MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1subd Unicode version

Theorem evl1subd 19822
Description: Polynomial evaluation builder for subtraction of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1addd.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1addd.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1addd.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
evl1addd.1  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1addd.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
evl1addd.3  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
evl1addd.4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  U  /\  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W ) )
evl1subd.s  |-  .-  =  ( -g `  P )
evl1subd.d  |-  D  =  ( -g `  R
)
Assertion
Ref Expression
evl1subd  |-  ( ph  ->  ( ( M  .-  N )  e.  U  /\  ( ( O `  ( M  .-  N ) ) `  Y )  =  ( V D W ) ) )

Proof of Theorem evl1subd
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
2 evl1addd.q . . . . . . 7  |-  O  =  (eval1 `  R )
3 evl1addd.p . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( R  ^s  B )  =  ( R  ^s  B )
5 evl1addd.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
62, 3, 4, 5evl1rhm 19816 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B
) ) )
71, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  ( P RingHom 
( R  ^s  B ) ) )
8 rhmghm 15753 . . . . 5  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B ) )  ->  O  e.  ( P  GrpHom  ( R  ^s  B )
) )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  ( P 
GrpHom  ( R  ^s  B ) ) )
10 ghmgrp1 14935 . . . 4  |-  ( O  e.  ( P  GrpHom  ( R  ^s  B ) )  ->  P  e.  Grp )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Grp )
12 evl1addd.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
1312simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  U )
14 evl1addd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  U  /\  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W ) )
1514simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  U )
16 evl1addd.u . . . 4  |-  U  =  ( Base `  P
)
17 evl1subd.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  P )
1816, 17grpsubcl 14796 . . 3  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  M  e.  U  /\  N  e.  U )  ->  ( M  .-  N
)  e.  U )
1911, 13, 15, 18syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  .-  N
)  e.  U )
20 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( -g `  ( R  ^s  B ) )  =  ( -g `  ( R  ^s  B ) )
2116, 17, 20ghmsub 14941 . . . . . 6  |-  ( ( O  e.  ( P 
GrpHom  ( R  ^s  B ) )  /\  M  e.  U  /\  N  e.  U )  ->  ( O `  ( M  .-  N ) )  =  ( ( O `  M ) ( -g `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) ) )
229, 13, 15, 21syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  ( M  .-  N ) )  =  ( ( O `
 M ) (
-g `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) ) )
23 crngrng 15601 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
24 rnggrp 15596 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
251, 23, 243syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
26 fvex 5682 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
275, 26eqeltri 2457 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
29 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( R  ^s  B ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  B ) )
3016, 29rhmf 15754 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B ) )  ->  O : U --> ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
317, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O : U --> ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
3231, 13ffvelrnd 5810 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  M
)  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
3331, 15ffvelrnd 5810 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  N
)  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
34 evl1subd.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( -g `  R
)
354, 29, 34, 20pwssub 14858 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  B  e.  _V )  /\  ( ( O `  M )  e.  (
Base `  ( R  ^s  B ) )  /\  ( O `  N )  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) ) )  ->  ( ( O `  M )
( -g `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) )  =  ( ( O `  M )  o F D ( O `  N ) ) )
3625, 28, 32, 33, 35syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( O `  M ) ( -g `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) )  =  ( ( O `  M )  o F D ( O `  N ) ) )
3722, 36eqtrd 2419 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  ( M  .-  N ) )  =  ( ( O `
 M )  o F D ( O `
 N ) ) )
3837fveq1d 5670 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( M  .-  N ) ) `  Y )  =  ( ( ( O `  M )  o F D ( O `  N ) ) `  Y ) )
394, 5, 29, 1, 28, 32pwselbas 13638 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  M
) : B --> B )
40 ffn 5531 . . . . 5  |-  ( ( O `  M ) : B --> B  -> 
( O `  M
)  Fn  B )
4139, 40syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  M
)  Fn  B )
424, 5, 29, 1, 28, 33pwselbas 13638 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  N
) : B --> B )
43 ffn 5531 . . . . 5  |-  ( ( O `  N ) : B --> B  -> 
( O `  N
)  Fn  B )
4442, 43syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  N
)  Fn  B )
45 evl1addd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
46 fnfvof 6256 . . . 4  |-  ( ( ( ( O `  M )  Fn  B  /\  ( O `  N
)  Fn  B )  /\  ( B  e. 
_V  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( O `
 M )  o F D ( O `
 N ) ) `
 Y )  =  ( ( ( O `
 M ) `  Y ) D ( ( O `  N
) `  Y )
) )
4741, 44, 28, 45, 46syl22anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 M )  o F D ( O `
 N ) ) `
 Y )  =  ( ( ( O `
 M ) `  Y ) D ( ( O `  N
) `  Y )
) )
4812simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V )
4914simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W )
5048, 49oveq12d 6038 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 M ) `  Y ) D ( ( O `  N
) `  Y )
)  =  ( V D W ) )
5138, 47, 503eqtrd 2423 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( M  .-  N ) ) `  Y )  =  ( V D W ) )
5219, 51jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( M  .-  N )  e.  U  /\  ( ( O `  ( M  .-  N ) ) `  Y )  =  ( V D W ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899    Fn wfn 5389   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    o Fcof 6242   Basecbs 13396    ^s cpws 13597   Grpcgrp 14612   -gcsg 14615    GrpHom cghm 14930   Ringcrg 15587   CRingccrg 15588   RingHom crh 15744  Poly1cpl1 16498  eval1ce1 16500
This theorem is referenced by:  ply1remlem  19952  lgsqrlem1  20992  idomrootle  27180
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-ofr 6245  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-hash 11546  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-hom 13480  df-cco 13481  df-prds 13598  df-pws 13600  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-mhm 14665  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-mulg 14742  df-subg 14868  df-ghm 14931  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-cring 15591  df-ur 15592  df-rnghom 15746  df-subrg 15793  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-lsp 15975  df-assa 16299  df-asp 16300  df-ascl 16301  df-psr 16344  df-mvr 16345  df-mpl 16346  df-evls 16347  df-evl 16348  df-opsr 16352  df-psr1 16503  df-ply1 16505  df-evl1 16507
  Copyright terms: Public domain W3C validator