
This theorem is referenced by:  evl1val  19411  evl1rhm  19412  pf1rcl  19432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-evl 16102  df-evl1 16261
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