MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1rhm Unicode version

Theorem evl1rhm 19428
Description: Polynomial evaluation is a homomorphism (into the product ring). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1rhm.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1rhm.w  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1rhm.t  |-  T  =  ( R  ^s  B )
evl1rhm.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
evl1rhm  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  T ) )

Proof of Theorem evl1rhm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1rhm.q . . 3  |-  O  =  (eval1 `  R )
2 eqid 2296 . . 3  |-  ( 1o eval  R )  =  ( 1o eval  R )
3 evl1rhm.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 2, 3evl1fval 19426 . 2  |-  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( 1o eval  R ) )
5 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( B  ^m  1o )  e. 
_V
6 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) )  =  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) )
76, 3pwsbas 13402 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( B  ^m  1o )  e. 
_V )  ->  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  =  (
Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
85, 7mpan2 652 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  =  (
Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
9 mpteq1 4116 . . . . 5  |-  ( ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  -> 
( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) ) ) )
108, 9syl 15 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) ) ) )
11 evl1rhm.t . . . . 5  |-  T  =  ( R  ^s  B )
12 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )
13 crngrng 15367 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
14 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
153, 14eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
1615a1i 10 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  B  e.  _V )
175a1i 10 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( B  ^m  1o )  e.  _V )
18 df1o2 6507 . . . . . . 7  |-  1o  =  { (/) }
19 0ex 4166 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
20 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
2118, 15, 19, 20mapsnf1o3 6832 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )
22 f1of 5488 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )  ->  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
2321, 22mp1i 11 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
2411, 6, 12, 13, 16, 17, 23pwsco1rhm 15526 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( x  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) ) )  e.  ( ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) RingHom  T ) )
2510, 24eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  e.  ( ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) RingHom  T ) )
26 1on 6502 . . . . 5  |-  1o  e.  On
27 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
282, 3, 27, 6evlrhm 19425 . . . . 5  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  R  e.  CRing )  -> 
( 1o eval  R )  e.  ( ( 1o mPoly  R
) RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
2926, 28mpan 651 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( 1o eval  R )  e.  ( ( 1o mPoly  R ) RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
30 eqidd 2297 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
)
31 eqidd 2297 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
32 evl1rhm.w . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
33 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
34 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
3532, 33, 34ply1bas 16290 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
3635a1i 10 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
37 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
3832, 27, 37ply1plusg 16319 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) )
3938a1i 10 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) ) )
4039proplem3 13609 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  P )  /\  y  e.  ( Base `  P
) ) )  -> 
( x ( +g  `  P ) y )  =  ( x ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) ) y ) )
41 eqidd 2297 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) ) )  ->  ( x
( +g  `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) y )  =  ( x ( +g  `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) y ) )
42 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
4332, 27, 42ply1mulr 16321 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  ( 1o mPoly  R ) )
4443a1i 10 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( .r `  P )  =  ( .r `  ( 1o mPoly  R ) ) )
4544proplem3 13609 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  P )  /\  y  e.  ( Base `  P
) ) )  -> 
( x ( .r
`  P ) y )  =  ( x ( .r `  ( 1o mPoly  R ) ) y ) )
46 eqidd 2297 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) ) )  ->  ( x
( .r `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) y )  =  ( x ( .r `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) y ) )
4730, 31, 36, 31, 40, 41, 45, 46rhmpropd 15596 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( P RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  =  ( ( 1o mPoly  R
) RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
4829, 47eleqtrrd 2373 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( 1o eval  R )  e.  ( P RingHom 
( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
49 rhmco 15525 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  e.  ( ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) RingHom  T )  /\  ( 1o eval  R )  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( 1o eval  R ) )  e.  ( P RingHom  T )
)
5025, 48, 49syl2anc 642 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (
x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( 1o eval  R ) )  e.  ( P RingHom  T ) )
514, 50syl5eqel 2380 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   {csn 3653    e. cmpt 4093   Oncon0 4408    X. cxp 4703    o. ccom 4709   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1oc1o 6488    ^m cmap 6788   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225    ^s cpws 13363   CRingccrg 15354   RingHom crh 15510   mPoly cmpl 16105   eval cevl 16107  PwSer1cps1 16266  Poly1cpl1 16268  eval1ce1 16270
This theorem is referenced by:  evl1addd  19433  evl1subd  19434  evl1muld  19435  evl1expd  19437  pf1const  19445  pf1id  19446  pf1subrg  19447  mpfpf1  19450  pf1mpf  19451  ply1remlem  19564  ply1rem  19565  facth1  19566  fta1glem1  19567  fta1glem2  19568  fta1g  19569  fta1blem  19570  plypf1  19610  lgsqrlem2  20597  lgsqrlem3  20598  idomrootle  27614
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-pws 13366  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-assa 16069  df-asp 16070  df-ascl 16071  df-psr 16114  df-mvr 16115  df-mpl 16116  df-evls 16117  df-evl 16118  df-opsr 16122  df-psr1 16273  df-ply1 16275  df-evl1 16277
  Copyright terms: Public domain W3C validator