MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1vsd Unicode version

Theorem evl1vsd 19420
Description: Polynomial evaluation builder for scalar multiplication of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1addd.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1addd.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1addd.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
evl1addd.1  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1addd.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
evl1addd.3  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
evl1vsd.4  |-  ( ph  ->  N  e.  B )
evl1vsd.s  |-  .xb  =  ( .s `  P )
evl1vsd.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
evl1vsd  |-  ( ph  ->  ( ( N  .xb  M )  e.  U  /\  ( ( O `  ( N  .xb  M ) ) `  Y )  =  ( N  .x.  V ) ) )

Proof of Theorem evl1vsd
StepHypRef Expression
1 evl1addd.q . . 3  |-  O  =  (eval1 `  R )
2 evl1addd.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 evl1addd.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 evl1addd.u . . 3  |-  U  =  ( Base `  P
)
5 evl1addd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
6 evl1addd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
7 eqid 2283 . . . 4  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  P )
8 evl1vsd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  B )
91, 2, 3, 7, 4, 5, 8, 6evl1scad 19414 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( (algSc `  P ) `  N
)  e.  U  /\  ( ( O `  ( (algSc `  P ) `  N ) ) `  Y )  =  N ) )
10 evl1addd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
11 eqid 2283 . . 3  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
12 evl1vsd.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12evl1muld 19419 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( (algSc `  P ) `  N
) ( .r `  P ) M )  e.  U  /\  (
( O `  (
( (algSc `  P
) `  N )
( .r `  P
) M ) ) `
 Y )  =  ( N  .x.  V
) ) )
142ply1assa 16278 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e. AssAlg )
155, 14syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e. AssAlg )
162ply1sca 16331 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
175, 16syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
1817fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
193, 18syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
208, 19eleqtrd 2359 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
2110simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  U )
22 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
23 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
24 evl1vsd.s . . . . . 6  |-  .xb  =  ( .s `  P )
257, 22, 23, 4, 11, 24asclmul1 16079 . . . . 5  |-  ( ( P  e. AssAlg  /\  N  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) )  /\  M  e.  U )  ->  ( ( (algSc `  P ) `  N
) ( .r `  P ) M )  =  ( N  .xb  M ) )
2615, 20, 21, 25syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (algSc `  P ) `  N
) ( .r `  P ) M )  =  ( N  .xb  M ) )
2726eleq1d 2349 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( (algSc `  P ) `  N
) ( .r `  P ) M )  e.  U  <->  ( N  .xb 
M )  e.  U
) )
2826fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  (
( (algSc `  P
) `  N )
( .r `  P
) M ) )  =  ( O `  ( N  .xb  M ) ) )
2928fveq1d 5527 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( ( (algSc `  P ) `  N
) ( .r `  P ) M ) ) `  Y )  =  ( ( O `
 ( N  .xb  M ) ) `  Y ) )
3029eqeq1d 2291 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 ( ( (algSc `  P ) `  N
) ( .r `  P ) M ) ) `  Y )  =  ( N  .x.  V )  <->  ( ( O `  ( N  .xb 
M ) ) `  Y )  =  ( N  .x.  V ) ) )
3127, 30anbi12d 691 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( (algSc `  P ) `  N ) ( .r
`  P ) M )  e.  U  /\  ( ( O `  ( ( (algSc `  P ) `  N
) ( .r `  P ) M ) ) `  Y )  =  ( N  .x.  V ) )  <->  ( ( N  .xb  M )  e.  U  /\  ( ( O `  ( N 
.xb  M ) ) `
 Y )  =  ( N  .x.  V
) ) ) )
3213, 31mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  ( ( N  .xb  M )  e.  U  /\  ( ( O `  ( N  .xb  M ) ) `  Y )  =  ( N  .x.  V ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   .rcmulr 13209  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   CRingccrg 15338  AssAlgcasa 16050  algSccascl 16052  Poly1cpl1 16252  eval1ce1 16254
This theorem is referenced by:  fta1blem  19554  plypf1  19594
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-assa 16053  df-asp 16054  df-ascl 16055  df-psr 16098  df-mvr 16099  df-mpl 16100  df-evls 16101  df-evl 16102  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-ply1 16259  df-evl1 16261
  Copyright terms: Public domain W3C validator