Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1fval Structured version   Unicode version

Theorem evl1fval 19939
 Description: Value of the simple/same ring evalutation map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1fval.o eval1
evl1fval.q eval
evl1fval.b
Assertion
Ref Expression
evl1fval
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)

Proof of Theorem evl1fval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1fval.o . . 3 eval1
2 fvex 5734 . . . . . 6
32a1i 11 . . . . 5
4 id 20 . . . . . . . . 9
5 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10
6 evl1fval.b . . . . . . . . . 10
75, 6syl6eqr 2485 . . . . . . . . 9
84, 7sylan9eqr 2489 . . . . . . . 8
98oveq1d 6088 . . . . . . . 8
108, 9oveq12d 6091 . . . . . . 7
118mpteq1d 4282 . . . . . . . 8
1211coeq2d 5027 . . . . . . 7
1310, 12mpteq12dv 4279 . . . . . 6
14 simpl 444 . . . . . . . 8
1514oveq2d 6089 . . . . . . 7 eval eval
16 evl1fval.q . . . . . . 7 eval
1715, 16syl6eqr 2485 . . . . . 6 eval
1813, 17coeq12d 5029 . . . . 5 eval
193, 18csbied 3285 . . . 4 eval
20 df-evl1 16572 . . . 4 eval1 eval
21 ovex 6098 . . . . . 6
2221mptex 5958 . . . . 5
23 ovex 6098 . . . . . 6 eval
2416, 23eqeltri 2505 . . . . 5
2522, 24coex 5405 . . . 4
2619, 20, 25fvmpt 5798 . . 3 eval1
271, 26syl5eq 2479 . 2
28 fvprc 5714 . . . . 5 eval1
291, 28syl5eq 2479 . . . 4
30 co02 5375 . . . 4
3129, 30syl6eqr 2485 . . 3
32 df-evl 16413 . . . . . . 7 eval evalSub
3332reldmmpt2 6173 . . . . . 6 eval
3433ovprc2 6102 . . . . 5 eval
3516, 34syl5eq 2479 . . . 4
3635coeq2d 5027 . . 3
3731, 36eqtr4d 2470 . 2
3827, 37pm2.61i 158 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948  csb 3243  c0 3620  csn 3806   cmpt 4258   cxp 4868   ccom 4874  cfv 5446  (class class class)co 6073  c1o 6709   cmap 7010  cbs 13461   evalSub ces 16401   eval cevl 16402  eval1ce1 16565 This theorem is referenced by:  evl1val  19940  evl1rhm  19941  pf1rcl  19961 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-evl 16413  df-evl1 16572
 Copyright terms: Public domain W3C validator