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Theorem evl1fval 19814
Description: Value of the simple/same ring evalutation map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1fval.o  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1fval.q  |-  Q  =  ( 1o eval  R )
evl1fval.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
evl1fval  |-  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, Q    x, R
Allowed substitution hints:    Q( y)    R( y)    O( x, y)

Proof of Theorem evl1fval
Dummy variables  i 
r  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1fval.o . . 3  |-  O  =  (eval1 `  R )
2 fvex 5682 . . . . . 6  |-  ( Base `  r )  e.  _V
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  e. 
_V )
4 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( Base `  r
)  ->  b  =  ( Base `  r )
)
5 fveq2 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  ( Base `  R
) )
6 evl1fval.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  R
)
75, 6syl6eqr 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  B )
84, 7sylan9eqr 2441 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
b  =  B )
98oveq1d 6035 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( b  ^m  1o )  =  ( B  ^m  1o ) )
108, 9oveq12d 6038 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( b  ^m  (
b  ^m  1o )
)  =  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) )
118mpteq1d 4231 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( y  e.  b 
|->  ( 1o  X.  {
y } ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )
1211coeq2d 4975 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( x  o.  (
y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )  =  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
1310, 12mpteq12dv 4228 . . . . . 6  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( x  e.  ( b  ^m  ( b  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) ) )
14 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
r  =  R )
1514oveq2d 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( 1o eval  r )  =  ( 1o eval  R
) )
16 evl1fval.q . . . . . . 7  |-  Q  =  ( 1o eval  R )
1715, 16syl6eqr 2437 . . . . . 6  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( 1o eval  r )  =  Q )
1813, 17coeq12d 4977 . . . . 5  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( ( x  e.  ( b  ^m  (
b  ^m  1o )
)  |->  ( x  o.  ( y  e.  b 
|->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  ( 1o eval  r ) )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q ) )
193, 18csbied 3236 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  [_ ( Base `  r )  / 
b ]_ ( ( x  e.  ( b  ^m  ( b  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( 1o eval  r ) )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q ) )
20 df-evl1 16507 . . . 4  |- eval1  =  (
r  e.  _V  |->  [_ ( Base `  r )  /  b ]_ (
( x  e.  ( b  ^m  ( b  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( 1o eval 
r ) ) )
21 ovex 6045 . . . . . 6  |-  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  e.  _V
2221mptex 5905 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  e.  _V
23 ovex 6045 . . . . . 6  |-  ( 1o eval  R )  e.  _V
2416, 23eqeltri 2457 . . . . 5  |-  Q  e. 
_V
2522, 24coex 5353 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q )  e.  _V
2619, 20, 25fvmpt 5745 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  (eval1 `  R )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q ) )
271, 26syl5eq 2431 . 2  |-  ( R  e.  _V  ->  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  Q
) )
28 fvprc 5662 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (eval1 `  R )  =  (/) )
291, 28syl5eq 2431 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  O  =  (/) )
30 co02 5323 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  (/) )  =  (/)
3129, 30syl6eqr 2437 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  (/) ) )
32 df-evl 16348 . . . . . . 7  |- eval  =  ( i  e.  _V , 
r  e.  _V  |->  ( ( i evalSub  r ) `
 ( Base `  r
) ) )
3332reldmmpt2 6120 . . . . . 6  |-  Rel  dom eval
3433ovprc2 6049 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 1o eval  R )  =  (/) )
3516, 34syl5eq 2431 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  Q  =  (/) )
3635coeq2d 4975 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  (/) ) )
3731, 36eqtr4d 2422 . 2  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  Q
) )
3827, 37pm2.61i 158 1  |-  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899   [_csb 3194   (/)c0 3571   {csn 3757    e. cmpt 4207    X. cxp 4816    o. ccom 4822   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   1oc1o 6653    ^m cmap 6954   Basecbs 13396   evalSub ces 16336   eval cevl 16337  eval1ce1 16500
This theorem is referenced by:  evl1val  19815  evl1rhm  19816  pf1rcl  19836
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-evl 16348  df-evl1 16507
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