Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1val Structured version   Unicode version

Theorem evl1val 19949
 Description: Value of the simple/same ring evalutation map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1fval.o eval1
evl1fval.q eval
evl1fval.b
evl1val.m mPoly
evl1val.k
Assertion
Ref Expression
evl1val
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem evl1val
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1fval.o . . . . 5 eval1
2 evl1fval.q . . . . 5 eval
3 evl1fval.b . . . . 5
41, 2, 3evl1fval 19948 . . . 4
54fveq1i 5730 . . 3
6 1on 6732 . . . . . 6
7 simpl 445 . . . . . 6
8 evl1val.m . . . . . . 7 mPoly
9 eqid 2437 . . . . . . 7 s s
102, 3, 8, 9evlrhm 19947 . . . . . 6 RingHom s
116, 7, 10sylancr 646 . . . . 5 RingHom s
12 evl1val.k . . . . . 6
13 eqid 2437 . . . . . 6 s s
1412, 13rhmf 15828 . . . . 5 RingHom s s
1511, 14syl 16 . . . 4 s
16 fvco3 5801 . . . 4 s
1715, 16sylancom 650 . . 3
185, 17syl5eq 2481 . 2
19 ffvelrn 5869 . . . . 5 s s
2015, 19sylancom 650 . . . 4 s
21 crngrng 15675 . . . . . 6
2221adantr 453 . . . . 5
23 ovex 6107 . . . . 5
249, 3pwsbas 13710 . . . . 5 s
2522, 23, 24sylancl 645 . . . 4 s
2620, 25eleqtrrd 2514 . . 3
27 coeq1 5031 . . . 4
28 eqid 2437 . . . 4
29 fvex 5743 . . . . 5
30 fvex 5743 . . . . . . 7
313, 30eqeltri 2507 . . . . . 6
3231mptex 5967 . . . . 5
3329, 32coex 5414 . . . 4
3427, 28, 33fvmpt 5807 . . 3
3526, 34syl 16 . 2
3618, 35eqtrd 2469 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2957  csn 3815   cmpt 4267  con0 4582   cxp 4877   ccom 4883  wf 5451  cfv 5455  (class class class)co 6082  c1o 6718   cmap 7019  cbs 13470   s cpws 13671  crg 15661  ccrg 15662   RingHom crh 15818   mPoly cmpl 16409   eval cevl 16411  eval1ce1 16574 This theorem is referenced by:  evl1sca  19951  evl1var  19953  mpfpf1  19972  pf1mpf  19973  pf1ind  19976 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-ofr 6307  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-hash 11620  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-hom 13554  df-cco 13555  df-prds 13672  df-pws 13674  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-mhm 14739  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-mulg 14816  df-subg 14942  df-ghm 15005  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-cring 15665  df-ur 15666  df-rnghom 15820  df-subrg 15867  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-lsp 16049  df-assa 16373  df-asp 16374  df-ascl 16375  df-psr 16418  df-mvr 16419  df-mpl 16420  df-evls 16421  df-evl 16422  df-evl1 16581
 Copyright terms: Public domain W3C validator