MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1val Unicode version

Theorem evl1val 19815
Description: Value of the simple/same ring evalutation map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1fval.o  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1fval.q  |-  Q  =  ( 1o eval  R )
evl1fval.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1val.m  |-  M  =  ( 1o mPoly  R )
evl1val.k  |-  K  =  ( Base `  M
)
Assertion
Ref Expression
evl1val  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( O `  A )  =  ( ( Q `
 A )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
Distinct variable group:    y, B
Allowed substitution hints:    A( y)    Q( y)    R( y)    K( y)    M( y)    O( y)

Proof of Theorem evl1val
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1fval.o . . . . 5  |-  O  =  (eval1 `  R )
2 evl1fval.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 1o eval  R )
3 evl1fval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 2, 3evl1fval 19814 . . . 4  |-  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q )
54fveq1i 5669 . . 3  |-  ( O `
 A )  =  ( ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  Q
) `  A )
6 1on 6667 . . . . . 6  |-  1o  e.  On
7 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  R  e.  CRing )
8 evl1val.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( 1o mPoly  R )
9 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) )  =  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) )
102, 3, 8, 9evlrhm 19813 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  R  e.  CRing )  ->  Q  e.  ( M RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
116, 7, 10sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  Q  e.  ( M RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
12 evl1val.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  M
)
13 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )
1412, 13rhmf 15754 . . . . 5  |-  ( Q  e.  ( M RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  ->  Q : K --> ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
1511, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  Q : K --> ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
16 fvco3 5739 . . . 4  |-  ( ( Q : K --> ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  /\  A  e.  K )  ->  (
( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q ) `
 A )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) ) `  ( Q `
 A ) ) )
1715, 16sylancom 649 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  (
( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q ) `
 A )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) ) `  ( Q `
 A ) ) )
185, 17syl5eq 2431 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( O `  A )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) ) `  ( Q `  A )
) )
19 ffvelrn 5807 . . . . 5  |-  ( ( Q : K --> ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  /\  A  e.  K )  ->  ( Q `  A )  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
2015, 19sylancom 649 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( Q `  A )  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
21 crngrng 15601 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2221adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  R  e.  Ring )
23 ovex 6045 . . . . 5  |-  ( B  ^m  1o )  e. 
_V
249, 3pwsbas 13636 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( B  ^m  1o )  e. 
_V )  ->  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  =  (
Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
2522, 23, 24sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  =  (
Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
2620, 25eleqtrrd 2464 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( Q `  A )  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) )
27 coeq1 4970 . . . 4  |-  ( x  =  ( Q `  A )  ->  (
x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) )  =  ( ( Q `  A )  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
28 eqid 2387 . . . 4  |-  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
29 fvex 5682 . . . . 5  |-  ( Q `
 A )  e. 
_V
30 fvex 5682 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
313, 30eqeltri 2457 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
3231mptex 5905 . . . . 5  |-  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) )  e.  _V
3329, 32coex 5353 . . . 4  |-  ( ( Q `  A )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )  e.  _V
3427, 28, 33fvmpt 5745 . . 3  |-  ( ( Q `  A )  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  ->  ( (
x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) ) `  ( Q `  A ) )  =  ( ( Q `  A )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
3526, 34syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  (
( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) ) `  ( Q `
 A ) )  =  ( ( Q `
 A )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
3618, 35eqtrd 2419 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( O `  A )  =  ( ( Q `
 A )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899   {csn 3757    e. cmpt 4207   Oncon0 4522    X. cxp 4816    o. ccom 4822   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   1oc1o 6653    ^m cmap 6954   Basecbs 13396    ^s cpws 13597   Ringcrg 15587   CRingccrg 15588   RingHom crh 15744   mPoly cmpl 16335   eval cevl 16337  eval1ce1 16500
This theorem is referenced by:  evl1sca  19817  evl1var  19819  mpfpf1  19838  pf1mpf  19839  pf1ind  19842
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-ofr 6245  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-hash 11546  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-hom 13480  df-cco 13481  df-prds 13598  df-pws 13600  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-mhm 14665  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-mulg 14742  df-subg 14868  df-ghm 14931  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-cring 15591  df-ur 15592  df-rnghom 15746  df-subrg 15793  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-lsp 15975  df-assa 16299  df-asp 16300  df-ascl 16301  df-psr 16344  df-mvr 16345  df-mpl 16346  df-evls 16347  df-evl 16348  df-evl1 16507
  Copyright terms: Public domain W3C validator