MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1var Unicode version

Theorem evl1var 19909
Description: Polynomial evaluation maps the variable to the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1var.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1var.v  |-  X  =  (var1 `  R )
evl1var.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
evl1var  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( O `  X )  =  (  _I  |`  B )
)

Proof of Theorem evl1var
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngrng 15633 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2 evl1var.v . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  R )
3 eqid 2408 . . . . 5  |-  (Poly1 `  R
)  =  (Poly1 `  R
)
4 eqid 2408 . . . . 5  |-  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  =  ( Base `  (Poly1 `  R ) )
52, 3, 4vr1cl 16570 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )
61, 5syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  X  e.  ( Base `  (Poly1 `  R
) ) )
7 evl1var.q . . . 4  |-  O  =  (eval1 `  R )
8 eqid 2408 . . . 4  |-  ( 1o eval  R )  =  ( 1o eval  R )
9 evl1var.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
10 eqid 2408 . . . 4  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
11 eqid 2408 . . . . 5  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
123, 11, 4ply1bas 16552 . . . 4  |-  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
137, 8, 9, 10, 12evl1val 19905 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  ->  ( O `  X )  =  ( ( ( 1o eval  R
) `  X )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
146, 13mpdan 650 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( O `  X )  =  ( ( ( 1o eval  R
) `  X )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
15 df1o2 6699 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
16 fvex 5705 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
179, 16eqeltri 2478 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
18 0ex 4303 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
19 eqid 2408 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `
 (/) ) )  =  ( z  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( z `  (/) ) )
2015, 17, 18, 19mapsncnv 7023 . . . 4  |-  `' ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
2120coeq2i 4996 . . 3  |-  ( ( ( 1o eval  R ) `
 X )  o.  `' ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) ) )  =  ( ( ( 1o eval  R ) `  X
)  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) )
229ressid 13483 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Rs  B
)  =  R )
2322oveq2d 6060 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( 1o mVar  ( Rs  B ) )  =  ( 1o mVar  R ) )
2423fveq1d 5693 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( ( 1o mVar  ( Rs  B ) ) `  (/) )  =  ( ( 1o mVar  R ) `  (/) ) )
252vr1val 16549 . . . . . . 7  |-  X  =  ( ( 1o mVar  R
) `  (/) )
2624, 25syl6eqr 2458 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( ( 1o mVar  ( Rs  B ) ) `  (/) )  =  X )
2726fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( ( 1o eval  R ) `  (
( 1o mVar  ( Rs  B
) ) `  (/) ) )  =  ( ( 1o eval  R ) `  X
) )
288, 9evlval 19902 . . . . . 6  |-  ( 1o eval  R )  =  ( ( 1o evalSub  R ) `  B )
29 eqid 2408 . . . . . 6  |-  ( 1o mVar 
( Rs  B ) )  =  ( 1o mVar  ( Rs  B ) )
30 eqid 2408 . . . . . 6  |-  ( Rs  B )  =  ( Rs  B )
31 1on 6694 . . . . . . 7  |-  1o  e.  On
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  1o  e.  On )
33 id 20 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  CRing
)
349subrgid 15829 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  B  e.  (SubRing `  R )
)
351, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  B  e.  (SubRing `  R ) )
36 0lt1o 6711 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  1o
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  (/)  e.  1o )
3828, 29, 30, 9, 32, 33, 35, 37evlsvar 19901 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( ( 1o eval  R ) `  (
( 1o mVar  ( Rs  B
) ) `  (/) ) )  =  ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) ) )
3927, 38eqtr3d 2442 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( ( 1o eval  R ) `  X
)  =  ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `
 (/) ) ) )
4039coeq1d 4997 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (
( 1o eval  R ) `  X )  o.  `' ( z  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( z `  (/) ) ) )  =  ( ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) )  o.  `' ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `
 (/) ) ) ) )
4121, 40syl5eqr 2454 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (
( 1o eval  R ) `  X )  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )  =  ( ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `
 (/) ) )  o.  `' ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) ) ) )
4215, 17, 18, 19mapsnf1o2 7024 . . 3  |-  ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `
 (/) ) ) : ( B  ^m  1o )
-1-1-onto-> B
43 f1ococnv2 5665 . . 3  |-  ( ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) ) : ( B  ^m  1o ) -1-1-onto-> B  ->  ( (
z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) )  o.  `' ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `
 (/) ) ) )  =  (  _I  |`  B ) )
4442, 43mp1i 12 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (
z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) )  o.  `' ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `
 (/) ) ) )  =  (  _I  |`  B ) )
4514, 41, 443eqtrd 2444 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( O `  X )  =  (  _I  |`  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2920   (/)c0 3592   {csn 3778    e. cmpt 4230    _I cid 4457   Oncon0 4545    X. cxp 4839   `'ccnv 4840    |` cres 4843    o. ccom 4845   -1-1-onto->wf1o 5416   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   1oc1o 6680    ^m cmap 6981   Basecbs 13428   ↾s cress 13429   Ringcrg 15619   CRingccrg 15620  SubRingcsubrg 15823   mVar cmvr 16366   mPoly cmpl 16367   eval cevl 16369  PwSer1cps1 16528  var1cv1 16529  Poly1cpl1 16530  eval1ce1 16532
This theorem is referenced by:  evl1vard  19910  pf1id  19924  fta1blem  20048
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-ofr 6269  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-seq 11283  df-hash 11578  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-hom 13512  df-cco 13513  df-prds 13630  df-pws 13632  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-mhm 14697  df-submnd 14698  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-mulg 14774  df-subg 14900  df-ghm 14963  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-cring 15623  df-ur 15624  df-rnghom 15778  df-subrg 15825  df-lmod 15911  df-lss 15968  df-lsp 16007  df-assa 16331  df-asp 16332  df-ascl 16333  df-psr 16376  df-mvr 16377  df-mpl 16378  df-evls 16379  df-evl 16380  df-opsr 16384  df-psr1 16535  df-vr1 16536  df-ply1 16537  df-evl1 16539
  Copyright terms: Public domain W3C validator