MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1rhm Unicode version

Theorem evl1rhm 19817
Description: Polynomial evaluation is a homomorphism (into the product ring). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1rhm.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1rhm.w  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1rhm.t  |-  T  =  ( R  ^s  B )
evl1rhm.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
evl1rhm  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  T ) )

Proof of Theorem evl1rhm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1rhm.q . . 3  |-  O  =  (eval1 `  R )
2 eqid 2388 . . 3  |-  ( 1o eval  R )  =  ( 1o eval  R )
3 evl1rhm.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 2, 3evl1fval 19815 . 2  |-  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( 1o eval  R ) )
5 ovex 6046 . . . . . 6  |-  ( B  ^m  1o )  e. 
_V
6 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) )  =  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) )
76, 3pwsbas 13637 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( B  ^m  1o )  e. 
_V )  ->  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  =  (
Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
85, 7mpan2 653 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  =  (
Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
98mpteq1d 4232 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) ) ) )
10 evl1rhm.t . . . . 5  |-  T  =  ( R  ^s  B )
11 eqid 2388 . . . . 5  |-  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )
12 crngrng 15602 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
13 fvex 5683 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
143, 13eqeltri 2458 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  B  e.  _V )
165a1i 11 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( B  ^m  1o )  e.  _V )
17 df1o2 6673 . . . . . . 7  |-  1o  =  { (/) }
18 0ex 4281 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
19 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
2017, 14, 18, 19mapsnf1o3 6999 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )
21 f1of 5615 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )  ->  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
2220, 21mp1i 12 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
2310, 6, 11, 12, 15, 16, 22pwsco1rhm 15761 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( x  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) ) )  e.  ( ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) RingHom  T ) )
249, 23eqeltrd 2462 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  e.  ( ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) RingHom  T ) )
25 1on 6668 . . . . 5  |-  1o  e.  On
26 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
272, 3, 26, 6evlrhm 19814 . . . . 5  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  R  e.  CRing )  -> 
( 1o eval  R )  e.  ( ( 1o mPoly  R
) RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
2825, 27mpan 652 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( 1o eval  R )  e.  ( ( 1o mPoly  R ) RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
29 eqidd 2389 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
)
30 eqidd 2389 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
31 evl1rhm.w . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
32 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
33 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
3431, 32, 33ply1bas 16521 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
3534a1i 11 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
36 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
3731, 26, 36ply1plusg 16547 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) )
3837a1i 11 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) ) )
3938proplem3 13844 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  P )  /\  y  e.  ( Base `  P
) ) )  -> 
( x ( +g  `  P ) y )  =  ( x ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) ) y ) )
40 eqidd 2389 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) ) )  ->  ( x
( +g  `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) y )  =  ( x ( +g  `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) y ) )
41 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
4231, 26, 41ply1mulr 16549 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  ( 1o mPoly  R ) )
4342a1i 11 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( .r `  P )  =  ( .r `  ( 1o mPoly  R ) ) )
4443proplem3 13844 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  P )  /\  y  e.  ( Base `  P
) ) )  -> 
( x ( .r
`  P ) y )  =  ( x ( .r `  ( 1o mPoly  R ) ) y ) )
45 eqidd 2389 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) ) )  ->  ( x
( .r `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) y )  =  ( x ( .r `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) y ) )
4629, 30, 35, 30, 39, 40, 44, 45rhmpropd 15831 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( P RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  =  ( ( 1o mPoly  R
) RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
4728, 46eleqtrrd 2465 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( 1o eval  R )  e.  ( P RingHom 
( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
48 rhmco 15760 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  e.  ( ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) RingHom  T )  /\  ( 1o eval  R )  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( 1o eval  R ) )  e.  ( P RingHom  T )
)
4924, 47, 48syl2anc 643 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (
x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( 1o eval  R ) )  e.  ( P RingHom  T ) )
504, 49syl5eqel 2472 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900   (/)c0 3572   {csn 3758    e. cmpt 4208   Oncon0 4523    X. cxp 4817    o. ccom 4823   -->wf 5391   -1-1-onto->wf1o 5394   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   1oc1o 6654    ^m cmap 6955   Basecbs 13397   +g cplusg 13457   .rcmulr 13458    ^s cpws 13598   CRingccrg 15589   RingHom crh 15745   mPoly cmpl 16336   eval cevl 16338  PwSer1cps1 16497  Poly1cpl1 16499  eval1ce1 16501
This theorem is referenced by:  evl1addd  19822  evl1subd  19823  evl1muld  19824  evl1expd  19826  pf1const  19834  pf1id  19835  pf1subrg  19836  mpfpf1  19839  pf1mpf  19840  ply1remlem  19953  ply1rem  19954  facth1  19955  fta1glem1  19956  fta1glem2  19957  fta1g  19958  fta1blem  19959  plypf1  19999  lgsqrlem2  20994  lgsqrlem3  20995  idomrootle  27181
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-ofr 6246  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-hash 11547  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-hom 13481  df-cco 13482  df-prds 13599  df-pws 13601  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-mhm 14666  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-mulg 14743  df-subg 14869  df-ghm 14932  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-cring 15592  df-ur 15593  df-rnghom 15747  df-subrg 15794  df-lmod 15880  df-lss 15937  df-lsp 15976  df-assa 16300  df-asp 16301  df-ascl 16302  df-psr 16345  df-mvr 16346  df-mpl 16347  df-evls 16348  df-evl 16349  df-opsr 16353  df-psr1 16504  df-ply1 16506  df-evl1 16508
  Copyright terms: Public domain W3C validator