MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1subd Structured version   Unicode version

Theorem evl1subd 19948
Description: Polynomial evaluation builder for subtraction of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1addd.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1addd.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1addd.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
evl1addd.1  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1addd.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
evl1addd.3  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
evl1addd.4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  U  /\  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W ) )
evl1subd.s  |-  .-  =  ( -g `  P )
evl1subd.d  |-  D  =  ( -g `  R
)
Assertion
Ref Expression
evl1subd  |-  ( ph  ->  ( ( M  .-  N )  e.  U  /\  ( ( O `  ( M  .-  N ) ) `  Y )  =  ( V D W ) ) )

Proof of Theorem evl1subd
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
2 evl1addd.q . . . . . . 7  |-  O  =  (eval1 `  R )
3 evl1addd.p . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( R  ^s  B )  =  ( R  ^s  B )
5 evl1addd.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
62, 3, 4, 5evl1rhm 19942 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B
) ) )
71, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  ( P RingHom 
( R  ^s  B ) ) )
8 rhmghm 15819 . . . . 5  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B ) )  ->  O  e.  ( P  GrpHom  ( R  ^s  B )
) )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  ( P 
GrpHom  ( R  ^s  B ) ) )
10 ghmgrp1 15001 . . . 4  |-  ( O  e.  ( P  GrpHom  ( R  ^s  B ) )  ->  P  e.  Grp )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Grp )
12 evl1addd.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
1312simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  U )
14 evl1addd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  U  /\  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W ) )
1514simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  U )
16 evl1addd.u . . . 4  |-  U  =  ( Base `  P
)
17 evl1subd.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  P )
1816, 17grpsubcl 14862 . . 3  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  M  e.  U  /\  N  e.  U )  ->  ( M  .-  N
)  e.  U )
1911, 13, 15, 18syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  .-  N
)  e.  U )
20 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( -g `  ( R  ^s  B ) )  =  ( -g `  ( R  ^s  B ) )
2116, 17, 20ghmsub 15007 . . . . . 6  |-  ( ( O  e.  ( P 
GrpHom  ( R  ^s  B ) )  /\  M  e.  U  /\  N  e.  U )  ->  ( O `  ( M  .-  N ) )  =  ( ( O `  M ) ( -g `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) ) )
229, 13, 15, 21syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  ( M  .-  N ) )  =  ( ( O `
 M ) (
-g `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) ) )
23 crngrng 15667 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
24 rnggrp 15662 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
251, 23, 243syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
26 fvex 5735 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
275, 26eqeltri 2506 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
29 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( R  ^s  B ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  B ) )
3016, 29rhmf 15820 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B ) )  ->  O : U --> ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
317, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O : U --> ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
3231, 13ffvelrnd 5864 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  M
)  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
3331, 15ffvelrnd 5864 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  N
)  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
34 evl1subd.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( -g `  R
)
354, 29, 34, 20pwssub 14924 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  B  e.  _V )  /\  ( ( O `  M )  e.  (
Base `  ( R  ^s  B ) )  /\  ( O `  N )  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) ) )  ->  ( ( O `  M )
( -g `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) )  =  ( ( O `  M )  o F D ( O `  N ) ) )
3625, 28, 32, 33, 35syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( O `  M ) ( -g `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) )  =  ( ( O `  M )  o F D ( O `  N ) ) )
3722, 36eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  ( M  .-  N ) )  =  ( ( O `
 M )  o F D ( O `
 N ) ) )
3837fveq1d 5723 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( M  .-  N ) ) `  Y )  =  ( ( ( O `  M )  o F D ( O `  N ) ) `  Y ) )
394, 5, 29, 1, 28, 32pwselbas 13704 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  M
) : B --> B )
40 ffn 5584 . . . . 5  |-  ( ( O `  M ) : B --> B  -> 
( O `  M
)  Fn  B )
4139, 40syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  M
)  Fn  B )
424, 5, 29, 1, 28, 33pwselbas 13704 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  N
) : B --> B )
43 ffn 5584 . . . . 5  |-  ( ( O `  N ) : B --> B  -> 
( O `  N
)  Fn  B )
4442, 43syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  N
)  Fn  B )
45 evl1addd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
46 fnfvof 6310 . . . 4  |-  ( ( ( ( O `  M )  Fn  B  /\  ( O `  N
)  Fn  B )  /\  ( B  e. 
_V  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( O `
 M )  o F D ( O `
 N ) ) `
 Y )  =  ( ( ( O `
 M ) `  Y ) D ( ( O `  N
) `  Y )
) )
4741, 44, 28, 45, 46syl22anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 M )  o F D ( O `
 N ) ) `
 Y )  =  ( ( ( O `
 M ) `  Y ) D ( ( O `  N
) `  Y )
) )
4812simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V )
4914simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W )
5048, 49oveq12d 6092 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 M ) `  Y ) D ( ( O `  N
) `  Y )
)  =  ( V D W ) )
5138, 47, 503eqtrd 2472 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( M  .-  N ) ) `  Y )  =  ( V D W ) )
5219, 51jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( M  .-  N )  e.  U  /\  ( ( O `  ( M  .-  N ) ) `  Y )  =  ( V D W ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2949    Fn wfn 5442   -->wf 5443   ` cfv 5447  (class class class)co 6074    o Fcof 6296   Basecbs 13462    ^s cpws 13663   Grpcgrp 14678   -gcsg 14681    GrpHom cghm 14996   Ringcrg 15653   CRingccrg 15654   RingHom crh 15810  Poly1cpl1 16564  eval1ce1 16566
This theorem is referenced by:  ply1remlem  20078  lgsqrlem1  21118  idomrootle  27480
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-inf2 7589  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-of 6298  df-ofr 6299  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-2o 6718  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-pm 7014  df-ixp 7057  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-sup 7439  df-oi 7472  df-card 7819  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-10 10059  df-n0 10215  df-z 10276  df-dec 10376  df-uz 10482  df-fz 11037  df-fzo 11129  df-seq 11317  df-hash 11612  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-sca 13538  df-vsca 13539  df-tset 13541  df-ple 13542  df-ds 13544  df-hom 13546  df-cco 13547  df-prds 13664  df-pws 13666  df-0g 13720  df-gsum 13721  df-mre 13804  df-mrc 13805  df-acs 13807  df-mnd 14683  df-mhm 14731  df-submnd 14732  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-mulg 14808  df-subg 14934  df-ghm 14997  df-cntz 15109  df-cmn 15407  df-abl 15408  df-mgp 15642  df-rng 15656  df-cring 15657  df-ur 15658  df-rnghom 15812  df-subrg 15859  df-lmod 15945  df-lss 16002  df-lsp 16041  df-assa 16365  df-asp 16366  df-ascl 16367  df-psr 16410  df-mvr 16411  df-mpl 16412  df-evls 16413  df-evl 16414  df-opsr 16418  df-psr1 16569  df-ply1 16571  df-evl1 16573
  Copyright terms: Public domain W3C validator