MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1var Unicode version

Theorem evl1var 19415
Description: Polynomial evaluation maps the variable to the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1var.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1var.v  |-  X  =  (var1 `  R )
evl1var.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
evl1var  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( O `  X )  =  (  _I  |`  B )
)

Proof of Theorem evl1var
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngrng 15351 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2 evl1var.v . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  R )
3 eqid 2283 . . . . 5  |-  (Poly1 `  R
)  =  (Poly1 `  R
)
4 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  =  ( Base `  (Poly1 `  R ) )
52, 3, 4vr1cl 16294 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )
61, 5syl 15 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  X  e.  ( Base `  (Poly1 `  R
) ) )
7 evl1var.q . . . 4  |-  O  =  (eval1 `  R )
8 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 1o eval  R )  =  ( 1o eval  R )
9 evl1var.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
10 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
11 eqid 2283 . . . . 5  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
123, 11, 4ply1bas 16274 . . . 4  |-  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
137, 8, 9, 10, 12evl1val 19411 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  ->  ( O `  X )  =  ( ( ( 1o eval  R
) `  X )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
146, 13mpdan 649 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( O `  X )  =  ( ( ( 1o eval  R
) `  X )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
15 df1o2 6491 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
16 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
179, 16eqeltri 2353 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
18 0ex 4150 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
19 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `
 (/) ) )  =  ( z  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( z `  (/) ) )
2015, 17, 18, 19mapsncnv 6814 . . . 4  |-  `' ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
2120coeq2i 4844 . . 3  |-  ( ( ( 1o eval  R ) `
 X )  o.  `' ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) ) )  =  ( ( ( 1o eval  R ) `  X
)  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) )
229ressid 13203 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Rs  B
)  =  R )
2322oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( 1o mVar  ( Rs  B ) )  =  ( 1o mVar  R ) )
2423fveq1d 5527 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( ( 1o mVar  ( Rs  B ) ) `  (/) )  =  ( ( 1o mVar  R ) `  (/) ) )
252vr1val 16271 . . . . . . 7  |-  X  =  ( ( 1o mVar  R
) `  (/) )
2624, 25syl6eqr 2333 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( ( 1o mVar  ( Rs  B ) ) `  (/) )  =  X )
2726fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( ( 1o eval  R ) `  (
( 1o mVar  ( Rs  B
) ) `  (/) ) )  =  ( ( 1o eval  R ) `  X
) )
288, 9evlval 19408 . . . . . 6  |-  ( 1o eval  R )  =  ( ( 1o evalSub  R ) `  B )
29 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( 1o mVar 
( Rs  B ) )  =  ( 1o mVar  ( Rs  B ) )
30 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Rs  B )  =  ( Rs  B )
31 1on 6486 . . . . . . 7  |-  1o  e.  On
3231a1i 10 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  1o  e.  On )
33 id 19 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  CRing
)
349subrgid 15547 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  B  e.  (SubRing `  R )
)
351, 34syl 15 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  B  e.  (SubRing `  R ) )
36 0lt1o 6503 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  1o
3736a1i 10 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  (/)  e.  1o )
3828, 29, 30, 9, 32, 33, 35, 37evlsvar 19407 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( ( 1o eval  R ) `  (
( 1o mVar  ( Rs  B
) ) `  (/) ) )  =  ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) ) )
3927, 38eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( ( 1o eval  R ) `  X
)  =  ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `
 (/) ) ) )
4039coeq1d 4845 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (
( 1o eval  R ) `  X )  o.  `' ( z  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( z `  (/) ) ) )  =  ( ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) )  o.  `' ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `
 (/) ) ) ) )
4121, 40syl5eqr 2329 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (
( 1o eval  R ) `  X )  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )  =  ( ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `
 (/) ) )  o.  `' ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) ) ) )
4215, 17, 18, 19mapsnf1o2 6815 . . 3  |-  ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `
 (/) ) ) : ( B  ^m  1o )
-1-1-onto-> B
43 f1ococnv2 5500 . . 3  |-  ( ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) ) : ( B  ^m  1o ) -1-1-onto-> B  ->  ( (
z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) )  o.  `' ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `
 (/) ) ) )  =  (  _I  |`  B ) )
4442, 43mp1i 11 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (
z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) )  o.  `' ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `
 (/) ) ) )  =  (  _I  |`  B ) )
4514, 41, 443eqtrd 2319 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( O `  X )  =  (  _I  |`  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   {csn 3640    e. cmpt 4077    _I cid 4304   Oncon0 4392    X. cxp 4687   `'ccnv 4688    |` cres 4691    o. ccom 4693   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1oc1o 6472    ^m cmap 6772   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338  SubRingcsubrg 15541   mVar cmvr 16088   mPoly cmpl 16089   eval cevl 16091  PwSer1cps1 16250  var1cv1 16251  Poly1cpl1 16252  eval1ce1 16254
This theorem is referenced by:  evl1vard  19416  pf1id  19430  fta1blem  19554
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-assa 16053  df-asp 16054  df-ascl 16055  df-psr 16098  df-mvr 16099  df-mpl 16100  df-evls 16101  df-evl 16102  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-vr1 16258  df-ply1 16259  df-evl1 16261
  Copyright terms: Public domain W3C validator