MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1scad Structured version   Unicode version

Theorem evl1scad 19951
Description: Polynomial evaluation builder for scalars. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1sca.o  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1sca.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1sca.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1sca.a  |-  A  =  (algSc `  P )
evl1scad.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
evl1scad.1  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1scad.2  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
evl1scad.3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
evl1scad  |-  ( ph  ->  ( ( A `  X )  e.  U  /\  ( ( O `  ( A `  X ) ) `  Y )  =  X ) )

Proof of Theorem evl1scad
StepHypRef Expression
1 evl1scad.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
2 crngrng 15674 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
3 evl1sca.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 evl1sca.a . . . . 5  |-  A  =  (algSc `  P )
5 evl1sca.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
6 evl1scad.u . . . . 5  |-  U  =  ( Base `  P
)
73, 4, 5, 6ply1sclf 16677 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  A : B
--> U )
81, 2, 73syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  A : B --> U )
9 evl1scad.2 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
108, 9ffvelrnd 5871 . 2  |-  ( ph  ->  ( A `  X
)  e.  U )
11 evl1sca.o . . . . . 6  |-  O  =  (eval1 `  R )
1211, 3, 5, 4evl1sca 19950 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( O `  ( A `  X ) )  =  ( B  X.  { X } ) )
131, 9, 12syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A `  X )
)  =  ( B  X.  { X }
) )
1413fveq1d 5730 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A `  X ) ) `  Y )  =  ( ( B  X.  { X }
) `  Y )
)
15 evl1scad.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
16 fvconst2g 5945 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( B  X.  { X } ) `  Y )  =  X )
179, 15, 16syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  X.  { X } ) `  Y )  =  X )
1814, 17eqtrd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A `  X ) ) `  Y )  =  X )
1910, 18jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( A `  X )  e.  U  /\  ( ( O `  ( A `  X ) ) `  Y )  =  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {csn 3814    X. cxp 4876   -->wf 5450   ` cfv 5454   Basecbs 13469   Ringcrg 15660   CRingccrg 15661  algSccascl 16371  Poly1cpl1 16571  eval1ce1 16573
This theorem is referenced by:  evl1vsd  19957  ply1remlem  20085  lgsqrlem1  21125  idomrootle  27488
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-hom 13553  df-cco 13554  df-prds 13671  df-pws 13673  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-rnghom 15819  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-assa 16372  df-asp 16373  df-ascl 16374  df-psr 16417  df-mvr 16418  df-mpl 16419  df-evls 16420  df-evl 16421  df-opsr 16425  df-psr1 16576  df-ply1 16578  df-evl1 16580
  Copyright terms: Public domain W3C validator