MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1val Unicode version

Theorem evl1val 19411
Description: Value of the simple/same ring evalutation map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1fval.o  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1fval.q  |-  Q  =  ( 1o eval  R )
evl1fval.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1val.m  |-  M  =  ( 1o mPoly  R )
evl1val.k  |-  K  =  ( Base `  M
)
Assertion
Ref Expression
evl1val  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( O `  A )  =  ( ( Q `
 A )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
Distinct variable group:    y, B
Allowed substitution hints:    A( y)    Q( y)    R( y)    K( y)    M( y)    O( y)

Proof of Theorem evl1val
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1fval.o . . . . 5  |-  O  =  (eval1 `  R )
2 evl1fval.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 1o eval  R )
3 evl1fval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 2, 3evl1fval 19410 . . . 4  |-  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q )
54fveq1i 5526 . . 3  |-  ( O `
 A )  =  ( ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  Q
) `  A )
6 1on 6486 . . . . . 6  |-  1o  e.  On
7 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  R  e.  CRing )
8 evl1val.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( 1o mPoly  R )
9 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) )  =  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) )
102, 3, 8, 9evlrhm 19409 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  R  e.  CRing )  ->  Q  e.  ( M RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
116, 7, 10sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  Q  e.  ( M RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
12 evl1val.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  M
)
13 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )
1412, 13rhmf 15504 . . . . 5  |-  ( Q  e.  ( M RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  ->  Q : K --> ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
1511, 14syl 15 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  Q : K --> ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
16 fvco3 5596 . . . 4  |-  ( ( Q : K --> ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  /\  A  e.  K )  ->  (
( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q ) `
 A )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) ) `  ( Q `
 A ) ) )
1715, 16sylancom 648 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  (
( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q ) `
 A )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) ) `  ( Q `
 A ) ) )
185, 17syl5eq 2327 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( O `  A )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) ) `  ( Q `  A )
) )
19 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( Q : K --> ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  /\  A  e.  K )  ->  ( Q `  A )  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
2015, 19sylancom 648 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( Q `  A )  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
21 crngrng 15351 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2221adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  R  e.  Ring )
23 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( B  ^m  1o )  e. 
_V
249, 3pwsbas 13386 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( B  ^m  1o )  e. 
_V )  ->  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  =  (
Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
2522, 23, 24sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  =  (
Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
2620, 25eleqtrrd 2360 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( Q `  A )  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) )
27 coeq1 4841 . . . 4  |-  ( x  =  ( Q `  A )  ->  (
x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) )  =  ( ( Q `  A )  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
28 eqid 2283 . . . 4  |-  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
29 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( Q `
 A )  e. 
_V
30 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
313, 30eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
3231mptex 5746 . . . . 5  |-  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) )  e.  _V
3329, 32coex 5216 . . . 4  |-  ( ( Q `  A )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )  e.  _V
3427, 28, 33fvmpt 5602 . . 3  |-  ( ( Q `  A )  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  ->  ( (
x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) ) `  ( Q `  A ) )  =  ( ( Q `  A )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
3526, 34syl 15 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  (
( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) ) `  ( Q `
 A ) )  =  ( ( Q `
 A )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
3618, 35eqtrd 2315 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( O `  A )  =  ( ( Q `
 A )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {csn 3640    e. cmpt 4077   Oncon0 4392    X. cxp 4687    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1oc1o 6472    ^m cmap 6772   Basecbs 13148    ^s cpws 13347   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338   RingHom crh 15494   mPoly cmpl 16089   eval cevl 16091  eval1ce1 16254
This theorem is referenced by:  evl1sca  19413  evl1var  19415  mpfpf1  19434  pf1mpf  19435  pf1ind  19438
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-assa 16053  df-asp 16054  df-ascl 16055  df-psr 16098  df-mvr 16099  df-mpl 16100  df-evls 16101  df-evl 16102  df-evl1 16261
  Copyright terms: Public domain W3C validator