MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1val Structured version   Unicode version

Theorem evl1val 19949
Description: Value of the simple/same ring evalutation map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1fval.o  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1fval.q  |-  Q  =  ( 1o eval  R )
evl1fval.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1val.m  |-  M  =  ( 1o mPoly  R )
evl1val.k  |-  K  =  ( Base `  M
)
Assertion
Ref Expression
evl1val  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( O `  A )  =  ( ( Q `
 A )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
Distinct variable group:    y, B
Allowed substitution hints:    A( y)    Q( y)    R( y)    K( y)    M( y)    O( y)

Proof of Theorem evl1val
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1fval.o . . . . 5  |-  O  =  (eval1 `  R )
2 evl1fval.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 1o eval  R )
3 evl1fval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 2, 3evl1fval 19948 . . . 4  |-  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q )
54fveq1i 5730 . . 3  |-  ( O `
 A )  =  ( ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  Q
) `  A )
6 1on 6732 . . . . . 6  |-  1o  e.  On
7 simpl 445 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  R  e.  CRing )
8 evl1val.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( 1o mPoly  R )
9 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) )  =  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) )
102, 3, 8, 9evlrhm 19947 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  R  e.  CRing )  ->  Q  e.  ( M RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
116, 7, 10sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  Q  e.  ( M RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
12 evl1val.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  M
)
13 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )
1412, 13rhmf 15828 . . . . 5  |-  ( Q  e.  ( M RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  ->  Q : K --> ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
1511, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  Q : K --> ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
16 fvco3 5801 . . . 4  |-  ( ( Q : K --> ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  /\  A  e.  K )  ->  (
( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q ) `
 A )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) ) `  ( Q `
 A ) ) )
1715, 16sylancom 650 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  (
( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q ) `
 A )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) ) `  ( Q `
 A ) ) )
185, 17syl5eq 2481 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( O `  A )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) ) `  ( Q `  A )
) )
19 ffvelrn 5869 . . . . 5  |-  ( ( Q : K --> ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  /\  A  e.  K )  ->  ( Q `  A )  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
2015, 19sylancom 650 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( Q `  A )  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
21 crngrng 15675 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2221adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  R  e.  Ring )
23 ovex 6107 . . . . 5  |-  ( B  ^m  1o )  e. 
_V
249, 3pwsbas 13710 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( B  ^m  1o )  e. 
_V )  ->  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  =  (
Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
2522, 23, 24sylancl 645 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  =  (
Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
2620, 25eleqtrrd 2514 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( Q `  A )  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) )
27 coeq1 5031 . . . 4  |-  ( x  =  ( Q `  A )  ->  (
x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) )  =  ( ( Q `  A )  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
28 eqid 2437 . . . 4  |-  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
29 fvex 5743 . . . . 5  |-  ( Q `
 A )  e. 
_V
30 fvex 5743 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
313, 30eqeltri 2507 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
3231mptex 5967 . . . . 5  |-  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) )  e.  _V
3329, 32coex 5414 . . . 4  |-  ( ( Q `  A )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )  e.  _V
3427, 28, 33fvmpt 5807 . . 3  |-  ( ( Q `  A )  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  ->  ( (
x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) ) `  ( Q `  A ) )  =  ( ( Q `  A )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
3526, 34syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  (
( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) ) `  ( Q `
 A ) )  =  ( ( Q `
 A )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
3618, 35eqtrd 2469 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( O `  A )  =  ( ( Q `
 A )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2957   {csn 3815    e. cmpt 4267   Oncon0 4582    X. cxp 4877    o. ccom 4883   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   1oc1o 6718    ^m cmap 7019   Basecbs 13470    ^s cpws 13671   Ringcrg 15661   CRingccrg 15662   RingHom crh 15818   mPoly cmpl 16409   eval cevl 16411  eval1ce1 16574
This theorem is referenced by:  evl1sca  19951  evl1var  19953  mpfpf1  19972  pf1mpf  19973  pf1ind  19976
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-ofr 6307  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-hash 11620  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-hom 13554  df-cco 13555  df-prds 13672  df-pws 13674  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-mhm 14739  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-mulg 14816  df-subg 14942  df-ghm 15005  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-cring 15665  df-ur 15666  df-rnghom 15820  df-subrg 15867  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-lsp 16049  df-assa 16373  df-asp 16374  df-ascl 16375  df-psr 16418  df-mvr 16419  df-mpl 16420  df-evls 16421  df-evl 16422  df-evl1 16581
  Copyright terms: Public domain W3C validator