Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1sca Structured version   Unicode version

Theorem evl1sca 19981
 Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1sca.o eval1
evl1sca.p Poly1
evl1sca.b
evl1sca.a algSc
Assertion
Ref Expression
evl1sca

Proof of Theorem evl1sca
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngrng 15705 . . . . . 6
21adantr 453 . . . . 5
3 evl1sca.p . . . . . 6 Poly1
4 evl1sca.a . . . . . 6 algSc
5 evl1sca.b . . . . . 6
6 eqid 2442 . . . . . 6
73, 4, 5, 6ply1sclf 16708 . . . . 5
82, 7syl 16 . . . 4
9 ffvelrn 5897 . . . 4
108, 9sylancom 650 . . 3
11 evl1sca.o . . . 4 eval1
12 eqid 2442 . . . 4 eval eval
13 eqid 2442 . . . 4 mPoly mPoly
14 eqid 2442 . . . . 5 PwSer1 PwSer1
153, 14, 6ply1bas 16624 . . . 4 mPoly
1611, 12, 5, 13, 15evl1val 19979 . . 3 eval
1710, 16syldan 458 . 2 eval
185ressid 13555 . . . . . . . . . 10 s
1918adantr 453 . . . . . . . . 9 s
2019oveq2d 6126 . . . . . . . 8 mPoly s mPoly
2120fveq2d 5761 . . . . . . 7 algSc mPoly s algSc mPoly
223, 4ply1ascl 16682 . . . . . . 7 algSc mPoly
2321, 22syl6reqr 2493 . . . . . 6 algSc mPoly s
2423fveq1d 5759 . . . . 5 algSc mPoly s
2524fveq2d 5761 . . . 4 eval eval algSc mPoly s
2612, 5evlval 19976 . . . . 5 eval evalSub
27 eqid 2442 . . . . 5 mPoly s mPoly s
28 eqid 2442 . . . . 5 s s
29 eqid 2442 . . . . 5 algSc mPoly s algSc mPoly s
30 1on 6760 . . . . . 6
3130a1i 11 . . . . 5
32 simpl 445 . . . . 5
335subrgid 15901 . . . . . 6 SubRing
342, 33syl 16 . . . . 5 SubRing
35 simpr 449 . . . . 5
3626, 27, 28, 5, 29, 31, 32, 34, 35evlssca 19974 . . . 4 eval algSc mPoly s
3725, 36eqtrd 2474 . . 3 eval
3837coeq1d 5063 . 2 eval
39 df1o2 6765 . . . . . . 7
40 fvex 5771 . . . . . . . 8
415, 40eqeltri 2512 . . . . . . 7
42 0ex 4364 . . . . . . 7
43 eqid 2442 . . . . . . 7
4439, 41, 42, 43mapsnf1o3 7091 . . . . . 6
45 f1of 5703 . . . . . 6
4644, 45mp1i 12 . . . . 5
4743fmpt 5919 . . . . 5
4846, 47sylibr 205 . . . 4
49 eqidd 2443 . . . 4
50 fconstmpt 4950 . . . . 5
5150a1i 11 . . . 4
52 eqidd 2443 . . . 4
5348, 49, 51, 52fmptcof 5931 . . 3
54 fconstmpt 4950 . . 3
5553, 54syl6eqr 2492 . 2
5617, 38, 553eqtrd 2478 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1727  wral 2711  cvv 2962  c0 3613  csn 3838   cmpt 4291  con0 4610   cxp 4905   ccom 4911  wf 5479  wf1o 5482  cfv 5483  (class class class)co 6110  c1o 6746   cmap 7047  cbs 13500   ↾s cress 13501  crg 15691  ccrg 15692  SubRingcsubrg 15895  algSccascl 16402   mPoly cmpl 16439   eval cevl 16441  PwSer1cps1 16600  Poly1cpl1 16602  eval1ce1 16604 This theorem is referenced by:  evl1scad  19982  pf1const  19997  pf1ind  20006  ply1rem  20117  fta1g  20121  fta1blem  20122  plypf1  20162 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-ofr 6335  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-hash 11650  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-hom 13584  df-cco 13585  df-prds 13702  df-pws 13704  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-mhm 14769  df-submnd 14770  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-sbg 14845  df-mulg 14846  df-subg 14972  df-ghm 15035  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-abl 15446  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-cring 15695  df-ur 15696  df-rnghom 15850  df-subrg 15897  df-lmod 15983  df-lss 16040  df-lsp 16079  df-assa 16403  df-asp 16404  df-ascl 16405  df-psr 16448  df-mvr 16449  df-mpl 16450  df-evls 16451  df-evl 16452  df-opsr 16456  df-psr1 16607  df-ply1 16609  df-evl1 16611
 Copyright terms: Public domain W3C validator